课件32张PPT。1.2.1 函数的概念一二一、函数的概念
1.初中学习的函数的概念是如何定义的?
提示:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,则称x是自变量,y是x的函数.
2.初中学过哪些函数?
提示:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.一二3.阅读教材中的三个实例,并指出三个实例存在哪些变量?变量之间的对应关系是采用什么形式表达的?三个实例中变量的关系有什么共同点?
提示:每个实例中都存在着两个变量;实例(1)中的两个变量关系是通过关系式表达的,实例(2)中的变量间的关系是通过图象表达的,实例(3)中的变量间的关系是通过列表的形式表达的;三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f,在数集B中都有唯一确定的y和它对应,记作:f:A→B.一二4.填表: 5.一个函数的构成有哪些要素?起决定作用的是哪些?为什么?
提示:定义域A、对应关系f和值域{f(x)|x∈A},共三个要素.起决定作用的是函数对应关系和定义域,因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,当两个函数的定义域和对应关系相同时,值域一定相同.一二6.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系?
提示:值域是集合B的子集.
7.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同?
提示:两个定义中的定义域与值域的意义完全相同;两个定义中的对应关系实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观点出发.8.判断正误:
(1)对应关系与值域都相同的两个函数是相等函数.( )
(2)函数的值域中每个数在定义域中都只存在一个数与之对应.
( )
答案:(1)× (2)×一二9.做一做:
下列对应是实数集R到R上的一个函数的是 .(只填序号)?答案:①④ 一二二、区间的概念及表示
1.阅读教材17页上半部分,关于区间的概念,请填写下表:
设a,b∈R,且a
a,x≤a,x提示:3.判断正误:
(1)所有的数集都能用区间表示.( )
(2)所有的区间都能用数集表示.( )
答案:(1)× (2)√一二4.做一做:
用区间表示下列集合:
(1){x|2(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为 ;?
(3){x|x<-3或x≥10}用区间表示为 .?
解析:(1){x|2(2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
(3)(-∞,-3)∪[10,+∞)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测探究一函数的定义
例1下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是( )
解析:根据函数定义,对于非空数集A中每一个确定的x值,都有唯一确定的y值与之对应,观察并分析图象知只有选项D符合函数的定义.
答案:D
反思感悟 y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测变式训练 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )
答案:C探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测探究二同一函数
例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(2)y=x0与y=1(x≠0);
(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).
分析:判断两个函数f(x)和g(x)是否相等的方法是:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不相等;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们相等,否则它们不相等.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测所以它们不表示同一函数.
(2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.
(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测反思感悟判断两个函数是否表示同一函数的两个步骤 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测变式训练2下列各组函数: ④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号).?探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;
②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;
③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;
④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;
⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.
答案:⑤探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测探究三区间
例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为 .?
解析:∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3或-3即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
答案:(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
反思感悟 (1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测变式训练 3(1)集合{x|0(2)若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为 .?
解析:(2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1∴a<3,
∴实数a的取值范围是(-∞,3).
答案:(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测探究四求函数的定义域
例4求下列函数的定义域:
分析:观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;
(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;
(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测探究五求函数值(域) (1)求f(2),g(3),g(a+1)的值;
(2)求f(g(2))的值;
(3)求f(x)的值域.
分析:(1)分别将f(x)与g(x)的表达式中的x换为2,3,计算得f(2)与g(3);(2)先求g(2)的值m,再求f(m)的值.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测故函数f(x)的值域为(0,1].
反思感悟 1.已知f(x)的表达式时,只需用数a替换表达式中的所有x即得f(a)的值.
2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.
3.用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则函数无意义.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测(5)求g(x)的值域. 故函数g(x)的值域为[0,+∞). 探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测用逆向思维解决函数定义域(或值域)问题
分析:把求函数定义域问题转化为方程ax2+4ax+3=0无实根问题.
解:依题意,要使函数有意义,必须ax2+4ax+3≠0.
