16.3 可化为一元一次方程的分式方程 导学案（含答案）

16.3可化为一元一次方程的分式方程
教学目标
1．理解分式方程的意义．
2．了解分式方程的基本思路和解法．
3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
情景问题引入
假期小明要阅读老师布置的360页的课外读物，为了完成任务，实际每天看的页数是原计划的1.8倍，结果提前20天完成阅读任务．问小明原计划每天阅读多少页？如何列方程？该方程有什么特点？是一元一次方程吗？
/ [学生用书P12]
1．分式方程
分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
2．解分式方程
基本思想：把分式方程化为整式方程．
步　　骤：(1)将分式方程的两边都乘最简公分母，从而约去各个分式中的分母，化成整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根，并做出结论．
3．验根
增　　根：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，这时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为__增根__．
验　　根：把解得的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则是增根；若最简公分母不为0，则是原分式方程的根．
注　　意：解分式方程一定要验根.
/ [学生用书P12]
类型之一　解分式方程
/　[2016·乐山]解分式方程：－3＝.
解：方程两边同乘x－2，
得1－3(x－2)＝－(x－1)，
即1－3x＋6＝－x＋1，则－2x＝－6，得x＝3.
检验，当x＝3时，x－2≠0.
所以，原分式方程的解为x＝3.
【点悟】 解分式方程的关键是化分式方程为整式方程，解完整式方程后，不要忘了验根．在复杂的分式方程中，作为整体出现的部分可用换元法，将原方程转化为简易方程，从而求解．
类型之二　分式方程的增根
/　若分式方程－＝2有增根，则这个增根是__x＝1__．
【点悟】 增根问题可按如下步骤进行：(1)由最简公分母为0确定增根；(2)化分式方程为整式方程；(3)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
类型之三　根据分式方程的特殊解确定未知数的取值范围
/　[2016·潍坊]若关于x的方程＋＝3的解为正数，则m的取值范围是(　B　)
A．m<
B．m<且m≠
C．m>－
D．m>－且m≠－
【点悟】 先把分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，进而确定未知数的值或取值范围．
类型之四　分式方程的应用
/　[2018·广东]某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3 120元购买A型芯片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等．
(1)求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6 280元，求购买了多少条A型芯片？
解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x－9)元/条．
根据题意，得＝，
解得x＝35，
经检验x＝35是原方程的解，
∴x－9＝26，
则A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
(2)设购买a条A型芯片，则购买(200－a)条B型芯片．
根据题意，得26a＋35(200－a)＝6 280，
解得a＝80，
则购买了80条A型芯片．
【点悟】 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
/ [学生用书P13]
1．[2018·荆州]解分式方程－3＝时，去分母可得(　B　)
A．1－3(x－2)＝4
B．1－3(x－2)＝－4
C．－1－3(2－x)＝－4
D．1－3(2－x)＝4
2．[2018·哈尔滨]分式方程＝的解为(　D　)
A．x＝－1 B．x＝0
C．x＝ D．x＝1
3．[2018·绥化]某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品．已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为(　C　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．[2018·湘潭]分式方程＝1的解为__x＝2__．
/ [学生用书P13]
/
1．[2018·成都]分式方程＋＝1的解是(　A　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝3 D．x＝－3
2．[2017·岳阳]解分式方程－＝1，可知方程的解为(　C　)
A．x＝1 B．x＝3 C．x＝ D．无解
3．[2018·德州]分式方程－1＝的解为(　D　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．无解
4．[2017·十堰]甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是(　A　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
5．[2018·衡阳]衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为(　A　)
A.－＝10 B.－＝10
C.－＝10 D.＋＝10
6．[2018·淄博]“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%.结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是(　C　)
A.－＝30
B.－＝30
C.－＝30
D.－＝30
7．[2018·怀化]一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行100 km所用时间与以最大航速逆流航行80 km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为(　C　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
8．(1)[2018·广州]方程＝的解是__x＝2__．
(2)[2018·无锡]方程＝的解是__x＝－__．
9．[2018·舟山]甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%.若设甲每小时检测x个．则根据题意，可列出方程：__＝×(1－10%)____．
10．解分式方程：
(1)[2018·连云港]－＝0；
解：去分母，得3x－2(x－1)＝0，
解得x＝－2.
经检验，x＝－2是方程的解，所以原分式方程的解是x＝－2.
(2)[2018·绵阳]＋2＝；
解：方程两边同时乘以x－2，得x－1＋2(x－2)＝－3，
去括号，得x－1＋2x－4＝－3，
移项，得x＋2x＝2，
合并同类项，系数化为1，得x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解，
故原分式方程的解为x＝.
(3)[2018·镇江]＝＋1.
解：方程两边同乘(x＋2)(x－1)，得x(x－1)＝2(x＋2)＋(x＋2)(x－1)．
解得x＝－.
检验：当x＝－时，(x＋2)(x－1)≠0.
故x＝－是原分式方程的解．
11．[2018·岳阳]为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33 000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工．为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
解：设原计划平均每天施工x平方米．
依题意，得－＝11，解得x＝500.
经检验，x＝500是原分式方程的解．
∴实际平均每天施工为500×(1＋20%)＝600(平方米)．
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12．[2018·张家界]若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为(　B　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】∵关于x的分式方程＝1的解为x＝2，∴x＝2满足关于x的分式方程＝1，∴＝1，解得m＝4.
13．[2018·潍坊]当m＝__2__时，解分式方程＝会出现增根．
【解析】方程两边同乘(x－3)，得x－5＝－m，则x＝5－m.若方程会产生增根，则增根为x＝3，
所以5－m＝3，解得m＝2.
14．[2018·达州]若关于x的分式方程＋＝2a无解，则a的值为__1__．
【解析】原分式方程去分母，得x－3a＝2a(x－3)，由分式方程无解，得到x＝3，把x＝3代入整式方程得3－3a＝2a(3－3)，解得a＝1.
15．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1 800米的少年宫参加活动．为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行．已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．
解：设小芳的速度为x米/分．
由题意，可得－＝6，解得x＝50，
经检验，x＝50是原分式方程的解且符合实际．
所以，小芳的速度为50米/分．
16．[2018·东营]小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1 200 m和2 000 m，两人分别从家中同时出发．已知小明和小刚的速度比是3∶4，结果小明比小刚提前4 min到达剧院，求两人的速度．
解：设小明和小刚的速度为3x m/min，4x m/min.
由题意，得＝－4，解得x＝25，
经检验x＝25是原分式方程的解．
所以小明的速度为3x＝3×25＝75(m/min)，小刚的速度为4x＝4×25＝100(m/min)．
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17．[2017·广州]甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60千米，再由乙队完成剩下的筑路工程．已知乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
(1)求乙队筑路的总千米数；
(2)若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为5∶8，求乙队平均每天筑路多少千米？
解：(1)60×＝80(千米)，即乙队筑路的总千米数为80千米．
(2)根据题意，得－20＝，解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解且符合题意，
×8＝.
所以，乙队平均每天筑路千米．