课件33张PPT。2.3 幂函数一二一、幂函数的定义
1.函数y=2x与y=x2有什么不同?
提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为1;解析式等号右边只有1项.
3.填空:
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.一二4.做一做:
在函数y= ,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 .?
解析:函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.
答案:1一二二、幂函数的图象及性质一二(1)它们的图象都过同一定点吗?
提示:是的,都过定点(1,1).
(2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢?
提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y= .在(0,+∞)内是减函数的有:y=x-1.
(3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对称,是偶函数的呢?
提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,是偶函数的有:y=x2.一二2.填表:
幂函数的性质一二3.判断正误:
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
答案:(1)× (2)×一二4.做一做:
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增
D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减一二答案:(1)C (2)C 探究一探究二探究三探究四思想方法探究一幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
解:根据幂函数的定义,
得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法探究二幂函数的图象
例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c
B.aC.bD.c分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0答案:A当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n答案:A当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法探究三利用幂函数的单调性比较大小
例3比较下列各组中两个数的大小:当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法A.bC.b∴a>b,a答案:A当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究四幂函数图象的应用
例4已知点 在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)分析:先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1解:根据幂函数y=x1.3的图象,知
当0∴0<0.71.3<1.
又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,
由(0.71.3)m<(1.30.7)m,知
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测数形结合与分类讨论思想在幂函数中的应用
典例 已知函数 (m∈Z)为偶函数,且f(3)(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1)在[2,3]上为增函数,求实数a的取值范围.
分析:(1)根据单调性明确-2m2+m+3的符号,从而得出m的取值范围.由m∈Z可得m的具体值,再根据奇偶性进行取舍.(2)分01进行讨论,研究内、外层函数的单调性,注意当x∈[2,3]时,真数应恒为正.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测归纳总结幂函数综合应用中应注意
1.充分利用幂函数的性质,如单调性、奇偶性等.
注意分类讨论、数形结合思想的应用.
2.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,它将抽象的数量关系与直观的图形结合起来,使问题变得简单易懂.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测变式训练 已知幂函数 满足f(2)(1)求f(x)的解析式.
(2)若函数g(x)=f2(x)+mf(x),x∈[1,9],是否存在实数m使得g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测解:(1)∵f(x)是幂函数,∴p2-3p+3=1,
解得p=1或p=2.
(2)令t=f(x),x∈[1,9],
则t∈[1,3],记φ(t)=t2+mt,t∈[1,3].
综上所述,存在m=-1使得g(x)的最小值为0.探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为( ) 解析:幂函数y=kxα过点(4,2), 答案:B 探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测2.幂函数 在第一象限内的图象依次是下图中的曲线( )
A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
解析:幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4, 在第一象限内的图象为C2, 在第一象限内的图象为C3.
答案:D探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,则3m-5<0,即m< .
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;
当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
答案:B探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测探究一探究二探究三探究四思想方法当堂检测5.比较下列各组中两个值的大小: (4)0.18-0.3与0.15-0.3. 2.3 幂函数
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数y=3xα-2的图象过定点( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(1,-1) D.(-1,-1)
答案A
2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2
C.f(x)=x3 D.f(x)=x12
答案C
3.下列结论中,正确的是( )
A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数α取1,3,12时,幂函数y=xα都是增函数
D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数
答案C
4.已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )
A.0<α<1 B.α<0
C.α<1 D.α>1
解析由幂函数的图象特征知α<1.
答案C
5.已知a=1.212,b=0.9-12,c=1.1,则( )
A.c解析b=0.9-12=910-12=10912,c=1.1=1.112,
∵12>0,且1.2>109>1.1,
∴1.212>10912>1.112,即a>b>c.
答案A
6.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则 ( )
A.-1C.-11 D.n<-1,m>1
解析由于y=xm在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0答案B
7.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是 .?
解析因为函数f(x)=x13的定义域为R,且为单调递增函数,
所以由不等式可得a+1<3-2a,
解得a<23.
答案-∞,23
8.已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m= .?
解析因为幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数,所以m2-2m为奇数.又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数,故m=1.
答案1
9.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .?
解析由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x12.由x12=3,得x=9,即明文是9.
答案9
10.已知函数y=(a2-3a+2)xa2-5a+5(a为常数),问:
(1)当a为何值时,此函数为幂函数?
(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?
(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?
分析根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定义求解.
解(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,
解得a=3±52.
(2)由题意知a2-5a+5=1,a2-3a+2≠0,解得a=4.
(3)由题意知a2-5a+5=?1,a2-3a+2≠0,解得a=3.
11.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;
当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.
故f(x)=x2.
(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,
函数的对称轴为x=a-1,
由题意知函数在(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4.
能力提升
1.已知幂函数g(x)=(2a-1)xa+2的图象过函数f(x)=32x+b的图象所经过的定点,则b的值等于( )
A.-2 B.1 C.2 D.4
解析易知函数g(x)=(2a-1)xa+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g(x)=x3,幂函数过定点(1,1),在函数f(x)=32x+b中,当2x+b=0时,函数过定点-b2,1,据此可得-b2=1,故b=-2.故选A.
答案A
2.函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
解析由已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,
当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,
对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,
函数是单调增函数,所以m=2,此时f(x)=x3.
又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,
则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
答案A
3.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则( )
A.cC.b解析幂函数f(x)=mxn的图象过点(2,22),则m=1,(2)n=22?m=1,n=3,所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)为单调递增函数.又ln 2<1<3,所以f(ln 2)答案B
4.给出幂函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x;⑤f(x)=1x.其中满足条件fx1+x22>f(x1)+f(x2)2(x2>x1>0)的函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析如图,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有④满足,其他四个都不满足,故选A.
答案A
5.若幂函数y=xmn(m,n∈N*且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 .?
①m,n是奇数且mn<1;②m是偶数,n是奇数,且mn>1;③m是偶数,n是奇数,且mn<1;④m,n是偶数,且mn>1.
解析由题图知,函数y=xmn为偶函数,m为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以mn<1,选③.
答案③
6.幂函数f(x)=(m2-3m+3)·xm2-2m+1在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m= .?
解析由f(x)=(m2-3m+3)xm2-2m+1是幂函数,得m2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f(x)=x是增函数;当m=1时,f(x)=1是常函数.
答案2
7.已知函数f(x)=2x,x≥2,(x-1)3,x<2.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .?
解析作出函数图象如图所示,则当0答案(0,1)
8.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.
(1)求实数m的值;
(2)当x∈(1,2]时,记?(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.
解(1)依题意得(m-1)2=1.
∴m=0或m=2.
当m=2时,f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.
∴m=0.
(2)由(1)可知f(x)=x2,当x∈(1,2]时,函数f(x)和g(x)均单调递增.
∴集合A=(1,4],B=(2-k,4-k].
∵A∪B=A,∴B?A.∴2?k≥1,4?k≤4.
∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1].
9.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.
(2)若F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.
(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为-4,178,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.
解(1)由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.
(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3.
要使函数在区间[2a,a+1]上不单调,
则2a<1(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.
假设存在这样的正数q符合题意,
则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x=2q-12q=1-12q<1,因而,函数g(x)在[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,
又g(2)=-1≠-4,
从而必有g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.
此时,g(x)=-2x2+3x+1,其对称轴x=34∈[-1,2],∴g(x)在[-1,2]上的最大值为g34=-2×342+3×34+1=178,符合题意.
∴存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为-4,178.
