课件29张PPT。第1课时 函数的单调性一二一、增函数和减函数的定义
1.画出函数f(x)=x,f(x)=x2的图象,观察它们的图象,图象的升降情况如何?
提示:根据列表法的三个步骤:列表→描点→连线得两函数的图象如下.
函数f(x)=x的图象由左到右是上升的;函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的.一二2.如何利用函数解析式f(x)=x2来描述随着自变量x值的变化,函数值f(x)的变化情况?
提示:在(-∞,0]上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐减小;在(0,+∞)上,随着自变量x值的增大,函数值f(x)逐渐增大.
3.如何用x与f(x)的变化来描述当x在给定区间从小到大取值时,函数值依次增大?如果是函数值依次减小呢?
提示:在给定区间上任取x1,x2且x1
f(x2).一二4.填表:
增函数和减函数一二5.做一做:
(1)f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是 .(填“增函数”或“减函数”)?
(2)f(x)=x2-1在区间[0,+∞)上是 .(填“增函数”或“减函数”)?
答案:(1)减函数 (2)增函数一二6.判断正误:
对于函数f(x),若在区间[a,b]上存在两个数x1,x2,且x1f(x2)成立,则可认为f(x)在区间[a,b]上是减函数. ( )
答案:×一二二、函数的单调性与单调区间
1.填空:
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.一二2.做一做:
(1)若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不能确定
(2)函数y= 的单调递减区间是( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0)
C.(-∞,0)和(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
(3)根据下图说出在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.一二(1)解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.
答案:D
(2)解析:函数y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,故其单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
答案:C
(3)解:函数在[-1,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数.一二3.判断正误:
(1)若函数f(x)在区间I上是减函数,且非空数集D?I,则f(x)在D上也是减函数.( )
(2)若函数f(x)在定义域[a,b]上是增函数,且f(x1)答案:(1)√ (2)√探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:分析:若函数为我们熟悉的函数,则直接给出单调区间,否则应先画出函数的草图,再结合图象“升降”给出单调区间.
解:(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.
(2)函数y=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0)及(0,+∞)上均为增函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 1.函数单调性的几何意义:在单调区间上,若函数的图象“上升”,则函数为增区间;若函数的图象“下降”,则函数为减区间.因此借助于函数图象来求函数的单调区间是直观且有效的一种方法.除这种方法外,求单调区间时还可以使用定义法,也就是由增函数、减函数的定义求单调区间.求出单调区间后,若单调区间不唯一,中间可用“,”隔开.
2.一次、二次函数及反比例函数的单调性:
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性由系数k决定:当k>0时,该函数在R上是增函数;当k<0时,该函数在R上是减函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性以对称轴x=- 为分界线.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.
由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为[1,2].探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究二证明函数的单调性
例2求证:函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
分析:在区间(0,1)内任取x1,x2,且x1f(x2)即可.证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 证明或判断函数的单调性,主要是利用定义法,其基本步骤是: 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测特别提醒 作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究判断并证明本例中的函数f(x)在区间[1,+∞)上的单调性.证明如下:
任取x1,x2∈[1,+∞),且x10,x1x2>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究三函数单调性的应用
例3 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)
与f 的大小.
分析:要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练 已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念而致错
典例 若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的取值集合是 .?
错解函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,因此1-a≥4,即a≤-3.故实数a的取值集合为{a|a≤-3}.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:错解中把单调区间误认为是在区间上单调.
正解:因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=4,即a=-3.故实数a的取值集合为{-3}.
答案:{-3}探究一探究二探究三思维辨析当堂检测纠错心得 单调区间是一个局部概念,比如说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则是指该区间为相应单调区间的子集.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件的含义.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练若函数f(x)=2x2+7(a-3)x+2在区间(-∞,5]上单调递减,则实数a的取值范围是 .?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为( )
A.[-4,-2] B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]
答案:C2.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是( )解析:当2k+1<0,即k<- 时,函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.若函数y=f(x)满足f(-x)=f(x),且函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,则有( )
答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间是 .?解析:由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞).
