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高中数学
人教新课标A版
必修1
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.2 对数函数
本节综合
人教A版高中必修一数学(课件+巩固提升):第二章基本初等函数Ⅰ 2.2对数函数
文档属性
名称
人教A版高中必修一数学(课件+巩固提升):第二章基本初等函数Ⅰ 2.2对数函数
格式
zip
文件大小
4.1MB
资源类型
教案
版本资源
人教新课标A版
科目
数学
更新时间
2019-06-04 10:49:56
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文档简介
课件25张PPT。第1课时 对数一、对数的概念
1.(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…依次类推,那么1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数N是多少?
提示:N=2x.
(2)上述问题中,若已知分裂后得到的细胞的个数分别为8个,16个,则分裂的次数分别是多少?
提示:3次,4次.
(3)上述问题中,如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗?
提示:能,x=log2N.
2.填空:
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.一二三四一二三四3.在对数式x=logaN中,底数a和真数N的取值范围是什么,为什么?
提示:由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a,所以a的取值范围为a>0,且a≠1;由于在指数式中ax=N,而ax>0,所以N>0.
4.判断正误:
(1)因为(-2)2=4,所以log-24=2. ( )
(2)log34与log43表示的含义相同. ( )
答案:(1)× (2)×一二三四答案:(1)B (2)D (3)C 一二三四二、常用对数与自然对数
1.10b=a用对数式如何表示?
提示:b=log10a,简记为b=lg a.
2.在科学计算器上,有一个特殊符号“ln”,你知道它是什么吗?
提示:符号“ln”是一种对数符号,它是用来计算以“e”为底的对数的.
3.ln M=n用指数式如何表示?
提示:en=M.
4.填空:
常用对数:以10为底数,记作lg N.
自然对数:以e为底数,记作ln N,其中e=2.718 28….5.做一做:
(1)lg 105= ;(2)ln e= .?
答案:(1)5 (2)1一二三四三、对数式与指数式的互化
1.在指数式和对数式中都含有a,x,N这三个量,那么这三个量在两个式子中各有什么异同点?
提示:幂底数←a→对数底数;指数←x→对数;幂←N→真数.
2.53=125化为对数式是什么?log416=2化为指数式是什么?指数式与对数式具有怎样的关系?
提示:log5125=3,42=16.
当a>0,且a≠1时,ax=N?x=logaN.
3.(-3)2=9能否直接化为对数式log(-3)9=2?
提示:不能,因为只有符合a>0,a≠1时,才有ax=N?x=logaN.一二三四4.指数式ab=N和对数式b=logaN(a>0,a≠1)有何区别与联系?
提示:二者反映的本质是一样的,都是a,b,N之间的关系;但二者突出的重点不一样,指数式ab=N中突出的是指数幂N,而对数式b=logaN中突出的是对数b.
5.做一做:
完成下面的指数式与对数式的互化.四、对数的基本性质
1.(1)“60=?”化成对数式呢?
提示:1 log61=0.
(2)“51=?”化成对数式呢?
提示:5 log55=1.
2.填空:
对数的基本性质
(1)负数和零没有对数.
(2)loga1=0(a>0,a≠1).
(3)logaa=1(a>0,a≠1).一二三四一二三四3.做一做:
(2)若log3(log2x)=0,则x= .?
解析:(2)由已知得log2x=1,故x=2.
答案:(1)D (2)2探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一对数式与指数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化:分析:利用当a>0,且a≠1时,logaN=b?ab=N进行互化. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.logaN=b与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:
2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1将下列指数式与对数式互化: (5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0). 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究二利用对数式与指数式的关系求值
例2求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;分析:利用指数式与对数式之间的关系求解. (2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.
(3)∵ln e2=x,∴ex=e2,∴x=2.(5)∵lg 0.01=x,∴10x=0.01=10-2,∴x=-2. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2求下列各式中的x值: (2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.
(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究三利用对数的基本性质与对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值:
(1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1;分析:利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及对数恒等式求值.
解:(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.
(2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2,∴x=102=100.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.
2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式 =N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3求下列各式中x的值: 解:(1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e,∴x=10e.
(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1,∴x=5.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因忽视底数的取值范围而致错
典例 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.