即要使函数的定义域为R,必须方程ax2+4ax+3=0无实根.
当a=0时,方程ax2+4ax+3=0无实根;
当a≠0时,若方程ax2+4ax+3=0无实根,
则有判别式Δ<0,探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测归纳总结定义域(或值域)的逆向问题常化为方程或不等式问题.
一般地,(1)ax2+bx+c>0对x∈R恒成立,有a=b=0,c>0或a>0时,Δ=b2-4ac<0.
(2)ax2+bx+c<0对x∈R恒成立,有a=b=0,c<0或a<0时,Δ=b2-4ac<0.
(3)ax2+bx+c=0无实根,有a=0时,b=0,c≠0或a≠0时,Δ<0.探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测解析:原问题化为ax2-x+a≠0对x∈R恒成立问题.
(1)当a=0时,显然不合题意.
(2)当a≠0时,只需Δ<0即可,即(-1)2-4a2<0,解得
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测1.下列图形中不是函数图象的是( )
解析:A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,其余B、C、D均符合函数定义.
答案:A探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测2.下列四组中的f(x)与g(x)为同一函数的是( ) D.f(x)=x,g(x)=|x|
解析:对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同,故选B.
答案:B探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测A.(-∞,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞) D.[-1,0)∪(0,+∞)
解析:要使函数有意义,则 解得f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).故选D.
答案:D
4.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 .(用区间表示)?
(2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是 .(用区间表示)?探究一探究二探究三探究四探究五思想方法当堂检测(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(-1),f(2)的值;
(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.
解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,
故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).1.2.1 函数的概念
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数f(x)=x+1x-1的定义域是( )
A.[-1,1) B.[-1,1)∪(1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(1,+∞)
解析由x+1≥0,x-1≠0,
解得x≥-1,且x≠1.
答案B
2.已知M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是( )
解析A项中函数的定义域为[-2,0],C项中对任一x都有两个y值与之对应,D项中函数的值域不是[0,2],均不是函数f(x)的图象.故选B.
答案B
3.(2018山东青岛二中高一期中)下列四个函数:①y=x+1;②y=x-1;③y=x2-1;④y=1x,其中定义域与值域相同的是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③ D.②③④
解析①y=x+1,定义域为R,值域为R,②y=x-1,定义域为R,值域为R,③y=x2-1,定义域为R,值域为[-1,+∞),④y=1x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故①②④的定义域与值域相同.
答案B
4.已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为 ( )
A.R B.{x|x>0}
C.{x|0解析△ABC的底边长显然大于0,
即y=10-2x>0,
∴x<5.
又两边之和大于第三边,
∴2x>10-2x,x>52.
故此函数的定义域为x52答案D
5.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(2x)x-1的定义域是( )
A.[0,1)∪(1,2] B.[0,1)∪(1,4]
C.[0,1) D.(1,4]
解析由题意,得0≤2x≤2,x-1≠0,即0≤x<1.
答案C
6.函数f(x)=x2-2x,x∈{-2,-1,0,1}的值域为 .?
解析因为f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,f(0)=02-2×0=0,f(1)=12-2×1=-1.所以f(x)的值域为{6,3,0,-1}.
答案{6,3,0,-1}
7.若函数f(x)满足f(2x-1)=x+1,则f(3)= .?
解析令2x-1=3,则x=2,故f(3)=2+1=3.
答案3
8.若函数f(x)=ax2-1,a为正常数,且f(f(-1))=-1,则a的值是 .?
解析∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.∴a3-2a2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.
答案1
9.求函数y=x+26?2x-1的定义域,并用区间表示.
解要使函数有意义,则x+2≥0,6?2x≥0,6?2x≠1,解得x≥?2,x≤3,x≠52,
即-2≤x≤3,且x≠52.
故函数的定义域为x-2≤x≤3,且x≠52,
用区间表示为-2,52∪52,3.
10.已知函数f(x)=1+x21?x2.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(a)=2,求a的值;
(3)求证:f1x=-f(x).
