课件32张PPT。2.1.1 指数与指数幂的运算一二三四一、n次方根
1.我们在初中学习了平方根、立方根,有没有四次方根、五次方根、……、n次方根呢?
(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?
提示:根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为±2,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如-8的立方根为-2;零的平方根、立方根均为零.
(2)类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根?
提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.一二三四2.填空:一二三四3.做一做:
用根式表示下列各式.
(1)已知x5=2 019,则x= ;?
(2)已知x6=2 019,则x= .?4.判断正误:
答案:×一二三四二、根式
1.类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?一二三四3.填空:一二三四4.做一做: 答案:(1)奇 (2)n-m 一二三四三、分数指数幂
1.整数指数幂的运算性质有哪些?提示:(1)am·an=am+n;(2)(am)n=am·n; 2.零和负整数指数幂是如何规定的? 一二三四3.根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子,你能从中总结出怎样的规律?提示:当根式的被开方数(被开方数大于0)的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.一二三四4.填表:
正数的分数指数幂的意义一二三四5.规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用?
提示:由于整数指数幂、分数指数幂都有意义,因此有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).6.判断正误:
答案:(1)× (2)×一二三四7.做一做:
(1)若a>0,且m,n为整数,则下列各式正确的是( )(2)将下列根式化为分数指数幂: (3)将下列分数指数幂化为根式: 一二三四四、无理数指数幂2.无理数指数幂aα(a>0,α是一个无理数)有何意义?有怎样的运算性质?
提示:无理数指数幂的意义,是用有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.一般来说,无理数指数幂aα(a>0,α是一个无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一分数指数幂的简单计算问题
例1计算:
分析:在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3)),就先把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟 1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究二根式的化简(求值)
例2 求下列各式的值:分析:(1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进行运算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,然后开方化为绝对值的形式,根据x的取值范围去掉根号即可.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解:(1)原式=a-b+b-a=0. ∵-3
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?
(2)该例中的(2),若x>3呢?
解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.
(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,
故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4;
(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,
故该式=(x-1)-(x+3)=-4.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值 分析:(1)直接运用分数指数幂的运算性质进行计算;(2)先将根式化为分数指数幂,再运用分数指数幂的运算性质进行化简.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究四条件求值 (1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.
分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件 的联系,进而整体代入求值.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,
即a2+a-2=7.
(3)设y=a2-a-2,两边平方,得
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
分析:看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测反思感悟 1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数k,然后以k为媒介化简,这样使问题容易解决.
2.换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致,关键时候还要检验.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测A.5 B.-1
C.2π-5 D.5-2π答案:B 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测2.下列各式正确的是( ) 答案:D 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测3.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为 ( )
A.15 B.17 C.35 D.37答案:B 解析:由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4.
答案:[2,4)∪(4,+∞)2.1.1 指数与指数幂的运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列各式正确的是( )
A.8a8=a B.a0=1
C.4(-4)4=-4 D.5(-5)5=-5
解析5(-5)5=-5.
答案D
2.若(a-2)-14有意义,则实数a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2
解析∵(a-2)-14=14a?2,∴若(a-2)-14有意义,则a-2>0,即a>2.
答案C
3.若a<14,则化简4(4a-1)2的结果是( )
A.1?4a B.4a?1
C.-1?4a D.-4a?1
解析∵a<14,∴4a-1<0,∴4(4a-1)2=1?4a.
答案A
4.设a>0,将a2a·3a2表示成分数指数幂,其结果是( )
A.a12 B.a56 C.a76 D.a32
解析由题意a2a·3a2=a2?12-13=a76,故选C.
答案C
5.1120-(1-0.5-2)÷27823的值为( )
A.-13 B.13 C.43 D.73
解析原式=1-(1-22)÷322=1-(-3)×49=73.故选D.
答案D
6.若4a2-4a+1=1-2a,则a的取值范围是 .?
解析∵4a2-4a+1=(2a-1)2=|2a-1|=1-2a,
∴2a-1≤0,即a≤12.
