16．3 可化为一元一次方程的分式方程
1. 可化为一元一次方程的分式方程及解法
课题
第1课时 可化为一元一次方程的分式方程及解法
授课人
教
学
目
标
知识技能
理解分式方程的意义；掌握解分式方程的一般方法和步骤.
数学思考
理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程验根的方法.
数学思考
理解将分式方程转化为整式方程的方法，从而找到解分式方程的途径.
情感态度
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯.
教学
重点
解分式方程的基本思路和解法.
教学
难点
理解分式方程可能出现增根的原因和根据方程有增根求未知字母的值.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.解方程：－1＝.
2．找出下列各组分式的最简公分母：
(1)与；(2)与；
(3)与；(4)与.
温故知新，唤醒学生的知识体系，为本节课的知识做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速是v千米/时．
(1)轮船顺流航行速度为__(v＋20)__千米/时，逆流航行速度为__(v－20)__千米/时．
(2)顺流航行100千米所用的时间为____小时，逆流航行60千米所用的时间为____小时．
(3)根据题意可列方程：__＝__．
想一想：与方程－1＝相比，上面的方程有什么不同？
从学生已有的知识出发，利用多媒体，激发学生强烈的好奇心和求知欲．使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 分式方程及分式方程的解
观察：方程＝有什么特征．(分母中含有未知数)引出分式方程的定义．
填空：方程中含有__分式__，并且分母中含有__未知数__，像这样的方程叫做分式方程．
类比方程－1＝的解法，解方程－＝0.
解：最简公分母为__2x(x－1)__，方程两边同时乘以最简公分母，
得__2x(x－1)__×(－)＝0×__2x(x－1)__，
化简，得__2x－(x－1)＝0__，(此方程是__整式__方程)
解方程，得__x＝－1__．(解分式方程的步骤完成了吗？待思考)
【探究2】 分式方程的增根
在去分母，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合原分式方程的解(或根)叫做增根．
增根的特征：
1．它使分式的分母为零，使最简公分母的值也为零；
2．它使整式方程成立，但不适合分式方程．
关于增根教师可作如下讲解：解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程的过程中，无形中去掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，于是就产生了如下两种情况：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；(2)如果整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程的根，是分式方程的增根．因此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤．
【探究3】 解分式方程的步骤(讲解完例题后总结最好)
(师生讨论总结)
让学生先了解分式方程的概念，解方程的基本思想是将分式方程化为一元一次的整式方程，再解整式方程，接着设疑，从而激发学生浓厚的探索兴趣和求知欲.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 [教材P14例1] 解方程：＝.
例2 [教材P14例2] 解方程：＝.
师生归纳：
解分式方程的一般步骤：一化、二解、三验、四写．
变式一 [连云港中考] 解方程：＋3＝.
解：去分母，得2＋3x－6＝x－1，移项、合并同类项，得2x＝3，解得x＝1.5，经检验，x＝1.5是分式方程的解．
变式二 [乐山中考] 解方程：－＝1.
解：去分母，得x2－3x＋3＝x2－x，移项、合并同类项，得－2x＝－3，解得x＝1.5，经检验，x＝1.5是分式方程的解．
变式三 当x＝__9__时，分式与的值互为相反数．
变式四 解方程：＋＝.
解：方程两边同乘以x(x＋1)(x－1)，得7(x－1)＋x＝2(x＋1)，整理，得6x＝9，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解.
1.通过例题讲解使学生掌握解分式方程的一般方法和步骤．通过学生板演，发现错误及时纠正，培养学生自我检查的良好学习习惯．
2．引导学生观察、反思，理解产生增根的原因，掌握并能灵活运用增根的知识，提升思维的深度.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3 若关于x的分式方程＝的解为最大负整数，则a＝__2__．
分析：两边同时乘以(x＋a)(3－x)，得a(3－x)＝8(x＋a)，解得x＝，由于分式方程的解为最大负整数－1，所以＝－1，解得a＝2.
例4 若关于x的方程＋＝2无解，则m的值是__0__．
分析：去分母，得2－x－m＝2x－4，即3x＝6－m.∵方程无解，∴x＝2.把x＝2代入3x＝6－m，得m＝0.
例5 解方程：＋＝＋.
解：方程变形，得－＝－，即＝，
去分母，得x2＋13x＋42＝x2＋5x＋6，移项、合并同类项，8x＝－36，解得x＝－，经检验，x＝－是分式方程的解.
1.知识的综合与拓展提高应考能力．
2．通过拓展性训练，提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
(1)＝；(2)＋＝7；(3)＝；
(4)＝－1；(5)＝；(6)2x＋＝10；
(7)x－＝2；(8)＋3x＝1.
分式方程有__(2)(3)(4)(7)(8)__；整式方程有__(1)(5)(6)__．(填写序号)
2．解下列分式方程：
(1)＝＋1；(2)－1＝.