(1)解要使函数f(x)=1+x21?x2有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.
(2)解因为f(x)=1+x21?x2,且f(a)=2,
所以f(a)=1+a21?a2=2,即a2=13,解得a=±33.
(3)证明由已知得f1x=1+1x21?1x2=x2+1x2-1,
-f(x)=-1+x21?x2=x2+1x2-1,所以f1x=-f(x).
能力提升
1.下列对应关系是从A到B的函数的个数为( )
(1)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0;
(2)A={1,2,3},B={甲,乙},对应关系如图①所示;
(3)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图②所示.
A.1 B.2 C.3 D.0
解析(1)对于集合A中的任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯一确定的数0与它对应,故是集合A到集合B的函数;
(2)集合B不是数集,故不是A到B的函数;
(3)集合A中的元素3在B中没有对应元素,且A中的元素2在B中有两个元素5和6与之对应,故不是A到B的函数.
综上可知,对应关系(1)是从A到B的函数,故选A.
答案A
2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:
①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}.
那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
解析y=2x2+1,值域为{1,5}的孪生函数,分别为:①y=2x2+1,x∈{0,2};②y=2x2+1,x∈{0,-2};③y=2x2+1,x∈{0,2,-2}共3个,故选C.
答案C
3.若f(x)=5xx2+1,且f(a)=2,则a= .?
解析由f(a)=5aa2+1=2,得2a2-5a+2=0,
解得a=12或a=2.
答案12或2
4.已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为 .?
解析因为函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],
即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5.
所以函数y=f(x)的定义域为[3,5].
由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3,
所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3].
答案[2,3]
5.(1)y=2x+1x-3的值域为 .?
(2)y=2x-x-1的值域为 .?
解析(1)(分离常数法)y=2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+7x-3,显然7x-3≠0,故y≠2.
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(2)(换元法)令t=x-1,则x=t2+1,且t≥0,
∴y=2(t2+1)-t=2t-142+158.
由t≥0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为158,+∞.
答案(1)(-∞,2)∪(2,+∞) (2)158,+∞
6.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],求b的值.
解作出函数f(x)=x2-2x(x≥0)的图象如图所示.
由图象结合值域[-1,3]可知,区间右端点b必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b2-2b=3,解得b=-1或b=3.又-1?[0,b],所以b=3.
7.已知函数f(x)=x2x2+1.
(1)求f(1),f(2)+f12的值;
(2)证明:f(x)+f1x等于定值;
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)+f12+f13+…+f12 019的值.
(1)解f(1)=1212+1=12;
f(2)=2222+1=45,f12=122122+1=15,
所以f(2)+f12=45+15=1.
(2)证明f1x=1x21x2+1=1x2+1,
所以f(x)+f1x=x2x2+1+1x2+1=1,为定值.
(3)解由(2)知,f(x)+f1x=1.
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)+f12+f13+…+f12 019
=f(1)+f(2)+f12+f(3)+f13+…+f(2 019)+f12 019=12+1+1+…+12 018=4 0372.
8.若函数f(x)=3x?1mx2+mx+3的定义域为R,求m的取值范围.
解要使原函数有意义,必须mx2+mx+3≠0.
由于函数的定义域是R,故mx2+mx+3≠0对一切实数x恒成立.
①当m=0时,3≠0恒成立,故m=0满足条件;
②当m≠0时,有Δ=m2-12m<0,解得0故由①②可知m的取值范围是[0,12).
课件27张PPT。第1课时 函数的表示法函数的表示法
1.某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔,每支铅笔的价格为0.5元,共需y元,于是y与x之间建立起了一个函数关系.
(1)函数的定义域是什么?
提示:{1,2,3,4,5}
(2)y与x有何关系?
提示:y=0.5x
(3)试用表格表示y与x之间的关系.
提示:表格如下:(4)试用图象表示y与x之间的关系.
提示:图象如下:2.函数有哪几种常用的表示法?这和我们在初中学习的函数表示法一样吗?