答案-∞,12
7.若5x=4,5y=2,则52x-y= .?
解析52x-y=(5x)2·(5y)-1=42×2-1=8.
答案8
8.若α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .?
解析利用一元二次方程根与系数的关系,得
α+β=-2,αβ=15,
则2α·2β=2α+β=2-2=14,(2α)β=2αβ=215.
答案14 215
9.求614?3338+30.125的值.
解原式=254?3278+30.53=522?3323+0.5=52?32+12=32.
10.已知x+y=12,xy=9,且x>y,求x12-y12x12+y12的值.
解∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=108.
∵x>y,∴x-y=63,
∴x12-y12x12+y12=(x12-y12)2(x12+y12)(x12-y12)=x+y-2x12y12x-y
=x+y-2(xy)12x-y=12?2×91263=663=33.
能力提升
1.若6x?2·43?x有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥2 B.x≤3
C.2≤x≤3 D.x∈R
解析由题意知x-2≥0,且3-x≥0,所以2≤x≤3.
答案C
2.将3-22化为分数指数幂,其形式是( )
A.212 B.-212
C.2-12 D.-2-12
解析3-22=(-22)13=(-2×212)13=(-232)13=-212.
答案B
3.已知x2+x-2=22,且x>1,则x2-x-2的值为( )
A.2或-2 B.-2 C.6 D.2
解析(方法一)∵x>1,∴x2>1.
由x-2+x2=22,可得x2=2+1,
∴x2-x-2=2+1-12+1=2+1-(2-1)=2.
(方法二)令x2-x-2=t, ①
∵x-2+x2=22, ②
∴由①2-②2,得t2=4.∵x>1,∴x2>x-2,
∴t>0,于是t=2,即x2-x-2=2,故选D.
答案D
4.已知a,b是实数,下列等式:①3a3+b2=a+b;②(a+b)2=a+b+2ab;③4(a2+b2)4=a2+b2;④a2+2ab+b2=a+b.其中一定成立的是 (只填序号).?
解析∵b2=|b|,∴①不一定成立;根据根式的性质,知②③一定成立;∵a2+2ab+b2=|a+b|,∴④不一定成立.
答案②③
5.若a>0,b>0,则化简b3aa2b6的结果为 .?
解析b3aa2b6=b3aa2b612=b3aab3=1.
答案1
6.已知a2x=2+1,求a3x+a-3xax+a-x的值.
解∵a2x=2+1,∴a-2x=12+1=2-1,即a2x+a-2x=22,∴a3x+a-3xax+a-x=(ax+a-x)(a2x+a-2x-1)ax+a-x
=a2x+a-2x-1=22-1.
7.化简y=4x2+4x+1+4x2-12x+9,并画出简图,写出最小值.
解y=4x2+4x+1+4x2-12x+9
=|2x+1|+|2x-3|=2?4x,x≤?12,4,?12其图象如图所示.
由图易知函数的最小值为4.
8.已知x=12,y=23,求x+yx-y?x-yx+y的值.
解x+yx-y?x-yx+y=(x+y)2x-y?(x-y)2x-y=4xyx-y.
将x=12,y=23代入上式得,原式=412×2312-23=413-16=-2413=-83.
课件35张PPT。2.1.2 指数函数及其性质一二一、指数函数的定义
1.细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y.
(1)变量x与y间存在怎样的关系?
提示:y=2x,x∈N*.
(2)上述对应关系是函数关系吗?为什么?
提示:是.符合函数的定义.
2.如果x∈R,等式y=2x还表示y是x的函数吗?如果是,其解析式有何结构特征?
提示:是.结构特征:等式右边是指数形式,底数为常数,指数是变量.
3.填空:
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.一二4.指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1?
提示:将a如数轴所示分为:a<0,a=0,01五部分进行讨论:(3)如果a=1,y=1x=1,是个常数函数,没有研究的必要;
(4)如果01,即a>0且a≠1,x可以是任意实数.一二5.做一做:
函数y=(a-2)ax是指数函数,则( )
A.a=1或a=3 B.a=1
C.a=3 D.a>0且a≠1
解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,
则a-2=1,解得a=3.