3．若分式＋的值与分式－的值互为相反数，则x的值为( D )
A．1 B．－1 C．－2 D．不存在
4．若关于x的分式方程＋＝1的解是非负数，则m的取值范围是( C )
A．m＞2 B．m≥2
C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
5．用换元法解方程x2＋－2－1＝0时，设x＋＝y，则原方程可化为( A )
A．y2－2y－3＝0 B．y2－2y－1＝0
C．y2－y－1＝0 D．y2－2y＋3＝0
6．若关于x的方程－2＝无解，则m＝__3__．
1.当堂检测，及时反馈学习效果．
2．学会判断哪些方程是分式方程，掌握解分式方程的一般方法和步骤．引导学生学会解决问题的方法，培养学生的归纳能力，为以后的学习积累方法.
活动
四：
课堂
总结
反思
【课堂总结】
1．课堂小结：
(1)本节课你学习了什么？
(2)本节课你有哪些收获？
(3)通过本节课的学习，你想进一步探究的问题是什么？
归纳：
(1)分式方程的概念．
(2)解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解．
(3)解分式方程的一般步骤：
①去分母，方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
②解这个整式方程；
③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
2．布置作业：
课本第16页练习第1，2题．
通过对学习情况进行反思，帮助学生获得成功的体验和失败的感受，积累学习经验.
框架图式总结，更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
②[讲授效果反思]
教师注意提醒：规范解题过程，注意检验．一定要让学生清楚为什么会出现增根，为什么要验根，强调验根的必要性．讲例题时，先讲一道产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，进而强调解分式方程必须检验，不能省略这一步．
③[师生互动反思]
相信学生并为学生提供充分展示自己的机会．学生已经学习了一元一次方程中的未知数的系数是分数形式的整式方程，也学习了分式有意义的条件及通分，教师要大胆地放手让学生自己去探究分式方程的解法．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.
16．3可化为一元一次方程的分式方程
2. 可化为一元一次方程的分式方程的应用
课题
第2课时可化为一元一次方程的分式方程的应用
授课人
教
学
目
标
知识技能
会解可化为一元一次方程的分式方程，会正确地进行检验．运用分式方程解决实际应用问题，会合理设未知数，找出等量关系列出方程.
数学思考
在用分式方程解决实际应用问题的过程中，体验数学的应用性，进一步强化检验的必要性.
数学思考
经历探索应用分式方程解决实际问题的过程，培养分析问题、解决问题的能力，学会把所学知识应用到实际生活的方法.
情感态度
通过师生活动、学生自我探究，让学生体验数学的应用性，激发学习数学的兴趣.
教学
重点
根据实际问题列出分式方程并能正确地解分式方程.
教学
难点
等量关系的提炼以及转化为方程的过程.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.口述列方程解决实际问题的方法和步骤．
2．解分式方程：＋＝.
3．我们所学过的应用题类型：
(1)行程问题
基本公式：__路程＝速度×时间__；
而行程问题中又分相遇问题、追及问题，它们常用的公式有__甲走的路程＋乙走的路程＝路程和，被追路程＝追者所走的路程－被追者所走的路程__；
(2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题
基本公式：__工作总量＝工作时间×工作效率__．
(4)顺水、逆水问题
顺水速度＝__静水速度＋水流速度__，逆水速度＝__静水速度－水流速度__．
(5)利润：利润＝售价－进价．
(6)利息：利息＝本金×利率.
温故知新，唤醒学生的知识体系，为本节课的知识做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度．
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为__(x＋3)__千米/时，逆水航行的速度为__(x－3)__千米/时，顺水航行的时间为____小时，逆水航行的时间为____小时，根据题意，可得方程__＝__．
教师通过课件展示问题，学生积极动脑解决问题，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.
引导学生把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系，培养学生的数学应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究】 列分式方程解应用题
1．回顾分式方程的基本解法．
2．学生对所出示方程进行演算．
3．教师使用课件展示分式方程的解答过程．
教师提出问题，学生回答，回忆分式方程的基本解法，并归纳具体步骤．
学生利用上述解法解决分式方程的应用题．
通过例题演示，让学生对比正确解法，检查自身问题．
教师提出问题：请比较用分式方程解应用题和一元一次方程解应用题的相同点和不同点．
学生讨论，教师总结．
教师提出问题，由学生发言讨论，最后教师总结两种题目的异同点：
解决应用题的基本思想和步骤相同：设、列、解、验、答．
检验方法步骤不同：列分式方程解应用题时，既要检验其是否为分式方程的根，又要检验是否符合题意，增根和不合题意的解都要舍去．
列分式方程解应用题的一般步骤是什么？
师生共同归纳总结：(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)验；(6)答.