提示:解析法、图象法、列表法.一样.
3.几种常用的函数的表示方法是如何定义的?
提示:(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;(2)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系;(3)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.4.函数的三种表示方法各有什么优缺点?
提示:5.做一做:
(1)下列图形可表示函数y=f(x)图象的只可能是 ( )
(2)若f(x)=2x+1,则f(x+1)等于( )
A.2x+1 B.2x+3
C.2(x+1) D.2x-1
答案:(1)D (2)B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一列表法表示函数
例1 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1))= ;当g(f(x))=2时,x= .?
分析:这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.
解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,∴f(g(1))=f(3).
由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.
由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.
又g(f(x))=2,∴f(x)=2.又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.
答案:1 1探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的明显优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究在本例已知条件下,g(f(1))= ;当f(g(x))=2时,x= .?
解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.
∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.
答案:2 3探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究二求函数的解析式
例2 导学号03814012(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
分析:(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x- .探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 求函数解析式的四种常用方法
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).
4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫做解方程组法或消元法.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;解:(1)∵f(x)为一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,其中x≥1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究三函数的图象及应用
例3 作出下列函数的图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
分析:看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图.
解:(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 1.作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.
如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];解:(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[0,5].由图可知,函数的值域为(0,1]. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因忽略变量的实际意义而致错
典例如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数表达式,并画出函数的图象.错解由题意,得△CQB∽△BAP, 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:以上解题过程中没有考虑x的实际意义,从而扩大了x的取值范围而导致出错.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正解:由题意,得△CQB∽△BAP, 防范措施从实际问题中得到的函数,求其定义域时,不仅要使函数有意义,而且还要使实际问题有意义.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y表示成x的函数为( )答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( )
A.f(x)=-x B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:
则g(f(g(-1)))的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.无法确定
解析:g(-1)=1,
则f(g(-1))=f(1)=0,
则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.若一个长方体的高为80 cm,长比宽多10 cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数表达式是 .?
解析:由题意可知,长方体的长为(x+10)cm,从而长方体的体积y=80x(x+10),x>0.
答案:y=80x(x+10),x∈(0,+∞)探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解:(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故f(x)的值域是[-1,3].第1课时 函数的表示法
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知f1?x1+x=x,则f(x)=( )
A.x+1x-1 B.1?x1+x C.1+x1?x D.2xx+1
解析令1?x1+x=t,则x=1?t1+t,故f(t)=1?t1+t,即f(x)=1?x1+x.
答案B
2.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
解析因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.
答案A
3.已知函数f(x)是反比例函数,且f(-1)=2,则f(x)= .?
解析设f(x)=kx(k≠0),∵f(-1)=2,∴-k=2,
即k=-2.∴f(x)=-2x.
答案-2x
4.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)= ,f(f(2))= .?
解析由题图可知f(-5)=32,f(2)=0,f(0)=4,
故f(f(2))=4.
答案32 4
5.对于定义域为R的函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
0
2
3
2
0
-1
0
2
则f(f(f(0)))= .?
解析由列表表示的函数可得f(0)=3,
则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2.
答案2
6.作出下列函数的图象,并指出其值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=2x(-2≤x≤1,且x≠0).
解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示.
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为-14,2.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图所示.
由图可知y=2x(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
7.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.
解(方法一)由于函数图象的顶点坐标为(1,3),
则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).
∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.
故f(x)=-3(x-1)2+3.
(方法二)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
依题意得-b2a=1,4ac-b24a=3,c=0,
即b=?2a,b2=?12a,c=0.解得a=?3,b=6,c=0.
∴f(x)=-3x2+6x.
8.某商场新进了10台彩电,每台单价3 000元,试求售出台数x与销售额y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
分析本题考查函数的表示法问题,注意定义域是解题的关键,函数的定义域是{1,2,3,…,10},值域是{3 000,6 000,9 000,…,30 000},可直接列表、画图表示,分析题意得到表示y与x关系的解析式.