答案:C
6.判断正误:
y=x2 019-x是指数函数. ( )
答案:×一二二、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质一二(1)图象分布在哪几个象限?这说明了什么?
提示:图象分布在第一、二象限,说明值域为(0,+∞).
(2)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?
提示:它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数a大于1时图象上升,为增函数;当底数a大于0小于1时图象下降,为减函数.
(3)图象是否经过定点?这与底数的大小有关系吗?
提示:图象恒过定点(0,1),与a无关.一二3.你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y=ax的哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)
提示:定义域为R,值域为(0,+∞),过定点(0,1),当a>1时在R上是增函数,当0指数函数的图象和性质一二5.做一做:
(1)不论a取何值,函数f(x)=a2x-1+3(a>0,且a≠1)一定经过定点( )
(2)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )一二(2)函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则由于指数函数是单调函数,则有a>1,由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴上面,可知B正确.
答案:(1)C (2)B一二6.判断正误:
(1)y=3-x是R上的增函数.( )
答案:(1)× (2)√探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一指数函数的概念 (2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
分析:(1)设出指数函数f(x)的解析式,然后代入已知点的坐标求解参数,从而确定函数解析式,然后代值求解;(2)依据指数函数的形式定义,确定参数a所满足的条件求解.探究一探究二探究三思想方法当堂检测(1)解析:设f(x)=ax(a>0,a≠1),
∴a-2= .∴a=2.∴f(4)f(2)=24·22=64.
答案:64反思感悟指数函数是一个形式定义,其特征如下: 探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练(1)已知指数函数图象经过点P(-1,3),则f(3)= .?
(2)已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a= .?解析:(1)设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),由题意得a-1=3, (2)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数, 探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究二指数函数的图象问题
例2 (1)如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.aB.bC.1D.a(2)已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是 .?
(3)函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?探究一探究二探究三思想方法当堂检测分析:(1)作直线x=1,其与函数图象的交点纵坐标即为指数函数底数的值;(2)令幂指数等于0,即x+1=0,即可解得;(3)先讨论x,将函数写为分段函数,再画出函数的图象,然后根据图象写出函数的值域和单调区间.
(1)解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有b由图可知b答案:B探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点.
答案:(-1,4)所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.
2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).
3.指数函数y=ax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.探究一探究二探究三思想方法当堂检测延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢? 则原函数的图象关于y轴对称,如图.
由图象可知,函数的值域为[1,+∞),单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究三指数函数的性质及其应用
例3 (1)求下列函数的定义域与值域:(2)比较下列各题中两个值的大小:
①2.53,2.55.7;③2.3-0.28,0.67-3.1.
分析:(1)根据解析式有意义的条件求解函数定义域,然后结合指数函数的单调性求解函数的值域;(2)根据两数的结构特征构造指数函数,将其转化为指数函数的单调性问题求解,或借助中间值比较大小.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:(1)①∵由x-4≠0,得x≠4, 探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.
又3<5.7,∴2.53<2.55.7.③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:
(1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.
(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.
①换元,令t=f(x);
②求t=f(x)的定义域x∈D;
③求t=f(x)的值域t∈M;
④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.
2.比较幂的大小的常用方法:探究一探究二探究三思想方法当堂检测延伸探究比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解:因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,
∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.
若0∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;
当1(a-1)2.4.探究一探究二探究三思想方法当堂检测换元法在求函数值域中的应用
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数的值域.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟 1.定义域、值域的求解思路
形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
求形如y=af(x)的函数的值域,应先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
形如y=f(ax)的函数的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.
2.求解技巧
复合函数的值域,往往用换元法解决,但要注意新元和旧元的关系.探究一探究二探究三思想方法当堂检测(1)当m=-2时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域;
(2)若对任意x∈[0,+∞),总有|f(x)|≤6成立,求实数m的取值范围.