答案:(-∞,1]和(1,+∞)探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.若函数f(x)在区间[-2,2]上是减函数,则f(-1) f(2).(填“>”“<”或“=”)?
解析:∵f(x)在区间[-2,2]上是减函数,且-1<2,
∴f(-1)>f(2).
答案:>证明:对于任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是( )
A.y=2x+1 B.y=x2+1
C.y=3-x D.y=x2+2x+1
解析函数y=3-x在区间(0,+∞)上是减函数.
答案C
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调减区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
解析易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调减区间是(1,+∞).
答案B
3.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)-f(b)a-b>0成立,则必有( )
A.f(x)在R上是增函数
B.f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)是先增后减
D.函数f(x)是先减后增
解析由f(a)-f(b)a-b>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当ab时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.
答案A
4.函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,3]∪[4,+∞) B.(-∞,3)∪(4,+∞)
C.(-∞,3] D.[4,+∞)
解析二次函数图象开口向上,对称轴为直线x=a-1,因为函数在区间(2,3)上为单调函数,所以a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4,故选A.
答案A
5.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则 ( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)解析选项D中,因为a2+1>a,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)答案D
6.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.-∞,-103 B.-103,+∞
C.-∞,103 D.103,+∞
解析因为函数f(x)=x2+3ax+5的单调递减区间为-∞,-3a2,
所以(-∞,5)?-∞,-3a2,
所以a≤-103.
答案A
7.函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是 .?
解析由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
答案[2,+∞)
8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2)时,f(x)是减函数,则f(1)= .?
解析∵函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,
∴x=-b2a=m4=-2,
∴m=-8,
即f(x)=2x2+8x+3.
∴f(1)=13.
答案13
9.已知函数f(x)=-2x2+mx+1在区间[1,4]上是单调函数,则实数m的取值范围是 .?
解析二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x=m4.
因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即m4?(1,4),所以m4≤1或m4≥4,即m≤4或m≥16.
答案(-∞,4]∪[16,+∞)
10.证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.
证明函数f(x)=-x的定义域为[0,+∞).
设x1,x2是[0,+∞)上的任意两个实数,且0≤x10,
f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)
=x1?x2
=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2.
∵x1-x2<0,x1+x2>0,
∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)∴函数f(x)=-x在定义域[0,+∞)上为减函数.
能力提升
1.函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为( )
A.(-∞,0],[1,+∞) B.(-∞,0],(-∞,1]
C.[0,+∞),[1,+∞) D.[0,+∞),(-∞,1]
解析由函数图象(图略)可知选D.
答案D
2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)上都是减函数,则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增
解析由于函数y=ax与y=-bx在区间(0,+∞)上都是减函数,所以a<0,-b>0,即a<0,b<0.因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=-b2a<0,且抛物线开口向下,所以y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是减函数.
答案B
3.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是( )
A.0≤m≤4 B.0≤m≤2
C.m≤0 D.m≤0或m≥4
解析由f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.
又因为f(x)图象的对称轴为x=--4a2a=2,
所以f(x)在区间[0,2]上的值域与在区间[2,4]上的值域相同.所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
答案A
4.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
解析f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴a≤1.
∵g(x)=ax+1在区间[1,2]上为减函数,
∴a>0,∴0答案D
5.给出下列三个结论:
①若函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)②若函数y=f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,则f(a2+1)③函数f(x)=1x在其定义域上是减函数.
其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析①函数单调性的定义中,x1,x2具有任意性,不能仅凭区间内有限个函数值的大小关系判断函数单调性,①错误;
②∵a2+1>a2,又y=f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴f(a2+1)③取x1=-1,x2=1,∵f(-1)=-1,f(1)=1,
∴f(-1)答案B
6.已知函数f(x)=ax+1x+2,若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是 .(用区间来表示)?