解(1)列表法如下:
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法:如图所示.
(3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
能力提升
1.已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的函数解析式为( )
A.y=12x(x>0) B.y=24x(x>0)
C.y=28x(x>0) D.y=216x(x>0)
解析正方形外接圆的直径是它的对角线,因为正方形的边长为x4,由勾股定理得(2y)2=x42+x42,
所以y2=x232,即y=28x(x>0).
答案C
2.定义两种运算:a??b=a2-b2,a??b=(a-b)2,则函数f(x)=2⊕x(x?2)?2的解析式为( )
A.f(x)=4?x2x,x∈[-2,0)∪(0,2]
B.f(x)=x2-4x,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.f(x)=-x2-4x,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.f(x)=-4?x2x,x∈[-2,0)∪(0,2]
解析∵f(x)=2⊕x(x?2)?2=22-x2(x-2)2-2=4?x2|x-2|-2.
由4?x2≥0,|x-2|-2≠0,得-2≤x≤2,且x≠0.
∴f(x)=-4?x2x,x∈[-2,0)∪(0,2].
答案D
3.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
解析由图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点到C点依次递减,与图1矛盾,因此取Q,即选D.
答案D
4.已知函数f(x),g(x)由下表给出:
x
4
5
6
7
8
f(x)
5
4
8
7
6
x
8
7
6
5
4
g(x)
6
5
8
7
4
则g(f(7))= ;不等式g(x)解析f(7)=7,g(f(7))=g(7)=5.
当x=4时,f(4)=5,g(4)=4,
所以f(4)>g(4),满足不等式;
当x=5时,f(5)=4,g(5)=7,不满足不等式;
当x=6时,f(6)=8,g(6)=8,不满足不等式;
当x=7时,f(7)=7,g(7)=5,满足不等式;
当x=8时,f(8)=6,g(8)=6,不满足不等式,
所以不等式g(x)答案5 {4,7}
5.已知f(2x-1+1)=x,则函数f(x)的解析式为 .?
解析令t=2x-1+1,则t≥1.
所以x=12(t-1)2+12.
故f(t)=12(t-1)2+12(t≥1).
所以函数解析式为f(x)=12x2-x+1(x≥1).
答案f(x)=12x2-x+1(x≥1)
6.如图所示,用长为l的铁丝弯成下半部分为矩形,上半部分为半圆形的框架,若矩形的底边长为2x,求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.
解由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形,而矩形的边AB=2x,
设AD=a,则有2x+2a+πx=l,即a=l2?π2x-x,其中半圆的直径为2x,半径为x.
所以框架围成的图形的面积y=12πx2+l2-π2x-x·2x=-2+π2x2+lx.
根据实际意义知l2?π2x-x>0,
又x>0,解得0故函数y=-2+π2x2+lx,其定义域为0,l2+π.
7.已知函数f(x)=xax+b(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.
解由f(x)=x,得xax+b=x,即ax2+(b-1)x=0.
∵方程f(x)=x有唯一解,
∴Δ=(b-1)2=0,即b=1.
∵f(2)=1,∴22a+b=1.∴a=12.
∴f(x)=x12x+1=2xx+2.
∴f(f(-3))=f(6)=128=32.
8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则试求f(2 019)的值.
解∵f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,
令x=y=0,得f(1)=1-1-0+2,
∴f(1)=2.
令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,
∴f(x)=x+1,
∴f(2 019)=2 019+1=2 020.
课件31张PPT。第2课时 分段函数与映射一二一、分段函数
1.在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如国内邮寄信函(本埠),每封信函的重量和对应邮资如下表:一二(1)邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?
提示:据函数定义知M是m的函数,其解析式为(2)在(1)中有几个函数?为什么?
提示:一个.因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分,但不是5个函数,只不过在定义域的不同子集内,对应关系不同而已.一二2.填空:
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.一二3.做一做:
(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为 .?(2)由题图可知,当x∈[-2,4]时,f(x)∈[-2,3];
当x∈[5,8]时,f(x)∈[-4,2.7].