错解由对数的性质可得x2+3x=x+3,解得x=1或x=-3.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:上述解法的错误在于忘记检验底数需大于0且不等于1.解得x=1.故实数x的值为1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测防范措施 1.在对数表达式x=logaN中,需满足底数a>0,且a≠1,真数N>0.
2.在利用对数式的性质求出a的值后,务必验证底数和真数是否满足对数式的意义.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知log2(logx4)=1,求x的值.
解:由底数的对数等于1,得logx4=2,∴x2=4.
又∵x>0,∴x=2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.将log5b=2化为指数式是( )
A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5
答案:C答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:-3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= .?
解析:因为loga2=m,loga3=n,
所以am=2,an=3.
所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.
答案:126.求下列各式中x的值: (3)由log3(lg x)=1,得lg x=3,
故x=103=1 000.第1课时 对数
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若7x=8,则x=( )
A.87 B.log87 C.log78 D.log7x
答案C
2.方程2log3x=14的解是( )
A.19 B.3 C.33 D.9
解析∵2log3x=14=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=19.
答案A
3.若loga7b=c(a>0,且a≠1,b>0),则有( )
A.b=a7c B.b7=ac C.b=7ac D.b=c7a
解析∵loga7b=c,∴ac=7b.∴(ac)7=(7b)7.∴a7c=b.
答案A
4.已知b=log(a-2)(5-a),则实数a的取值范围是( )
A.a>5或a<2 B.2
C.2
解析由5?a>0,a-2>0,a-2≠1,得2
答案C
5.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.e0=1与ln 1=0
B.8-13=12与log812=-13
C.log39=2与912=3
D.log77=1与71=7
解析log39=2应转化为32=9.
答案C
6.21+12·log25的值等于 .?
解析21+12log25=2×212log25=2×(2log25)12=2×512=25.
答案25
7.已知log3[log3(log4x)]=0,则x= .?
解析log3[log3(log4x)]=0?log3(log4x)=1?log4x=3?x=43?x=64.
答案64
8.求下列各式中x的值:
(1)log2x=-23; (2)logx(3+22)=-2;
(3)log5(log2x)=1; (4)x=log2719.
解(1)由log2x=-23,得2-23=x,故x=1322=322.
(2)由logx(3+22)=-2,得3+22=x-2,
故x=(3+22)-12=2-1.
(3)由log5(log2x)=1,得log2x=5,故x=25=32.
(4)由x=log2719,得27x=19,即33x=3-2,
故x=-23.
9.解答下列各题.
(1)计算:lg 0.000 1;log2164;log3.12(log1515).
(2)已知log4x=-32,log3(log2y)=1,求xy的值.
解(1)因为10-4=0.000 1,
所以lg 0.000 1=-4.
因为2-6=164,所以log2164=-6.
log3.12(log1515)=log3.121=0.
(2)因为log4x=-32,
所以x=4-32=2-3=18.
因为log3(log2y)=1,所以log2y=3.
所以y=23=8.所以xy=18×8=1.
10.求下列各式中x的取值范围:
(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2).
解(1)由题意知x-10>0,所以x>10.
故x的取值范围是{x|x>10}.
(2)由题意知x+2>0x-1>0,且x-1≠1,
即x>?2x>1,且x≠2,
所以x>1,且x≠2,
故x的取值范围是{x|x>1,且x≠2}.
能力提升
1.若loga3=m,loga5=n,则a2m+n的值是( )
A.15 B.75 C.45 D.225
解析由loga3=m,得am=3,由loga5=n,得an=5,
∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45.
答案C
2.已知log12(log2x)=log13(log3y)=1,则x,y的大小关系是( )
A.x
C.x>y D.不确定
解析因为log12(log2x)=1,
所以log2x=12.所以x=212=2.
又因为log13(log3y)=1,
所以log3y=13.
所以y=313=33.
因为2=623=68<69=632=33,
所以x
答案A
3.若f(ex)=x,则f(2)= .?
解析由ex=2可知x=ln 2,故f(2)=ln 2.
答案ln 2
4.有下列说法:
①任何一个指数式都可以化成对数式;
②以a(a>0,且a≠1)为底1的对数等于0;
③以3为底9的对数等于±2;
④3log3(-5)=-5成立.
其中正确的个数为 .?
解析①中举反例为(-1)2=1不能化成对数式;②正确;③log39=2;④-5不能做真数.