解析由“若x1>x2>-2,则f(x1)>f(x2)”可知函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.而f(x)=ax+1x+2=a+1?2ax+2,故有1-2a<0,解得a>12,即a的取值范围为12,+∞.
答案12,+∞
7.若函数f(x)=x2+2ax+3,x≤1,ax+1,x>1是减函数,则实数a的取值范围为 .?
解析由题意可得-a≥1,a<0,12+2a×1+3≥a×1+1,解得-3≤a≤-1,则实数a的取值范围是[-3,-1].
答案[-3,-1]
8.讨论函数f(x)=ax+1x+2a≠12在区间(-2,+∞)上的单调性.
解f(x)=ax+1x+2=a+1?2ax+2,
设任意的x1,x2∈(-2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=1?2ax1+2?1?2ax2+2
=(1-2a)x2-x1(x2+2)(x1+2).
∵-20,(x2+2)(x1+2)>0.
当a<12时,1-2a>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在区间(-2,+∞)上为减函数.
当a>12时,1-2a<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)故f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数.
综上,当a<12时,f(x)在区间(-2,+∞)上为减函数;当a>12时,f(x)在区间(-2,+∞)上为增函数.
9.某市一家报刊摊点,从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元,卖出价格是每份0.60元,卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里,有18天每天可卖出400份,其余12天每天只能卖出180份.则摊主每天从报社买进多少份晚报,才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?
解设摊主每天从报社买进x(180≤x≤400,x∈N)份晚报,每月获利为y元,则有y=(0.60-0.40)(18x+12×180)-(0.40-0.05)×12(x-180)=-0.6x+1 188,180≤x≤400,x∈N.
因为函数y=-0.6x+1 188在{x|180≤x≤400,x∈N}上是减函数,所以x=180时函数取得最大值,最大值为y=-0.6×180+1 188=1 080.
故摊主每天从报社买进180份晚报时,每月获得的利润最大,为1 080元.
课件29张PPT。第2课时 函数的最大(小)值一二一、函数的最大值
1.函数f(x)=-x2+1,x∈R的图象如图所示,观察其图象回答下列问题:
(1)函数图象有最高点吗?
提示:有.
(2)其最高点的坐标是多少?
提示:(0,1).
(3)对任意的自变量x∈R,f(x)与f(0)什么关系?
提示:f(x)≤f(0)=1.一二2.填空:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最大值.其几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.一二3.判断正误:
(1)二次函数均有最大值. ( )
(2)若对x∈R,均有f(x)答案:(1)× (2)×
4.做一做:
函数f(x)=(3a-2)x+1-a在[-2,3]上的最大值是f(-2),则实数a的取值范围是( )
解析:函数f(x)=(3a-2)x+1-a在[-2,3]上的最大值是f(-2),则函数y=f(x)在[-2,3]上为减函数,则3a-2<0,解得a< .
答案:D一二二、函数的最小值
1.观察函数f(x)=x2-1的图象,你能指出该函数的最小值吗?并说明理由.
提示:该函数的最小值为-1.因为对任意的x,都有f(x)≥f(0)=-1.
2.不等式x2>-1一定成立吗?-1是不是函数f(x)=x2的最小值?
提示:不等式x2>-1一定成立.-1不是函数f(x)=x2的最小值,
因为不存在实数x使x2=-1.一二3.填空:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对任意x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M,那么我们就称M是函数y=f(x)的最小值.其几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标.4.判断正误:
若函数有最小值,则该函数的图象一定开口向上.( )
答案:×一二5.做一做:
(1)已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,
则该函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(-2),0 B.0,2
C.f(-2),2 D.f(2),2
(2)函数f(x)= 在区间[2,4]上的最大值为 ,最小值为 .?