故函数f(x)的值域为[-4,3].
答案:(1)A (2)[-4,3]一二4.判断正误:
分段函数是多个函数. ( )
答案:×一二二、映射
1.在某次数学测试中,高一(1)班的54名同学都取得了较好的成绩,该班54名同学的名字构成集合A,他们的成绩构成集合B.
(1)A中的每一个元素在B中有且只有一个元素与之对应吗?
提示:是的.
(2)从集合A到集合B的对应是函数吗?为什么?
提示:不是.因为集合A不是数集.
2.填空:
设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.3.函数与映射有怎样的关系?
提示:函数是一种特殊的映射.一二4.做一做:
已知M={1,2,3},N={e,g,h},从M到N的四种对应方式如图,其中是从M到N的映射的是( )一二解析:选项A中,集合M中的元素2在集合N中没有与之对应的元素,不具备任意性,并且集合M中的元素3在集合N中有两个元素g,h与之对应,也不具备唯一性;
选项B中,集合M中的元素2在集合N中有两个元素e,h与之对应,不具备唯一性;
选项D中,集合M中的元素3在集合N中有两个元素g,h与之对应,不具备唯一性.
答案:C探究一探究二探究三探究四思想方法探究一求分段函数的值 (2)若f(x)=2,求x的值. 当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟 1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求自变量取值的步骤
(1)先确定自变量,可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入到不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围. ∴-2∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法探究二分段函数的图象
例2 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.
分析:先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法观察图象,得函数的值域为(1,+∞).
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉,它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞). 当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);
当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.
答案:C当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法探究三映射的判断
例3 下列对应是A到B的映射的有( )②A={2018年俄罗斯足球世界杯参赛的足球运动员},B={2018年俄罗斯足球世界杯参赛的足球运动员的身高},f:每个运动员对应自己的身高;A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
分析:紧扣映射概念中的“任意一个”“存在唯一”即可判断.
解析:①中,对于A中的元素-1,在B中没有与之对应的元素,则①不是映射;②中,由于每个运动员都有唯一的身高,则②是映射;③中,对于A中的任一元素,在B中都有唯一的元素与之对应,则③是映射.
答案:C当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟 判断一个对应是不是映射的两个关键点
(1)对于A中的任意一个元素,在B中是否有元素与之对应;
(2)在B中的对应元素是不是唯一的.
注意:“一对一”或“多对一”的对应都是映射.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2下列对应是A到B上的映射的是( )
A.A=N*,B=N*,f:x→|x-3|
B.A=N*,B={-1,1,-2},f:x→(-1)xD.A=N,B=R,f:x→x的平方根
解析:选项A,因为A中的元素3在对应关系f的作用下在B中找不到与之相对应的元素,所以不是映射;选项B,对于任意的正整数x,所得(-1)x均为1或-1,在集合B中有唯一的1或-1与之对应,满足映射的定义,所以是映射;选项C,0在f的作用下无意义,所以不是映射;选项D,正整数在实数集R中有两个平方根与之对应,不满足映射的概念,所以不是映射.
答案:B当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究四根据分段函数图象求解析式
例4已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .?探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解析:根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).
∵点(1,1),(0,2)在射线上,
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
∴当1典例 对于m不同的取值范围,讨论方程x2-4|x|+5=m的实根的个数.
分析:可考虑给定方程左侧对应函数的图象,即画出函数y=x2-4|x|+5的图象,看图象与直线y=m的交点个数的变化便可得出结论.
解:将方程x2-4|x|+5=m实根的个数问题转化为函数y=x2-4|x|+5的图象与直线y=m的交点个数问题.
作出图象,如图所示.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测当m<1时,直线y=m与该图象无交点,故方程无解.
当m=1时,直线y=m与该图象有两个交点,
故方程有两个实根.
当1故方程有四个实根.
