华师大版数学八年级下册20.3.1方差 教学设计
课题
方差
单元
数据的整理与初步处理
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识目标：
1、了解方差的定义和计算公式．
2、理解方差概念的产生和形成的过程．
3、会用计算公式来比较两组数据的波动大小．
能力目标：
经历探索方差的过程，体会数据波动中的方差的求法，积累统计经验．
情感目标：
培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义．
重点
方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题，掌握方差的求法．
难点
理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：请同学们回顾平均数、众数、中位数的定义？
生：，
众数：一组数据中出现次数最多的数值．
中位数：将一组数据从小到大排列（或从大到小排列）处在中间位置的那个值．数据是偶数个时取中间两个数的平均数作为中位数．
回顾平均数、众数、中位数的定义．
通过对平均数、众数、中位数的定义回顾，为本节课的探究活动奠定基础．
讲授新课
21
日
22日
23日
24日
25日
26日
27日
28日
2001年
12
13
14
22
6
8
9
12
2002年
13
13
12
9
11
16
12
10
问题1：下表显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温： 表1：上海市每日最高气温统计表（单位：℃）
（1）试对这两段时间的气温进行比较，2002年2月下旬的气温比2001年高吗？两段时间的平均气温分别是多少？
（2）这是不是说，两个时段的气温情况没有差异呢？
师：请同学们两个时段最高气温变化图，你感觉他们有没有差异呢？
生：通过观察，发现：2001年2月下旬的气温波动比较大-------从6 ℃到22℃ ，而2002年同期的气温波动比较小---------从9 ℃到16 ℃．
师：请同学们讨论为什么说本章导图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四季分明”？
师：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？请同学们计算一下两名同学五次测试成绩的平均数，比较一下你有什么发现？
生：平均数相同．
师：请同学们观察体育项目测试成绩图，谁的成绩较为稳定？为什么？
生：小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大．
师：通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定．
师：平均数一样，该怎么办呢？直接将各数据与平均数的差进行累加，完成表格．依据最后求和的结果可以比较两组数据围绕平均数的波动情况吗？
生：不能．
师：请同学们在（1）的基础上求每次成绩与平均成绩差的平方和，依据最后求平方和的结果可以比较两组数据围绕平均数的波动情况吗？
生：能．
师：如果一共进行了7次测试，小明因故缺席了2次，又怎样比较呢？依据求平方和的结果可以准确比较两组数据的波动情况吗？
生：不能，因为次数不一样．
师：什么叫做方差？
生：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差．
通常用S2表示一组数据的方差，用 x 表示一组数据的平均数 ，x1，x2，…，xn表示各个数据．
师：平均数和方差的区别是什么？
平均数------反映一组数据的总体趋势．
方差-----描述一组数据的波动大小或者与平均值的离散程度的大小．
师：请计算小明和小兵5次测试成绩的方差，计算结果是否是小明的成绩比较稳定？
归纳：方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况比较敏感的指标．
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小．
例 刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
谁的成绩比较稳定？
根据教师提出的问题进行探究活动．
分析：本章导图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四季分明”
对教师出示的问题进行探究．
进行探究活动．
认识方差和平均数的区别．
计算小明和小兵5次测试成绩的方差．
完成例题．
通过探究活动使学生了解一组数据的波动情况．
应用数据的波动体会“四季温差不大”， “四季分明”．
通过探究活动引入方差的概念及方差的求法．
认识次数不同不能准确比较两组数据的波动情况．
认识方差和平均数的区别．
体会方差是描述一组数据的波动大小或者与平均值的离散程度的大小的量．
掌握方差的求法，会求一组数据的方差．
课堂练习
1、 甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
则这四人中成绩发挥最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2 、下列数据中，能用来刻画一组数据的离散程度的是（ ）
A．方差 B ．中位数 C．平均数 D．众数
3、为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为 S甲 2 =3.6，S乙2 =15.8，则_______种小麦的长势比较整齐．
4．甲，乙两人射击10次，它们的平均成绩为7环，10次射击成绩的方差分别是： S甲2=3， S乙2=1.2，成绩较为稳定的是_______．（填“甲”或“乙”）
5、有两个女声小合唱队，各由5名队员组成．她们的身高为(单位：cm)为：