解析:(1)由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一利用函数的图象求函数的最值
例1 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
分析:去绝对值→分段函数→作图→识图→结论.由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟 探究一探究二探究三思想方法当堂检测(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究二利用函数的单调性求最值
例2 已知函数f(x)=x+ .
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
分析:(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:(1)设x1,x2是区间[1,2]上的任意两个实数,且x10,1∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1).
∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟 1.利用单调性求函数最值的一般步骤:
(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系:
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间(b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.探究一探究二探究三思想方法当堂检测延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.当1≤x1f(x2),f(x)在区间[1,2]上为减函数;
当20,40,∴f(x1)例3 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
分析:读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:(1)当每辆车的月租金为3 600元时, 所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟 1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.
2.解函数应用题的一般程序是:
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:解:(1)设月产量为x台,则总成本为20 000+100x, ∴当x=300时,f(x)max=25 000,
当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数,
f(x)<60 000-100×400<25 000.∴当x=300时,f(x)max=25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25 000元.探究一探究二探究三思想方法当堂检测利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
典例 求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的 相对位置关系→结合单调性与图象求解
解:y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,[0,2]是函数的递增区间,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.探究一探究二探究三思想方法当堂检测当1函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=0处取得最大值-1.
当a>2时,[0,2]是函数的递减区间,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.探究一探究二探究三思想方法当堂检测方法点睛 1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.探究一探究二探究三思想方法当堂检测2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:图①
当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上为减函数,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.探究一探究二探究三思想方法当堂检测如图②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上为减函数,
在(1,t+1]上为增函数,
∴g(t)=f(1)=1.
当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上为增函数,
∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.探究一探究二探究三思想方法当堂检测答案:A 2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0 B.-1 C.2 D.3
解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
答案:C探究一探究二探究三思想方法当堂检测3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D.
答案:D解析:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
答案:11探究一探究二探究三思想方法当堂检测5.数学老师给出一个函数f(x),甲、乙、丙、丁四名同学各说出了这个函数的一条性质.
甲:在(-∞,0]上函数单调递减;
乙:在[0,+∞)上函数单调递增;
丙:在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称;
丁:f(0)不是函数的最小值.
老师说:你们四名同学中恰好有三个人说的正确.那么,你认为 说的是错误的.?
解析:如果甲、乙两名同学回答正确,因为在[0,+∞)上函数单调递增,所以丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称”错误,此时f(0)是函数的最小值,所以丁的回答也是错误的,与“四名同学中恰好有三个人说的正确”矛盾,所以只有乙说的错误,故答案为乙.
答案:乙探究一探究二探究三思想方法当堂检测6.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.第2课时 函数的最大(小)值
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=-|x|在R上( )
A.有最大值0,无最小值
B.无最大值,有最小值0
C.既无最大值,又无最小值
D.以上都不对
解析因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.
答案A
2.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
解析由题意a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2.
答案C
3.函数y=x+x-2的值域是( )
A.[0,+∞) B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.[2,+∞)
解析函数y=x+x-2在[2,+∞)上单调递增,所以其最小值为2.
答案B
4.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内( )
A.有最大值42,有最小值12
B.有最大值42,有最小值-14
C.有最大值12,有最小值-14
D.无最大值,有最小值-14
解析∵f(x)=x+322?14,x∈(-5,5),∴当x=-32时,f(x)有最小值-14,f(x)无最大值.
答案D
5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析∵f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,
∴当x∈[0,1]时,f(x)是增函数,则f(x)min=f(0)=a=-2,∴f(x)max=f(1)=3+a=1.
答案C
6.已知定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足条件:对任意x,y,且x>0,y>0,总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则关于x的不等式f(x-1)>1的解集是( )
A.(-∞,2) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(0,2)
解析令y=1,则f(x)=f(x)+f(1)-1,得f(1)=1,所以f(x-1)>1?f(x-1)>f(1).又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以x-1>0,x-1<1,得1答案C
7.若函数f(x)=1x在区间[1,a]上的最小值为14,则a= .?