答案1
5.已知x,y,z为正数,且3x=4y=6z,2x=py,则p= .需用到公式log4k=?log3klog34
解析设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1),
则x=log3k,y=log4k,z=log6k.
∵2x=py,∴2log3k=plog4k=plog3klog34.
∵log3k≠0,∴p=2log34.
答案2log34
6.求下列各式的值:
(1)log1162; (2)log7349; (3)log2(log93).
解(1)设log1162=x,则116x=2,即2-4x=2,
∴-4x=1,x=-14,即log1162=-14.
(2)设log7349=x,则7x=349=723.
∴x=23,即log7349=23.
(3)设log93=x,则 9x=3,即32x=3,∴x=12.
设log212=y,则2y=12=2-1,
∴y=-1.∴log2(log93)=-1.
7.已知二次函数f(x)=(lg a)x2+2x+4lg a的最大值是3,求a的值.
解因为二次函数f(x)有最大值,所以lg a<0.
又[f(x)]max=16lg2a-44lga=4lg2a-1lga=3,
所以4lg2a-3lg a-1=0.
所以lg a=1或lg a=-14.
因为lg a<0,所以lg a=-14.
所以a=10-14.
课件26张PPT。第2课时 对数的运算一二一、对数的运算性质
1.指数的运算法则有哪些?
提示:(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);(3)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
(4)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
2.计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗?
提示:∵log24=2,log28=3,log232=5,
∴log24+log28=log2(4×8)=log232;一二3.计算lg 10,lg 100,lg 1 000及lg 104的值,你能发现什么规律?
提示:lg 10=1,lg 100=lg 102=2,lg 1 000=lg 103=3,lg 104=4,可见lg 10n=nlg 10=n.
4.填表:
对数的运算性质一二5.判断正误:
log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5). ( )
答案:×
6.做一做:
A.0 B.2 C.4 D.6
解析:原式=2lg 5+2lg 2-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.
答案:A一二二、换底公式一二答案:×
4.做一做:
已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log125= .?探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一对数运算性质的应用
例1 计算下列各式的值:分析:利用对数的运算性质进行计算. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)
=2+lg 5+lg 2=2+1=3.反思感悟1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.探究一探究二探究三思想方法当堂检测?探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究二换底公式的应用
例2 计算下列各式的值:分析:用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练2化简:(1)log23·log36·log68;
(2)(log23+log43)(log32+log274).探究一探究二探究三思想方法当堂检测例3 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
分析:先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式,将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数的运算.解:∵18b=5,∴b=log185. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测答案:B 探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究三对数的综合应用 分析:用对数式表示出x,y,z后再代入所求(证)式子进行求解或证明.解:(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436, 探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m. 反思感悟对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M, 探究一探究二探究三思想方法当堂检测对数方程的求解方法
典例 解下列方程:
(2)lg x+2log10xx=2;
(3) (2x2-3x+1)=1.
解得x=15或x=-5(舍去),
经检验x=15是原方程的解.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一探究二探究三思想方法当堂检测归纳总结(1)在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.
(2)解对数方程可将其转化为同底数对数后求解,或通过换元转化为代数方程求解,注意在将对数方程化为代数方程的过程中,未知数的范围扩大或缩小容易导致增、失根.故解对数方程必须把求出的解代入原方程进行检验,否则易造成错解:.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练 方程log3(x2-10)=1+log3x的解是 .?
解析:原方程可化为log3(x2-10)=log33x.
所以x2-10=3x,
解得x=-2或x=5.
检验知,方程的解为x=5.
答案:x=5探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.log248-log23=( )
A.log244 B.2 C.4 D.-2答案:C 2.log52·log425等于( )
答案:C探究一探究二探究三思想方法当堂检测答案:D 4.已知3a=2,用a表示log34-log36= .?
解析:∵3a=2,∴a=log32,
∴log34-log36=log322-log3(2×3)
=2log32-log32-log33=a-1.
答案:a-1探究一探究二探究三思想方法当堂检测答案:36 探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)(lg 2)2+lg 2·lg 500+lg 125. =log78-log79+log79-log78=0.
(2)原式=lg 2(lg 2+lg 500)+3lg 5
=lg 2·lg 1 000+3lg 5=3lg 2+3lg 5
=3(lg 2+lg 5)=3lg 10=3.第2课时 对数的运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知logx16=2,则x等于( )
A.±4 B.4
C.256 D.2
解析∵logx16=2,∴x2=16.