1.通过回顾分式方程的解法，巩固旧知，为运用数学知识解决实际问题打好基础．
2．由学生自由讨论，激发学生学习的主动性，同时提升学生概括、整体看待问题的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 [教材P15例3] 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致．两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
分析：(1)工程问题的基本关系式是__工作总量＝工作效率×工作时间__；
(2)在工程问题中，当总工程量没有具体数量时，看作__1__；
(3)根据题意列出分式方程，并解方程；
(4)思考整式方程的解是否是分式方程的解，是否符合题意
通过例题教学，使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能，增强学生解决问题的能力.
例2 某列列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度是多少？
分析：(1)行程问题的基本关系式是__路程＝速度×时间__；
(2)设提速前列车的平均速度为x km/h，那么列车提速后的平均速度为__(v＋x)__km/h；
(3)用相同时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，那么列车提速后行驶的路程为__(s＋50)__km；
(4)“相同时间”是什么意思？
(5)列车提速前所用时间是____h，列车提速后所用时间是____h；
(6)根据“相同时间”这一等量关系，可列方程为__＝__．
变式一 (销售问题)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元．
解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是盒，第二批进的数量是盒，再根据等量关系：第二批进的数量＝第一批进的数量×2，可得方程：2×＝，
解得x＝30，经检验，x＝30是原方程的根且符合题意．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
变式二 (行程问题)[贺州中考] 马小虎家距离学校1800米，一天，马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他．已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度为2x米/分，依题意，得＝＋10，解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的根且符合题意．
答：马小虎的速度是80米/分．
变式三 (工程问题)[日照中考] 为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对7200平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独做比甲队单独做能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？
解：设甲队每天完成x平方米，则乙队每天完成1.5x平方米，根据题意，得－＝15，解得x＝160，
经检验，x＝160是所列方程的解且符合题意．
答：甲队每天完成160平方米.
通过例题教学，使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能，增强学生解决问题的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3 烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果，甲超市的销售方案：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍销售，剩下的小苹果以高于进价的10%销售．乙超市的销售方案：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元(其他成本不计)．
问：(1)苹果进价为每千克多少元？
(2)乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
分析：根据题中的等量关系建立数学模型．
(1)设苹果进价为每千克x元，根据大、小苹果的利润和等于2100元列出分式方程进而求解．注意所得结果要进行双检验．
(2)先求出所有苹果的质量以及大、小苹果的售价，进而用总质量乘以每千克的利润求出乙超市的利润，再与甲超市的利润进行比较即可．
1.通过拓展性训练提高学生分析问题、解决问题的能力．
2．用构造性的问题激发学生的兴趣和创造力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？
2．甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地同时相向而行．甲从A地出发走了1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取完东西后又立即从A地向B地行进，这样两人恰好在AB的中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5千米，求两人速度．
3．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，恰好在规定的日期内完成；如果乙单独做，那么要超过规定日期3天才能完成．现甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定的日期是多少天？
4．甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地．已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度．
学生练习、巩固，教师巡视指导．学生完成后交流，师生评价．
教师引导学生回忆本节课所学内容，学生回忆交流，师生共同补充完善．
第1题的探索和求解，让学生感受在解决实际问题时，存在这样的现象：所列方程以及求得的根虽然正确，但不符合问题的实际意义，所以原实际问题仍然无解．
1.当堂检测，及时反馈学习效果．
2．通过归纳总结，既强化了应用题的解答步骤，又强调了分式方程本身需要验根的特性.
【课堂总结】
1．课堂小结：
列分式方程解决实际问题的一般步骤：
(1)审题(审清题意，
(2)设未知数(选择恰当的未知数，注意单位)；
(3)列方程(根据等量关系正确列出方程)；
(4)解方程(化“分”为“整”)；
(5)检验(既要检验是否是方程的根，又要检验是否符合实际情况)；
(6)作答(完整作答)．
2．布置作业：
必做题：课本第16页练习第3，4题．
选做题：课本第16页习题16.3第2，3题．(根据学生掌握情况，酌情选做)
通过对学习情况进行反思，帮助学生获得成功的体验和失败的感受，积累学习经验.
活动
四：
课堂
总结
反思
【知识网络】
框架图式总结，更容易形成知识网络.
【教学反思】
①[授课流程反思]
新课导入向学生提出实际问题后，教师要使学生在解具体分式方程的过程中复习分式方程解法的详细步骤，做好知识方法准备．
②[讲授效果反思]
教学过程中教师一定要提醒学生：列分式方程解应用题比整式方程多了检验的步骤，所以列分式方程解应用题必须进行双重检验．
③[师生互动反思]
教师要设置恰当的、有一定梯度的题目，要关注学生知识技能的发展和不同层次的需求，促使部分学生能举一反三、较好地掌握分式方程及其应用题的有关知识．
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
教学反思，更进一步提升教师的教学能力.