解析∵f(x)=1x在区间[1,a]上是减函数,
∴函数f(x)的最小值为f(a)=1a=14,∴a=4.
答案4
8.求函数f(x)=1x,12≤x<1,x,1≤x≤3的最大值与最小值.
解画出函数的图象,如图所示.
由图可知,函数的最大值是f(3)=3,最小值是f(1)=1.
9.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,求实数m的取值范围.
解y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由(x-1)2+2=3,得x=0或x=2.作出函数图象如图所示,由图象知,m的取值范围是1≤m≤2.
10.已知函数f(x)=x2-2x+2.
(1)求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值;
(2)若g(x)=f(x)-mx在[-1,2]上是单调递增函数,求m的取值范围.
解(1)因为f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
而x∈[-2,3],所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1.又f(-2)=(-2-1)2+1=10,f(3)=(3-1)2+1=5,故f(-2)>f(3),所以函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为10.
(2)因为g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2,其对称轴为x=m+22.由函数在区间[-1,2]上单调递增可得m+22≤-1,解得m≤-4.故m的取值范围是(-∞,-4].
能力提升
1.函数y=2--x2+4x的值域是( )
A.[-2,2] B.[1,2]
C.[0,2] D.[-2,2]
解析要求函数y=2--x2+4x的值域,只需求t=-x2+4x(x∈[0,4])的值域即可.
设二次函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4(x∈[0,4]),所以f(x)的值域是[0,4].因为t=f(x),所以t的值域是[0,2],-t的值域是[-2,0].
故函数y=2--x2+4x的值域是[0,2].故选C.
答案C
2.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量为x(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.120万元
C.120.25万元 D.60万元
解析设该公司在甲地销售x辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,根据题意,总利润y=-x2+21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N),整理得y=-x2+19x+30.
因为该函数图象的对称轴为x=192,开口向下,又x∈N,所以当x=9或x=10时,y取得最大值120万元.
答案B
3.已知函数f(x)=-x2+2x+4在区间[0,m]上有最大值5,最小值1,则m的值等于( )
A.-1 B.1
C.2 D.3
解析因为函数f(x)=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,故函数在区间(-∞,1]上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.
若m≤1,则函数在区间[0,m]上单调递增,其最小值为f(0)=-02+2×0+4=4>1,显然不合题意.
若m>1,则函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,m]上单调递减,故函数的最大值为f(1)=5.
而f(0)=-02+2×0+4=4>1.令f(m)=1,即-m2+2m+4=1,也就是m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3.又因为m>1,所以m=3.故选D.
答案D
4.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“??”如下:当a≥b时,a??b=a;当aA.12,+∞ B.12,2
C.12,23 D.-1,23
解析当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;
当1所以f(x)=x-4,-2≤x≤1,x3-4,1易知,f(x)=x-4在[-2,1]上单调递增,f(x)=x3-4在(1,2]上单调递增,且-2≤x≤1时,f(x)max=-3,1答案C
5.若函数f(x)=-(x-2)2,x<2,(3-a)x+5a,x≥2满足对任意x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,则实数a的取值范围是 .?
解析由题意得y=f(x)为单调递增函数,
∴3-a>0,-(2-2)2≤2(3-a)+5a,
∴-2≤a<3.
答案[-2,3)
6.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .?
解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).
由图象可知,函数f(x)的最大值为6.
答案6
7.求二次函数f(x)=x2-6x+7在区间[t,t+1]上的最小值g(t).
解∵f(x)=x2-6x+7=(x-3)2-2,
∴当t>3时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,
g(t)=f(x)min=f(t)=t2-6t+7.
当t≤3≤t+1,即2≤t≤3时,
g(t)=f(x)min=f(3)=-2.
当t+1<3,即t<2时,g(t)=f(x)min=f(t+1)=t2-4t+2,
综上所述,g(t)=t2-6t+7,t>3,-2,2≤t≤3,t2-4t+2,t<2.