∵x>0且x≠1,∴x=4.
答案B
2.2log510+log50.25=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
答案C
3.若log23=a,则log49=( )
A.a B.a
C.2a D.a2
解析log49=log29log24=2log232=log23=a,故选B.
答案B
4.1log1419+1log1513等于( )
A.lg 3 B.-lg 3 C.1lg3 D.-1lg3
解析原式=log1914+log1315=log94+log35=log32+log35=log310=1lg3.
答案C
5.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),则yx的值为( )
A.4 B.1或14 C.1或4 D.14
解析∵2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),
∴lg(x-2y)2=lg xy,∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,
∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,
∴x≠y,∴yx=14.
答案D
6.计算:2713+lg 4+2lg 5-eln 3= .?
解析由题意得2713+lg 4+2lg 5-eln 3=(33)13+(lg 4+lg 25)-eln 3=3+2-3=2.
答案2
7.log35log46log57log68log79= .?
解析log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2·2lg3lg3·2lg2=3.
答案3
8.若2x=3,log483=y,则x+2y= .?
解析∵2x=3,∴x=log23.
∴x+2y=log23+2log483=log23+2×log283log24=log23+log283=log28=3.
答案3
9.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的两个根是lg α,lg β(α>0,β>0),那么αβ的值是 .?
解析由题意,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg135,
所以lg(αβ)=lg135,
∴αβ=135.
答案135
10.计算:
(1)lg2+lg5?lg8lg50?lg40;
(2)lg12-lg58+lg54-log92·log43.
解(1)原式=lg2×58lg5040=lg54lg54=1.
(2)(方法一)原式=lg1258+lg54?lg2lg9×lg3lg4
=lg45×54?lg22lg3×lg32lg2
=lg 1-14=-14.
(方法二)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg 2+lg 8-lg 4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg 2+lg 4)+lg 8-14=-lg(2×4)+lg 8-14=-14.
11.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求x·y34的值.
解∵log2(log3(log4x))=0,
∴log3(log4x)=1.
∴log4x=3.∴x=43=64.
由log4(log2y)=1,知log2y=4,
∴y=24=16.
因此x·y34=64×1634=8×8=64.
能力提升
1.若lg x-lg y=a,则lgx23-lgy23=( )
A.3a B.32a
C.a D.a2
解析lgx23-lgy23=3lgx2-lgy2=3(lg x-lg y)=3a.
答案A
2.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0,且a≠1),则PQ的值为( )
A.14 B.4
C.1 D.4或1
解析由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ).
由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,
所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得PQ=4.
答案B
3.已知0
A.x>y>z B.z>y>x
C.z>x>y D.y>x>z
解析由题意得x=loga2+loga3=loga6,y=12loga5=loga5,z=loga21-loga3=loga7,
因为0
所以loga5>loga6>loga7,
即y>x>z,故选D.
答案D
4.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有( )
A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3
C.t1+t2=t3 D.t1+t2
解析由题意,得2t1=3,2t2=6,2t3=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218,
所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.
答案C
5.2x=5y=m(m>0),且1x+1y=2,则m的值为 .?
解析由2x=5y=m(m>0),得x=log2m,y=log5m,
由1x+1y=2,得1log2m+1log5m=2,
即logm2+logm5=2,logm(2×5)=2.
故有m=10.
答案10
6.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a= ,b= .?
解析先求出对数值,再利用指数相等列方程求解.
∵logab+logba=logab+1logab=52,
∴logab=2或logab=12.
∵a>b>1,∴logab
∴logab=12,∴a=b2.
∵ab=ba,
∴(b2)b=bb2,∴b2b=bb2.
∴2b=b2,
∴b=2,∴a=4.
答案4 2
7.已知17a=13,log74=b,用a,b表示log4948为 .?
解析由17a=13可得a=log73,由log74=b可得b=2log72,所以log4948=12(4log72+log73)=2b+a2.
答案a+2b2
8.设x,y,z均为正数,且3x=4y=6z,试求x,y,z之间的关系.
解设3x=4y=6z=t,由x>0,知t>1,
故取以t为底的对数,
可得xlogt3=ylogt4=zlogt6=1,
∴x=1logt3,y=1logt4,z=1logt6.