当m=5时,直线y=m与该图象有三个交点,
故方程有三个实根.
当m>5时,直线y=m与该图象有两个交点,
故方程有两个实根.
反思感悟 本题通过构造函数,利用数形结合的思想,直观形象地通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,不需知道实数根的具体数值.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)的横坐标,因此原方程的解的个数就是这两个函数图象的交点个数.
当a<0时,原方程没有实数解;
当a=0或a>1时,原方程有两个实数解;
当a=1时,原方程有三个实数解;
当0解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B答案:C 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1对应,则当y=2时,x= .?
解析:由x2+1=2,得x=±1.
答案:±1解析:当a≥0时,由a+1=2,得a=1>0,
所以a=1符合题意;答案:1 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测5.下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么?
(1)A=R,B={x∈R|x≥0},对应关系是“求平方”;
(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系是“作圆的内接矩形”.
解:(1)是映射.因为A中的任何一个实数的平方均大于或等于0,则在B中都能找到唯一的元素与之对应.
(2)不是映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.第2课时 分段函数与映射
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下表表示y是x的函数,则函数的值域是( )
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.[2,5] B.N C.(0,20] D.{2,3,4,5}
解析由题表可知,y=2,0所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.
答案D
2.若f(x)=x-3,x≥10,f(f(x+6)),x<10,则f(5)的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
解析由题意知,f(5)=f(f(11))=f(8)=f(f(14))=f(11)=8.故选A.
答案A
3.已知f:x→x2是集合A到集合B={0,1,4}的一个映射,则集合A中的元素最多有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
解析令x2=0,1,4,解得x=0,±1,±2.故选C.
答案C
4.设f(x)=-x-3(x≤?1),x2(-1A.-12 B.±3
C.-12或±3 D.-12或3
解析f(x)=-x-3(x≤?1),x2(-1当x≤-1时,-x-3=9,解得x=-12;
当-1当x≥2时,3x=9,解得x=3.
∴x=-12或x=3.故选D.
答案D
5.已知函数f(x)=-1,x<0,1,x≥0,则不等式xf(x-1)≤1的解集为( )
A.[-1,1] B.[-1,2]
C.(-∞,1] D.[-1,+∞)
解析原不等式等价于x-1<0,x×(-1)≤1或x-1≥0,x×1≤1,解得-1≤x≤1.
答案A
6.已知f(x)=0,x>0,-1,x=0,2x-3,x<0,则f(f(f(5)))等于 .?
解析f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5.
答案-5
7.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
解析当0≤x≤1时,f(x)=-1;
当1≤x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),则k+b=?1,2k+b=0,解得k=1,b=?2,此时f(x)=x-2.
综上,f(x)=-1,0≤x≤1,x-2,1答案f(x)=-1,0≤x≤1,x-2,18.a,b为实数,集合M=ba,1,N={a,0},f:x→2x表示集合M中的元素x在集合N中的对应元素为2x,则a+b= .?
解析由题意知M中元素ba只能对应0,1只能对应a,所以a=2,2ba=0,所以a=2,b=0,故a+b=2.
答案2
9.已知函数f(x)=-2x,x∈(-∞,-1),2,x∈[-1,1],2x,x∈(1,+∞).
(1)求f-32,f12,f(4.5),ff12;
(2)若f(a)=6,求a的值.
解(1)∵-32∈(-∞,-1),
∴f-32=-2×-32=3.
∵12∈[-1,1],∴f12=2.
又2∈(1,+∞),∴ff12=f(2)=2×2=4.
∵4.5∈(1,+∞),∴f(4.5)=2×4.5=9.
(2)经观察可知a?[-1,1],否则f(a)=2.
若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;
若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.
故a的值为-3或3.
10.设函数f(x)=x2+bx+c,x≤0,2,x>0,若f(-2)=f(0),f(-1)=-3,求关于x的方程f(x)=x的解.