8.已知函数f(x-1)=x2+(2a-2)x+3-2a.
(1)若函数f(x)在区间[-5,5]上为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)求a的值,使f(x)在区间[-5,5]上的最小值为-1.
解令x-1=t,则x=t+1,f(t)=(t+1)2+(2a-2)(t+1)+3-2a=t2+2at+2,所以f(x)=x2+2ax+2.
(1)因为f(x)图象的对称轴为x=-a,
由题意知-a≤-5或-a≥5,
解得a≤-5或a≥5.
故实数a的取值范围为a≤-5或a≥5.
(2)当a>5时,f(x)min=f(-5)=27-10a=-1,解得a=145(舍去);
当-5≤a≤5时,f(x)min=f(-a)=-a2+2=-1,解得a=±3;
当a<-5时,f(x)min=f(5)=27+10a=-1,解得a=-145(舍去).综上,a=±3.
9.函数f(x)=2x-ax的定义域为(0,1](a为实数).
(1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)>5在定义域上恒成立,求a的取值范围.
解(1)任取x1,x2∈(0,1],且x1则有f(x1)-f(x2)=(x1-x2)2+ax1x2>0,
即a<-2x1x2恒成立,∴a≤-2.
(2)由2x-ax>5(x∈(0,1]),得a<2x2-5x(x∈(0,1])恒成立.
∵2x2-5x=2x-542?258,
∴函数y=2x2-5x在(0,1]上单调递减,
∴当x=1时,函数取得最小值-3,即a<-3.
课件30张PPT。1.3.2 奇偶性一二一、偶函数
1.观察下列函数的图象,你能通过这些函数的图象,归纳出这三个函数的共同特征吗?提示:这三个函数的定义域关于原点对称,图象关于y轴对称. 一二2.对于上述三个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?这说明关于y轴对称的点的坐标有什么关系?
提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等.
3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?
提示:若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
4.填空:
(1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
(2)偶函数的图象特征:图象关于y轴对称.一二5.判断正误:
定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)一定是偶函数. ( )
答案:×
6.做一做:
下列函数中,是偶函数的是( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x
C.f(x)=
D.f(x)=x+x3
答案:A一二二、奇函数
1.观察函数f(x)=x和f(x)= 的图象(如图),你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?
提示:容易得到定义域关于原点对称,图象关于原点对称.
2.对于上述两个函数f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?
提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).一二3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?
提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称.
4.填空:
(1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
(2)奇函数的图象特征:图象关于原点对称.一二5.判断正误:
(1)若f(x)是奇函数,则f(0)=0.( )
(2)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.( )
答案:(1)× (2)×一二6.做一做:
(1)函数f(x)= -x的图象关于( )对称.
A.y轴 B.直线y=-x
C.坐标原点 D.直线y=x
(2)下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )一二解析:(1)因为f(x)= -x是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称.
(2)选项A中的函数图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
答案:(1)C (2)B探究一探究二探究三思想方法探究一判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:分析:利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.当堂检测探究一探究二探究三思想方法解:(1)∵函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.∴函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.当堂检测探究一探究二探究三思想方法(4)函数的定义域关于原点对称.
(方法一)当x>0时,-x<0,
f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.图象关于原点对称,
∴f(x)是奇函数.当堂检测探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为
奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.
2.判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:当堂检测探究一探究二探究三思想方法(2)图象法: 当堂检测探究一探究二探究三思想方法变式训练1判断下列函数的奇偶性: (2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=0.解:(1)f(x)的定义域是R, 所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.当堂检测探究一探究二探究三思想方法探究二利用函数的奇偶性求解析式
例2 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
分析:(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解即可.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.当堂检测探究一探究二探究三思想方法解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.当堂检测探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.这类问题常见的情形是:
已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=f(-x)=φ(-x).