∵1z?1x=logt6-logt3=logt2=12logt4=12y,
∴x,y,z之间的关系为1z?1x=12y.
9.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8yx的值.
解由对数的运算法则,可将等式化为loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)],
∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).
整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,
配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,
∴xy=3,x=2y.
∴yx=12.
∴log8yx=log812=log232-1=-13log22=-13.
课件34张PPT。2.2.2 对数函数及其性质一二三一、对数函数的定义
1.我们已经知道y=2x是指数函数,那么y=log2x(x>0)是否表示y是x的函数?为什么?
提示:是.由对数的定义可知y=log2x(x>0)?x=2y,结合指数的运算可知,在定义域{x|x>0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应,故y=log2x(x>0)表示y是x的函数,其定义域为(0,+∞).
2.填空:
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).一二三3.判断一个函数是不是对数函数的依据是什么?
提示:对数函数的定义与指数函数类似,只有满足①函数解析式右边的系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③真数仅有自变量x这三个条件,才是对数函数.如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都不是对数函数.
4.做一做:
下列函数是对数函数的是( )
A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)
B.y=log2 (x>0)
C.y=logx3(x>0,且x≠1)
D.y=log6x(x>0)
答案:D一二三二、对数函数的图象和性质
1.在同一坐标系中,函数y=log2x与y= 的图象如图所示.你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗?提示: 一二三提示:关于x轴对称. 提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0
对数函数的图象和性质一二三5.判断正误:
函数 与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. ( )
答案:×一二三6.做一做:
(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 ( )
A.0.5 B.2 C.e D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内
不是增函数的是( )
A.y=5x B.y=lg x+2
C.y=x2+1 D.y=
(3)函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点 .?
解析:(1)∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,
∴0
(3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6).
答案:(1)A (2)D (3)(3,-6)一二三三、反函数
1.函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间有什么关系?其图象之间是什么关系?
提示:函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间是互换的,两者的图象关于直线y=x对称.
2.填空:
对数函数y=logax(a>0且a≠1)和指数函数y=ax(a>0且a≠1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.一二三3.判断正误:
若函数y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象过(b,a). ( )
答案:√
4.(1)函数f(x)= 的反函数是 .?
(2)函数g(x)=log8x的反函数是 .?探究一探究二探究三探究四思想方法探究一对数函数的概念
例1 (1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m= .①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数;然后利用指对互化解方程.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法(1)解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
答案:2
(2)解:①由题意设f(x)=logax(a>0,且a≠1),解得a=16,故f(x)=log16x.
②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .?(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法探究二对数函数的图象
例2函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出
(3)从(2)的图中你发现了什么?当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟 对数函数图象的变化规律:
1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图① 图② 当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
图③
由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法探究三利用对数函数的性质比较大小
例3 比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;
(2)分别比较两个对数与0的大小;
(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)
(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32
log0.32.
(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0
综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0
1.求出函数的定义域;
2.将复合函数分解为基本初等函数;
3.分别确定各个基本初等函数的单调性;
4.根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练3比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln 0.3,ln 2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3
(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1
当0
loga5.2.
故当a>1时,loga3.1
当0
loga5.2.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法(3)(方法一)因为0>log0.23>log0.24, (方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,
由图可知log40.2>log30.2.
(4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究四求复合函数的单调区间
例4求函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调区间.
分析:利用复合函数法确定其单调区间.
解:令u=x2-2x+2,则u=(x-1)2+1≥1>0.
当x≥1时,u=x2-2x+2是增函数,
又y=log0.2u是减函数,
所以y=log0.2(x2-2x+2)在[1,+∞)上是减函数.
同理可得函数y=log0.2(x2-2x+2)在(-∞,1]上是增函数.
故函数y=log0.2(x2-2x+2)的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练 4求函数y=loga(a-ax)的单调区间.
解:(1)当a>1时,y=logat是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax
所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数.
(2)当0
0,即ax
所以y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是增函数.
综上所述,当a>1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数;当0
答案:(-∞,-2)探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测答案:③ 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测A.[-1,3) B.(-1,3) C.(-1,3] D.[-1,3]答案:C A.[-1,0] B.[0,1] C.[1,+∞) D.(-∞,-1]答案:A 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测A.y
C.1
0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .?
解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,
∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
答案:(2,2)探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 .?
解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,
即1>a>0>c.
同理log26>log22=1,所以b>a>c.