甲队：160，162，159，160，159；
乙队：180，160，150，150，160．
如果单从队员的身高考虑，哪队的演出效果好？
拓展提高：
6、两台机床同时生产直径为10个单位的零件，为了检验产品的质量，质检员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：
机床甲
8
9
10
11
12
机床乙
7
10
10
10
13
如果你是质检员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识为判断这两台机床生产的零件的质量优劣．
中考链接：
1、【2018?湖北】为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．方差
2、【2018?湖北】甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示：
哪支仪仗队的身高更为整齐？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
177
178
178
179
方差
0.9
1.6
1.1
0.6
完成课堂练习．
通过对课堂练习的完成使学生掌握方差的求法，能熟练求一组数的方差．培养学生应用所学知识解决问题的能力．
课堂小结
对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量最常用的是方差．
方法小结：求方差先平均，再求差，然后平方，最后再平均．
对本节课所学的知识进行总结．
通过对本节课所学知识的总结，使学生掌握方差的求法，能熟练求一组数据的方差．
板书
方差：
平均数和方差的区别：
例题：
20.3.1方差 试卷
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．样本方差的大小，可以反映（ ）
A．样本的平均水平 B．总体的平均水平 C．众数的情况 D．总体波动大小
2．为了判定八年级（1）、（2）两班学生口语测试成绩哪个班比较整齐，通常需要知道两组成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
3．甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.015，乙的样本方差是0.055，那么样本甲和样本乙的稳定性大小是（ ）
A．乙稳定 B．甲稳定 C．一样稳定 D．甲乙的稳定大小无法比较
4．人数相同的甲、乙两个团队在同一次比赛中，所得平均分和方差如下：x甲=x乙=80分，s甲2=240，s乙2=180，则成绩较为稳定的队是（ ）
A．乙队 B．甲队 C．两队成绩一样稳定 D．丁队
5．已知一组数据的方差为[(x1?10)2+(x2?10)2+…+(x50?10)2]，则这组数据的平均数为（ ）
A．50 B．10 C． D．无法确定
6．已知样本数据：-2，0，1，2，4，则该组数据的方差是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．20
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．设有n个数据x1，x2，…xn，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做方差，记作________．方差公式为______________________________________．
8．若一组数据的最大的数与平均数相同，则这组数据的方差是_______．
9．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，S甲2＞S乙2，那么两人成绩比较稳定的是________．
10．甲、乙、丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为S甲2=36，S乙2=25.4，S丙2=16．则数据波动最小的一组是_______．
11．某商场一天内出售双星牌运动鞋13双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：
请你给该商场提出一条合理的建议：__________________________________________________．
12．某中学八年级2班学生为地震灾区举行了一次募捐活动，有37名同学捐了5元，2位同学捐了50元，还有一位同学捐了100元．你认为这40个同学捐款的平均数、中位数、众数，用哪一个来代表他们每人捐款的一般数额比较好呢？_______．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）甲、乙两个小组各6名学生的英语口试测验成绩如下（单位：分）．甲组：76，90，88，82，85，83．乙组：81，90，91，89，79，74
（1）求两组学生成绩的平均数．
（2）请你利用统计知识，说明哪个小组学生的成绩比较稳定．
14．（本题满分14分）小明和小聪最近5次数学竞赛测验的成绩如下：
小明：76、85、79、87、73
小聪：78、82、79、80、81
（1）两位同学的数学竞赛平均成绩分别是多少？
（2）哪位同学的数学成绩比较稳定？
（3）若预测85分就能获奖，派哪位同学参赛？
15．（本题满分14分）射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了五次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
10
8
9
8
10
乙
10
7
10
10
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是_______环，乙的平均成绩是_______环；