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.当堂检测探究一探究二探究三思想方法延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究三分段函数的奇偶性问题
解析:∵当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x.
∴f(x)=x2+2x=x2+mx.∴m=2.
答案:2
反思感悟 分段函数奇偶性的判断技巧
(1)分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时,才能判断函数的奇偶性,否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数;(2)若能画出分段函数的图象,则利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性,这是一种非常有效的方法.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练 2判断f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.
分析:对a进行分类讨论.
解:若a=0,则f(x)=|x|-|x|=0.
因为x∈R,定义域R关于原点对称,
所以f(x)既是奇函数,又是偶函数.
当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x),故f(x)是奇函数.
综上,当a=0时,函数f(x)既是奇函数,又是偶函数;当a≠0时,函数f(x)是奇函数.探究一探究二探究三思想方法当堂检测利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
典例 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则( )
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性探究一探究二探究三思想方法当堂检测解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),
所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,
则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.
设x1由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
故f(x2)所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.
答案:B探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟 1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.
2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.
比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练 定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2 019,则下列说法正确的是( )
A.f(x)-1是奇函数
B.f(x)+1是奇函数
C.f(x)-2 019是奇函数
D.f(x)+2 019是奇函数
解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2 019,
即f(0)=-2 019.
令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2 019,
即f(α)+f(-α)=-4 038,
则f(-α)+2 019=-2 019-f(α)=-[2 019+f(α)],即f(x)+2 019是奇函数,故选D.
答案:D探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析:因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},
根据奇函数的定义域关于原点对称,
所以a与b有一个等于1,一个等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.
答案:AA.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
答案:D探究一探究二探究三思想方法当堂检测3.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
答案:B
4.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .?
解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a,
∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4.
答案:4探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测综上所述,在(-∞,0)∪(0,+∞)上总有f(-x)=-f(x).
因此函数f(x)是奇函数.
解法二作出函数的图象,如图所示.
又因为函数的图象关于原点对称,所以是奇函数.1.3.2 奇偶性
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列函数是奇函数的是( )
A.y=x(x-1)x-1 B.y=-3x2
C.y=-|x| D.y=πx3-35x
解析先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.
答案D
2.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
解析∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,
∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.
∵y=g(x)是偶函数,
∴g(-2)=f(-2)+2=-1,
∴f(-2)=-3.故选C.
答案C
3.已知f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x<0时,有( )
A.f(x)≤2 B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2 D.f(x)∈R
解析可画出满足题意的一个f(x)的大致图象如图所示,由图易知当x<0时,有f(x)≥2.故选B.
答案B
4.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递增区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
解析由函数f(x)=x|x|-2x可得,函数的定义域为R,且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-f(x),故函数为奇函数,函数f(x)=x|x|-2x=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,如图所示,
所以函数的递减区间为(-1,1),故选C.
答案C
5.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-x(1+x),当x<0时,f(x)等于( )
A.-x(1-x) B.x(1-x)
C.-x(1+x) D.x(1+x)
解析当x<0时,-x>0,则f(-x)=x(1-x).
又f(x)是R上的奇函数,
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-x(1-x).故选A.
答案A
6.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数
B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数
D.|f(x)|-g(x)是奇函数
解析由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),
由g(x)是奇函数可得g(-x)=-g(x),
故|g(x)|为偶函数,
∴f(x)+|g(x)|为偶函数.
答案A
7.若函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a= .?
解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即(-x+1)(?x+a)-x=-(x+1)(x+a)x,显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,解得a=-1.
答案-1
8.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)= .?
解析令h(x)=x5+ax3+bx,易知h(x)为奇函数.
因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8,
所以h(-2)=f(-2)+8=18.
h(2)=-h(-2)=-18,
所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.
答案-26
9.
已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象.
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
10.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
解∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,
且f(x)是奇函数,∴当x>0时,-x<0,
则f(-x)=x2-3x+2.