解∵当x≤0时,f(x)=x2+bx+c,∴f(-2)=(-2)2-2b+c,f(0)=c,f(-1)=(-1)2-b+c.
∵f(-2)=f(0),f(-1)=-3,
∴(-2)2-2b+c=c,(-1)2-b+c=?3,解得b=2,c=?2.
则f(x)=x2+2x-2,x≤0,2,x>0,当x≤0时,由f(x)=x得x2+2x-2=x,得x=-2或x=1.
由于x=1>0,所以舍去.
当x>0时,由f(x)=x得x=2,
∴方程f(x)=x的解为-2,2.
能力提升
1.给出如图所示的对应:
其中能构成从A到B的映射的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析①是映射,是一对一;②③是映射,满足对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应;④⑤不是映射,是一对多;⑥不是映射,a3,a4在集合B中没有元素与之对应.
答案A
2.若函数f(x)=1?x2,x≤1,x2+x-2,x>1,则f1f(2)的值为( )
A.1516 B.-2716 C.89 D.18
解析f(2)=22+2-2=4,f1f(2)=f14=1-142=1516,故选A.
答案A
3.函数f(x)=2x,0≤x≤1,2,1A.R B.[0,+∞)
C.[0,3] D.[0,2]∪{3}
解析作出y=f(x)的图象如图所示.
由图知,f(x)的值域是[0,2]∪{3}.
答案D
4.设f(x)=x,0A.2 B.4 C.6 D.8
解析若0若a≥1,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),无解.
综上,f1a=6.故选C.
答案C
5.已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析①中,f(x)=x,若x∈A,则x=n2,n∈N,
则f(x)=n2,n∈N,满足A中任何一个元素在A中都有唯一的元素与之对应,故正确.
②中,f(x)=x2,若x∈A,则x=n2,n∈N,
则f(x)=(n2)2,n2∈N,满足A中任何一个元素在A中都有唯一的元素与之对应,故正确.
③中,f(x)=x3,若x∈A,则x=n2,n∈N,
则f(x)=(n2)3=(n3)2,n3∈N,满足A中任何一个元素在A中都有唯一的元素与之对应,故正确.
④中,f(x)=x4,若x∈A,则x=n2,n∈N,
则f(x)=(n2)4=(n4)2,n4∈N,满足A中任何一个元素在A中都有唯一的元素与之对应,故正确.
⑤中,f(x)=x2+1,若x=1,则f(x)=2?A,不满足A中任何一个元素在A中都有唯一的元素与之对应,故错误,故选C.
答案C
6.若函数f(x)=x2,x∈[-1,1],f(x-2),x∈(1,+∞),则f(5)= .?
解析因为函数f(x)=x2,x∈[-1,1],f(x-2),x∈(1,+∞),
所以f(5)=f(3)=f(1)=12=1.
答案1
7.函数y=2x+3,x≤0,x+3,0解析当x≤0时,y=2x+3≤3;当0答案4
8.如图所示,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4).
(1)求f(f(0))的值;
(2)求函数f(x)的解析式.
解(1)由题图可得f(f(0))=f(4)=2.
(2)设线段AB所对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
将x=0,y=4与x=2,y=0代入,得4=b,0=2k+b,
∴b=4,k=?2.∴y=-2x+4(0≤x≤2).
同理,线段BC所对应的函数解析式为y=x-2(2≤x≤6).∴f(x)=-2x+4,0≤x≤2,x-2,29.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲俱乐部每小时5元,乙俱乐部按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)90元,超过30小时的部分每小时2元;某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元,在乙家开展活动x小时的收费为g(x)元.
(1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式.
(2)选择哪家比较合算?请说明理由.
解(1)由题意可知f(x)=5x,15≤x≤40,
g(x)=90,15≤x≤30,30+2x,30(2)由5x=90,解得x=18,
即当15≤x<18时,f(x)当x=18时,f(x)=g(x);
当18g(x).
所以当15≤x<18时,选甲家比较合算;
当x=18时,两家一样合算;
当18