（2）经过计算：甲的五次测试成绩方差为0.8，请你求出乙的五次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】根据方差的概念知，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故选：D．
2．【答案】B．
【解析】∵判定八年级（1）、（2）两班学生口语测试成绩哪个班比较整齐，∴通常需要知道两组成绩的方差．故选：B．
3．【答案】B．
【解析】由于S2甲＜S2乙，故乙的方差大，波动大，不稳定．故选：B．
4．【答案】A．
【解析】因为S甲2=240，S乙2=180，所以S甲2＞S乙2，所以成绩较为稳定的队是乙队．故选：A．
5．【答案】B．
【解析】由于这组数据的方差是[(x1?10)2+(x2?10)2+…+(x50?10)2]，故平均数是10．故选：B．
6．【答案】C．
【解析】平均数=（-2+0+1+2+4）=1，方差[（-2-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2-1）2+（4-1）2]=4．故选：C．
二、填空题：
7．【答案】S2，S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]
【解析】设有n个数据x1，x2，…xn，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫做方差，记作S2，
方差公式为：S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]；故答案为：S2，S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．
8．【答案】0
【解析】因为最大的数与平均数相等，所以这组数据每个数都相等，方差为0．故答案为：0．
9．【答案】乙
【解析】根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小，∵S甲2＞S乙2，∴乙的成绩比甲的成绩稳定，故答案为：乙．
10．【答案】丙
【解析】∵方差越大，波动越大，反之方差越小，波动越小，∴方差小的波动最小，
∵S甲2=36，S乙2=25.4，S丙2=16．∴丙组的波动最小．故答案为丙．
11．【答案】0.8
【解析】平均数为=（4+4+6+5+6）=5，S2=[（4-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（5-5）2+（6-5）2]=0.8．故答案为：0.8．
12．【答案】2.5
【解析】根据题意得1+4+x+5=3×4，解得x=2，这组数据为1，4，2，5，所以这组数据的方差S2=[（1-3）2+（4-3）2+（2-3）2+（5-3）2]=2.5．
三、解答题：
13．【答案】（1）84，84；（2）乙小组学生的成绩比较稳定
【解析】（1）甲组学生成绩的平均数=（76+90+88+82+85+83）÷6=84；
乙组学生成绩的平均数=（81+90+91+89+79+74）÷6=84；
（2）甲组成绩的方差=[（76-84）2+（90-84）2+（88-84）2+（82-84）2+（85-84）2+（83-84）2]÷6≈22.3；
乙组成绩的方差=[（81-84）2+（90-84）2+（91-84）2+（89-84）2+（79-84）2+（74-84）2]÷6=36.5；
∵22.3＜36.5，
∴乙小组学生的成绩比较稳定．
14．【答案】（1）80，80；（2）28，2；（3）派小明参赛
【解析】（1）小明的数学竞赛平均成绩是：（76+85+79+87+73）÷5=400÷5=80；
小聪的数学竞赛平均成绩是：（78+82+79+80+81）÷5=400÷5=80；
（2）小明的数学竞赛成绩的方差是：
[（80-76）2+（80-85）2+（80-79）2+（80-87）2+（80-73）2]÷5=[16+25+1+49+49]÷5=140÷5=28；
小聪的数学竞赛成绩的方差是：
[（80-78）2+（80-82）2+（80-79）2+（80-80）2+（80-81）2]÷5=[4+4+1+0+1]÷5=10÷5=2；
∵2＜28，∴小聪的数学成绩比较稳定．
（3）∵小明85分以上的成绩好，∴若预测85分就能获奖，应该派小明参赛．
15．【答案】（1）9，9；（2）1.6；（3）推荐甲参加全国比赛更合适
【解析】（1）甲的平均成绩为：（10+8+9+8+10）=9，乙的平均成绩为：（10+7+10+10+8）=9，
故答案为：9，9；
（2）乙的方差为：[（10-9）2+（7-9）2+（10-9）2+（10-9）2+（8-9）2]=1.6；
（3）∵0.8＜1.6，∴甲的方差小，∴甲比较稳定，故推荐甲参加全国比赛更合适．
课件26张PPT。方 差数学华师大版 八年级下新知导入平均数、众数、中位数的定义？众数：一组数据中出现次数最多的数值．中位数：将一组数据从小到大排列（或从大到小排列）处在中间位置的那个值．数据是偶数个时取中间两个数的平均数作为中位数．新知讲解问题1：下表显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温： （1）试对这两段时间的气温进行比较，2002年2月下旬的气温比2001年高吗？两段时间的平均气温分别是多少？表1：上海市每日最高气温统计表（单位：℃）经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃． （2）这是不是说，两个时段的气温情况没有差异呢？新知讲解观察图你感觉他们有没有差异呢？新知讲解通过观察，发现：2001年2月下旬的气温波动比较大-------从6 ℃到22℃ ，而2002年同期的气温波动比较小---------从9 ℃到16 ℃.