∵x∈(-∞,0),∴t∈(1,+∞),
∴y=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3,对称轴t=1,图象开口向上,
∴g(t)在t∈(1,+∞)为增函数,
∴g(t)>3,即f(x)的值域为(3,+∞).探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.函数y=2-x的图象是图中的( ) 答案:B2.已知集合M={y∈R|y=2x,x>0},N={x∈R|x2-2x<0},则M∩N=( )
A.(1,2) B.(1,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,0]∪(1,+∞)
答案:A探究一探究二探究三思想方法当堂检测3.已知2x>21-x,则x的取值范围是( )答案:C 4.若a>3,则函数f(x)=4(a-2)2x+6-1的图象恒过定点的坐标是 .?
解析:∵a>3,∴a-2>1.令2x+6=0,得x=-3,
则f(-3)=4(a-2)0-1=3.
故函数f(x)恒过定点的坐标是(-3,3).
答案:(-3,3)探究一探究二探究三思想方法当堂检测5.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值等于3a,则a= .?
解析:当a>1时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,有f(2)=a2=3a,解得a=3(舍去a=0);
当0综上可知,a=3.
答案:3探究一探究二探究三思想方法当堂检测6.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为 .?
解析:设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.
答案:{x|x<0或x>4}7.求函数f(x)=7-x+5的定义域、值域. 故函数f(x)=7-x+5的值域为(5,+∞). 2.1.2 指数函数及其性质
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数f(x)=(m2-m-1)ax是指数函数,则实数m的值为( )
A.2 B.1 C.3 D.2或-1
解析由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.
答案D
2.已知对于任意实数a(a>0,且a≠1),函数f(x)=7+ax-1的图象恒过点P,则点P的坐标是( )
A.(1,8) B.(1,7)
C.(0,8) D.(8,0)
解析在函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)中,当x=1时,f(1)=7+a0=8.所以函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(1,8).故选A.
答案A
3.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是( )
A.-89,8 B.-89,8
C.19,9 D.19,9
解析∵-2≤x<2,
∴-2<-x≤2,∴3-2<3-x≤32,
∴-89<3-x-1≤8,即y∈-89,8.
答案A
4.已知函数f(x)=4x,x>0,f(x+1)?1,x<0,则f-12+f12=( )
A.3 B.5 C.32 D.52
解析∵f-12=f12-1=412-1=1,f12=412=2,∴f-12+f12=1+2=3,故选A.
答案A
5.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是( )
解析当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B不正确;当0答案C
6.已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
解析∵3>1,0<0.2<1,∴a=30.2∈(1,3).
∵b=0.2-3=15-3=53=125,
c=(-3)0.2=(-3)15=5-3<0,∴b>a>c.
答案B
7.若函数y=ax-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是 .?
解析由ax-1≥0,知ax≥1.当x≤0时,ax≥1成立,再结合指数函数的单调性知,0答案08.已知指数函数f(x)=(1-2a)x,且f(3)解析∵f(x)是指数函数,且f(3)∴函数f(x)在R上是减函数,
∴0<1-2a<1,即0<2a<1,∴a<0.
答案(-∞,0)
9.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点2,12,其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.
解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点2,12,所以a2-1=a=12.
(2)由(1)得f(x)=12x-1(x≥0),函数为减函数,当x=0时,函数取最大值2,故f(x)∈(0,2],
所以函数y=f(x)+1=12x-1+1(x≥0)∈(1,3],
故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].
10.判断函数f(x)=1-22x+1的奇偶性.
解方法一:函数f(x)的定义域为R.
∵f(x)=1-22x+1=2x-12x+1,
f(-x)=2-x-12-x+1=2x(2-x-1)2x(2-x+1)=1?2x1+2x=-2x-12x+1=-f(x).
即f(-x)=-f(x),∴f(x)是R上的奇函数.
方法二:函数的定义域为R.
∵f(-x)+f(x)=1?2x2x+1+2x-12x+1=0,
∴f(x)是奇函数.
能力提升
1.函数y=a|x|+1(a>0且a≠1),x∈[-k,k],k>0的图象可能为( )
解析由题意易知,函数y=a|x|+1为偶函数,且y>1,排除A,B.