故当x>0时,f(x)=-f(-x)=3x-x2-2.
∴当x∈1,32时,f(x)是增函数;
当x∈32,3时,f(x)是减函数.因此当x∈[1,3]时,f(x)max=f32=14,f(x)min=f(3)=-2.
∴m=14,n=-2,从而m-n=94.
能力提升
1.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
答案B
2.设f(x)是奇函数,对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,则f(x)在区间[a,b]上( )
A.有最大值f(a) B.有最小值f(a)
C.有最大值fa+b2 D.有最小值fa+b2
解析任取x10.
∵当x>0时,f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0,即f(x2)+f(-x1)<0.
∵f(x)是奇函数,∴f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x2)答案A
3.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,-2)上是减函数,若g(x)=f(x-2)是奇函数,且g(2)=0,则不等式xf(x)≤0的解集是( )
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)
B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
解析g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位得到的,又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f(0)=g(2)=0,f(-4)=g(-2)=-g(2)=0,f(-2)=g(0)=0,结合函数的图象,
由xf(x)≤0可知x≥0,f(x)≤0或x<0,f(x)≥0.
结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.
故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A.
答案A
4.已知f(x)=(k-2)x2+(k-3)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间为 .?
解析由偶函数的定义知k=3,f(x)=x2+3,其图象开口向上,所以f(x)的递减区间是(-∞,0].
答案(-∞,0]
5.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则f(-2)= .?
解析因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即-02+10+1+t=0,解得t=-1.
所以f(x)=-x2+1x+1-1.
所以f(2)=-22+12+1-1=-143.
又函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=143.
答案143
6.定义在(-8,a)上的奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为a,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)= .?
解析根据题意,f(x)是定义在(-8,a)上的奇函数,则a=8.
又由f(x)在区间[2,7]上是增函数,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,
则f(6)=a=8,f(3)=-1.
函数是奇函数,则f(-6)=-8,f(-3)=1.
则2f(-6)+f(-3)=2×(-8)+1=-15.
答案-15
7.判断函数f(x)=x2-2x+3,x>0,0,x=0,-x2-2x-3,x<0的奇偶性.
解方法一:(图象法)画出函数f(x)的图象,如图所示,定义域关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数.
方法二:(定义法)f(x)的定义域为R(关于原点对称).
①当x=0时,-x=0,f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x);
②当x>0时,-x<0,∴f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x);
③当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x).
由①②③可知,当x∈R时,都有f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
8.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
(1)试求出f(x)的表达式;
(2)求出f(x)的值域.
解(1)∵f(x)的图象经过点(-2,0),
∴0=-2+b,即b=2.
∴当x≤-1时,f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数,
∴当x≥1时,f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时,依题意设f(x)=ax2+2(a≠0),
则1=a·(-1)2+2,
∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时,f(x)=-x2+2.
综上,f(x)=x+2,x≤?1,-x2+2,?1(2)当x≤-1时,f(x)=x+2∈(-∞,1];
当-1当x≥1时,f(x)=-x+2∈(-∞,1].
综上所述,f(x)∈(-∞,2].
9.已知函数f(x)=x+ab+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.
(1)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数;
(2)若实数m满足f(m-1)+f(1-2m)<0,求m的取值范围.
(1)证明函数f(x)=x+ab+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f(0)=0,ab=0,a=0.
∵f12=25,∴b=1,∴f(x)=x1+x2.设x1,x2是(-1,1)上任意两个实数,且-1∴f(x2)-f(x1)=x21+x22?x11+x12=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x22)(1+x12).
∵x1,x2∈(-1,1),且x2-x1>0,1-x1x2>0,
∴(x2-x1)(1-x1x2)(1+x22)(1+x12)>0,
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(-1,1)上单调递增.
(2)解∵f(x)=x1+x2是(-1,1)上的奇函数且单调递增,∵f(m-1)+f(1-2m)<0,
∴f(m-1)∴-1