新知讲解为什么说本章导图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四季分明”？这里四季分明．这里一年四季温度差不大．你更喜欢住在哪个城市？新知讲解小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？平均数一样，该怎么办呢？新知讲解 通过计算发现，两人测试的平均数都是12.4，成绩的最大值与最小值也都相差4．从成绩图可以看到：相比之下，小明的成绩大部分集中在平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大．通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定．新知讲解依据最后求和的结果可以比较两组数据围绕平均数的波动情况吗？（1）直接将各数据与平均数的差进行累加，完成下表：-2.41.60.6-0.40.6-1.4-1.42.61.6-1.400不能新知讲解（2）在（1）的基础上求每次成绩与平均成绩差的平方和：-2.41.60.6-0.40.6-1.4-1.42.61.6-1.49.215.2依据最后求平方和的结果可以比较两组数据围绕平均数的波动情况吗？能新知讲解（3）如果一共进行了7次测试，小明因故缺席了2次，又怎样比较呢？-2.41.60.6-0.40.6-1.4-1.42.61.6-1.49.219.72-1.41.61.842.81依据求平方和的结果可以准确比较两组数据的波动情况吗？不能，因为次数不一样．新知讲解我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差．通常用S2表示一组数据的方差，用 x 表示一组数据的平均数 ，x1，x2，…，xn表示各个数据．平均数和方差的区别：方差-----描述一组数据的波动大小或者与平均值的离散程度的大小．平均数------反映一组数据的总体趋势．新知讲解请计算小明和小兵5次测试成绩的方差，计算结果是否是小明的成绩比较稳定？∴小明的成绩比较稳定．新知讲解 方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况比较敏感的指标．
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小．新知讲解例 刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下：
刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
谁的成绩比较稳定？解： 计算结果表明： s2李飞> s2刘亮，这说明李飞的射击成绩波动大，而刘亮的射击成绩波动小，因此刘亮的射击成绩稳定．课堂练习1、 甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
则这四人中成绩发挥最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2 、下列数据中，能用来刻画一组数据的离散程度的是（ ）
A．方差 B ．中位数 C．平均数 D．众数BA课堂练习3、为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为 S甲 2 =3.6，S乙2 =15.8，则_______种小麦的长势比较整齐．
4．甲，乙两人射击10次，它们的平均成绩为7环，10次射击成绩的方差分别是： S甲2=3， S乙2=1.2，成绩较为稳定的是_______．（填“甲”或“乙”）甲乙课堂练习5、有两个女声小合唱队，各由5名队员组成．她们的身高为(单位：cm)为：
甲队：160，162，159，160，159；
乙队：180，160，150，150，160．
如果单从队员的身高考虑，哪队的演出效果好？解：乙队队员身高的方差比甲队队员身高的方差大很多，这说明乙队中各队员的身高波动大，而甲队中各队员的身高波动小，所以甲队队员的身高比较整齐，形象效果好． 拓展提高6、两台机床同时生产直径为10个单位的零件，为了检验产品的质量，质检员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：
如果你是质检员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识为判断这两台机床生产的零件的质量优劣． 拓展提高解：（1）由于 ，因此平均直径反映不出两台机床生产出的零件的质量优劣；
（2）S甲 2=2，S乙2=3.6，由于S甲2（3）甲机床只有一个零件的直径是10，而乙机床有3个零件的直径是10，从众数角度看，乙机床生产出的零件符合要求．中考链接1、【2018?湖北】为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两人成绩稳定程度的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2、【2018?湖北】甲、乙、丙、丁4支仪仗队队员身高的平均数及方差如下表所示： 哪支仪仗队的身高更为整齐？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁DD课堂总结对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量最常用的是方差．方法小结：求方差先平均，再求差，然后平方，最后再平均.板书设计方差：例题：平均数和方差的区别：作业布置教材154页，第1题、第2题．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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