答案:b>a>c探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测6.已知函数f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)若f(a)
解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增.
当0
故所求a的取值范围为(0,2).2.2.2 对数函数及其性质
课后篇巩固提升
基础巩固
1.y=2x与y=log2x的图象关于( )
A.x轴对称 B.直线y=x对称
C.原点对称 D.y轴对称
解析函数y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.
答案B
2.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )
解析函数的定义域为(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.
答案C
3.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0
C.0
1
D.0
解析由题意可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0
答案D
4.已知a>0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是( )
解析∵函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,再由函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确.
答案C
5.已知a=2-13,b=log213,c=log1213,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
解析∵0
log1212=1,∴c>a>b.故选D.
答案D
6.若对数函数f(x)的图象经过点P(8,3),则f12= .?
解析设f(x)=logax(a>0,a≠1),则loga8=3,
∴a3=8,∴a=2.
∴f(x)=log2x,故f12=log212=-1.
答案-1
7.将y=2x的图象先 ,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象( )?
A.先向上平移一个单位长度
B.先向右平移一个单位长度
C.先向左平移一个单位长度
D.先向下平移一个单位长度
解析本题是关于图象的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何图形直观推断.
答案D
8.已知函数f(x)=log2x,x>0,3x,x≤0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .?
解析函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0
答案(0,1]
9.作出函数y=|log2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.
解先作出函数y=log2x的图象,如图甲.再将y=log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变),得函数y=|log2x|的图象,如图乙;然后将y=|log2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).
10.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意,f(9)=loga9=2,故a2=9,
解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=log13x.
能力提升
1.函数y=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点 ( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
解析令x+2=1,得x=-1,此时y=1.
答案D
2.若函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)=14,则a=( )
A.2 B.-2 C.12 D.-12
解析由题意,得g(x)=2x.
∵g(a)=14,∴2a=14,∴a=-2.
答案B
3.若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,4)∪[2,+∞) D.[-4,4)
解析令t(x)=x2-ax-3a,则由函数f(x)=log2t在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t(x)在区间(-∞,-2]上是减函数,且t(-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D.
答案D
4.已知函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值等于( )
A.12 B.2 C.3 D.13
解析因为函数y=ax与y=loga(x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f(x)在[0,1]上的最大值与最小值之和为f(0)+f(1)=(a0+loga1)+(a1+loga2)=a,整理得1+a+loga2=a,即loga2=-1,解得a=12.故选A.
答案A
5.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为 .?
解析∵a=log43.6log42=2log43.6=log43.62,又函数y=log4x在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,
∴log43.62>log43.6>log43.2,∴a>c>b.
答案a>c>b
6.已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).?
解析(方法一)首先,曲线y=ax位于x轴上方,y=loga(-x)位于y轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.
(方法二)若0
若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有②满足条件.
(方法三)如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象,又y=logax与y=ax互为反函数(两者图象关于直线y=x对称),则可直接选②.
答案②
7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .?
解析由已知条件可得函数f(x)的解析式为
f(x)=lgx,x>0,0,x=0,-lg(-x),x<0,其图象如右图所示.
由函数图象可得不等式f(x)>0时,x的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).
答案(-1,0)∪(1,+∞)
8.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.
(1)若1?M,2∈M,求实数a的取值范围;
(2)若M=R,求实数a的取值范围.
解(1)由题意M={x|ax2+2x+a>0}.
由1?M,2∈M可得a×12+2×1+a≤0,a×22+2×2+a>0,
化简得2a+2≤0,5a+4>0,解得-45
所以a的取值范围为-45,-1.
(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.
当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;
当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即4?4a2<0,a>0,化简得a2>1,a>0,解得a>1.
所以a的取值范围为(1,+∞).
9.已知函数f(x)=log21+axx-1(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)∵函数f(x)=log21+axx-1是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴log21?ax-x-1=-log21+axx-1.
即log2ax-1x+1=log2x-11+ax,∴a=1.
令1+xx-1>0,解得x<-1或x>1.
所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.
(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),
当x>1时,x+1>2,∴log2(1+x)>log22=1.
∵x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立,
∴m≤1.故m的取值范围是(-∞,1].
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同课章节目录
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.2 函数及其表示
1.3 函数的基本性质
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.2 对数函数
2.3 幂函数
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.2 函数模型及其应用
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