课件16张PPT。习题课——单调性与奇偶性的综合应用1.填空:
(1)函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判断函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.
(2)在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数.
(3)如果f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们定义域中的公共区间上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶.
(4)若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a
(1)若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)( )
A.在[1,7]上是增函数 B.在[-7,2]上是增函数
C.在[-5,-3]上是增函数 D.在[-3,3]上是增函数
(2)若奇函数f(x)满足f(3)A.f(-1)f(1)
C.f(-2)(3)定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为 .?解析:(1)因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1,即f(x)=-x2+2,结合函数f(x)的图象(图略)知选C.
(2)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(-1).
(3)由已知条件可知f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f(3)再由偶函数的性质得f(3)答案:(1)C (2)A (3)f(3)例1 已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,∴f(2)∴f(-2)答案:A探究一探究二当堂检测反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.探究一探究二当堂检测延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)例2已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上为减函数.探究一探究二当堂检测反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.探究一探究二当堂检测延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上是减函数,所以函数在[0,2]上是增函数,
不等式可化为f(|1-m|)f(1),则下列各式一定成立的是( )
A.f(0)f(3) C.f(2)>f(0) D.f(-1)解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,
∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),f(4)>f(-1).
答案:D
2.若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )
A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1
解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
答案:C探究一探究二当堂检测3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则( ) 解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2), 答案:D 探究一探究二当堂检测4.定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,若f(1-m)解析:∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)是减函数,
∴不等式f(1-m)|m|,
探究一探究二当堂检测5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a),
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4),
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,
∴3a-10>2a-4,∴a>6.
故a的取值范围为(6,+∞).习题课——单调性与奇偶性的综合应用
课后篇巩固提升
1.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-2),f(3)的大小关系为( )
A.f(3)>f(-2)>f(-1)
B.f(3)C.f(-2)D.f(-1)解析∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,∴m=0,即f(x)=-x2+3.
∴当x<0时,函数f(x)为增函数,
∴f(-1)>f(-2)>f(-3)=f(3).
即f(3)答案B
2.设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,若m<0且m+n>0,则( )
A.f(n)+f(m)<0
B.f(n)+f(m)=0
C.f(n)+f(m)>0
D.f(n)+f(m)的符号不确定
解析由m<0且m+n>0可得,n>-m>0.
因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以f(n)故有f(n)<-f(m),即f(n)+f(m)<0.故选A.
答案A
3.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上( )
A.有最小值-5 B.有最大值-5
C.有最小值-1 D.有最大值-3
解析∵函数f(x)和g(x)都是奇函数,
∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
又F(x)在(0,+∞)上有最大值5,
∴F(x)-2在(0,+∞)上有最大值3,
F(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3,
∴F(x)在(-∞,0)上有最小值-1.
答案C
4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是.
解析利用函数f(x)是偶函数,得k-1=0,k=1,
所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).
答案[0,+∞)
5.若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=2x2+5x+4,则f(x)+g(x)= .?
解析∵f(x)-g(x)=2x2+5x+4,
∴f(-x)-g(-x)=2x2-5x+4,
又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,
∴-f(x)-g(x)=2x2-5x+4,
∴f(x)+g(x)=-2x2+5x-4.
答案-2x2+5x-4
6.若函数f(x)=2x2+7x-4,x>0,g(x),x<0为奇函数,则f(g(-1))= .?
解析当x<0时,-x>0.因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4
=2x2-7x-4,
所以f(x)=-2x2+7x+4.
即g(x)=-2x2+7x+4,
因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.
答案-81
7.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是 .?
解析因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0,
所以|x+2|<5,解得-7所以不等式f(x+2)的解集是(-7,3).
答案(-7,3)
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)解析∵f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,
又f(x)是奇函数,∴f(x)在(0,+∞)上也是减函数.
又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0,
∴f(x)在R上是减函数.
∵f(3a2+a-3)∴3a2+a-3>3a2-2a,解得a>1.
故实数a的取值范围为(1,+∞).
答案(1,+∞)
9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b为常数)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .?
解析f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(ab+2a)x+2a2,f(-x)=bx2-(ab+2a)x+2a2,
∵f(x)为偶函数,∴ab+2a=0,∴a=0或b=-2.
又f(x)的最大值4,∴b=-2,
f(0)=2a2=4,∴a=±2.∴f(x)=-2x2+4.
答案-2x2+4
10.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式f(x)g(x)<0的解集是 .?
解析不等式f(x)g(x)<0可化为f(x)g(x)<0,
由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).
∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,
∴f(x)g(x)是奇函数,
∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).
综上,不等式f(x)g(x)<0的解集是{x|-2答案{x|-211.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:
①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;
③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),
∴f(1-a)+f(1-a2)<0
?f(1-a)<-f(1-a2)
?f(1-a)∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴1?a>a2-1,-1<1-a<1,-1<a2-1<1,解得0故实数a的取值范围为(0,1).
12.已知函数f(x)=-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),即1-m=-(-1+2),解得m=2.经检验当m=2时函数f(x)是奇函数.所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知a-2>-1,a-2≤1,
所以113.已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数,且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
解(1)∵函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).∴-2(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,由不等式g(x)≤0,得f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3),
∴-2故不等式g(x)≤0的解集为12,2.