当a>1时,函数图象在[0,k]上单调递增,但图象应该是下凸,排除D.∴选C.
答案C
2.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图所示.
由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,即M的最小值为4,故选C.
答案C
3.已知函数f(x)=a-12x+1,若f(x)为奇函数,则a= .?
解析(方法一)∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,
∴f(0)=0,即a-120+1=0.∴a=12.
经检验a=12满足要求.
(方法二)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即a-12-x+1=12x+1-a,解得a=12.
答案12
4.函数y=122x-x2的值域为 .?
解析由题知函数的定义域为R.
∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
又y=12x为减函数,
∴122x-x2≥121=12.
故函数y=122x-x2的值域为12,+∞.
答案12,+∞
5.已知函数f(x)=|x-1|,0≤x≤2,12x-1,2解析作出函数图象,如图所示,由图可知x1+x2=2,1-x1=x2-1=12x3-1,得x2=12x3-1+1,
则(x1+x2)x2f(x3)=212x3-1+112x3-1.
令t=12x3-1,x3∈(2,3],得t∈14,12,
又y=2(t+1)t=2t2+2t,
则y的取值范围为58,32.
答案58,32
6.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;
(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
解(1)因为f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),
所以a2+b=0,a0+b=?2,解得a=3,b=-3.
(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),
因为f(0)=1+b<0,即b<-1,
所以b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示.
由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为m=0或m≥3.
7.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)·f(y),当x>0时,f(x)>1.
(1)求f(0);
(2)证明:f(x-y)=f(x)f(y);
(3)判断f(x)的单调性.
(1)解令x=1,y=0,得f(1)=f(1)·f(0),
由条件知f(1)≠0,∴f(0)=1.
(2)证明设x<0,则-x>0.
令y=-x,则有f(0)=f(x)·f(-x)=1,
∴f(x)=1f(-x).∵f(-x)>1,∴0又f(x-y)·f(y)=f(x-y+y)=f(x),且f(y)≠0,
∴f(x-y)=f(x)f(y).
(3)解由(2)知,对任意x∈R,都有f(x)>0.
设x1,x2是R上任意两个值,且x1则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)
=f(x1)-f(x2-x1)·f(x1)
=f(x1)[1-f(x2-x1)]<0,
∴f(x1)8.已知函数f(x)=ax+1?tax(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求实数t的值;
(2)若f(1)>0,不等式f(x2+bx)+f(4-x)>0在x∈R上恒成立,求实数b的取值范围;
(3)若f(1)=32且h(x)=a2x+1a2x-2mf(x)在x∈[1,+∞)上最小值为-2,求m的值.
解(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,所以1+(1-t)=0,所以t=2.
(2)由(1)知,f(x)=ax-1ax(a>0,a≠1),
因为f(1)>0,所以a-1a>0.
又a>0且a≠1,所以a>1,
所以f(x)=ax-1ax在R上单调递增.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x2+bx)+f(4-x)>0,
即f(x2+bx)>f(x-4),所以x2+bx>x-4,
即x2+bx-x+4>0在x∈R上恒成立,
所以Δ=(b-1)2-16<0,
即-3(3)因为f(1)=32,所以a-1a=32,
解得a=2或a=-12(舍去),
所以h(x)=22x+122x-2m2x-12x
=2x-12x2-2m2x-12x+2.
令u=f(x)=2x-12x,则g(u)=u2-2mu+2,
因为f(x)=2x-12x在R上为增函数,且x≥1,
所以u≥f(1)=32.
因为h(x)=22x+122x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,所以g(u)=u2-2mu+2在32,+∞上的最小值为-2.
因为g(u)=u2-2mu+2=(u-m)2+2-m2的对称轴为u=m,所以当m≥32时,g(u)min=g(m)=2-m2=-2,解得m=2或m=-2(舍去);当m<32时,g(u)min=g32=174-3m=-2,解得m=2512>32.
综上可知m=2.
