课件26张PPT。第1课时 集合的含义一二三四一、元素与集合的相关概念
1.你所在学校高一新生全体同学构成2019级部.请阅读下列语句,并思考提出的问题:
①2019级部的所有同学;
②2019级部的所有男生;
③2019级部的所有女生;
④2019级部比较帅的同学.
(1)以上各语句要研究的对象分别是什么?
提示:以上各语句要研究的对象分别为2019级部的所有同学、2019级部的所有男生、2019级部的所有女生、2019级部比较帅的同学.
(2)哪个语句中的对象不确定?为什么?
提示:④中的对象不确定,因为“比较帅”没有明确的划分标准.一二三四2.填空:
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
3.判断正误:
如果小明的身高是180厘米,那么他应该是由高个子学生组成的集合中的一个元素. ( )
答案:×一二三四二、集合中元素的特征
1.构成英文单词success的所有字母能否组成一个集合,如果能组成一个集合,该集合中有几个元素?为什么?
提示:能.因为集合中的元素是明确的(确定性);有5个元素.因为集合中的元素必须是不同的(互异性).
2.分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系?集合中的元素有没有先后顺序?
提示:相等.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.也就是说集合中的元素是没有先后顺序的.
3.填空:
集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.
4.判断正误:
方程x2-2x+1=0的解集中含有2个元素. ( )
答案:×一二三四三、元素与集合的关系
问题思考
1.由大于1的数构成的集合记作集合A.1和2与集合A是怎样的关系?
提示:因为2>1成立,所以2是集合A中的元素,即2属于集合A;
因为1>1不成立,所以1不是集合A中的元素,即1不属于集合A.
2.填空:一二三四3.做一做:
用符号∈和?填空:
(1)若所有正奇数构成的集合为M,则4 M,-1 M,7 M;?
解析:(1)4和-1都不是正奇数,7是正奇数,因此4?M,-1?M,7∈M.
答案:(1)? ? ∈ (2)∈ ?一二三四四、常用数集的字母表示
问题思考
1.非负整数集与正整数集有何区别?
提示:非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
2.填写下表:3.若a∈Q,则一定有a∈R吗?反过来呢?
提示:若a∈Q,则一定有a∈R;反过来,若a∈R,但不一定有a∈Q.一二三四4.做一做:
用符号“∈”或“?”填空.
(1)1 N*;(2)-3 N;?答案:(1)∈ (2)? (3)∈ (4)? (5)∈ 探究一探究二探究三思维辨析探究一集合的概念
例1 2018年9月,我们踏入了心仪的高中校园,找到了自己的班级.则下列对象能构成一个集合的是哪些?并说明你的理由.
(1)你所在班级中全体同学;
(2)班级中比较高的同学;
(3)班级中身高超过178 cm的同学;
(4)班级中比较胖的同学;
(5)班级中体重超过75 kg的同学;
(6)学习成绩比较好的同学;
(7)总分前五名的同学.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析分析:根据研究对象的特征是否具有可以衡量、可以判断的标准,即是否具有确定性进行逐个判断.
解:(1)班级中全体同学是确定的,所以可以构成一个集合.
(2)因为“比较高”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(3)因为“身高超过178 cm”是确定的,所以可以构成一个集合.
(4)“比较胖”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(5)“体重超过75 kg”是确定的,可以构成一个集合;
(6)“学习成绩比较好”无法衡量,所以对象不确定,所以不能构成一个集合;
(7)“总分前五名”是确定的,可以构成一个集合.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:当堂检测探究一探究二探究三思维辨析变式训练1中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association),简称中职篮(CBA),是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛,中国最高等级的篮球联赛.
下列对象能构成一个集合的是哪些?并说明你的理由.
(1)2017~2018赛季,CBA的所有队伍;
(2)CBA中比较著名的队员;
(3)CBA中得分前五位的球员;
(4)CBA中比较高的球员.当堂检测解:(1)CBA的所有队伍是确定的,所以可以构成一个集合;
(2)“比较著名”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合;
(3)“得分前五位”是确定的,可以构成一个集合.
(4)“比较高”没有衡量的标准,对象不确定,所以不能构成一个集合.探究一探究二探究三思维辨析探究二元素与集合的关系
例2 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;② ?Q;③0∈Z;④|-1|?N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是否是集合A中的元素?
②若-5∈A,求实数a的值;
③若1?A,求实数a的取值范围.
(3)若集合A是由所有形如3a+ b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素?当堂检测探究一探究二探究三思维辨析分析:(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.
(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式,解之即可.
(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析(1)解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
答案:C
(2)解:①将x=0代入方程,02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1?A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法
(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.
(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.
(3)若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练 2用符号“∈”或“?”填空:
-1 N, N*,3.7 ?Z,3.14 ?Q,π ?R.?
解析:因为-1是负整数,所以-1?N;因为 =2,所以 ∈N*;因为3.7不是整数,所以3.7?Z;因为3.14是有理数,所以3.14∈Q;因为π是实数,所以π∈R.
答案:? ∈ ? ∈ ∈探究一探究二探究三思维辨析探究三集合中元素的特性及其应用
例3 已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
分析:由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.反思感悟集合中元素当含有字母时的处理方法
先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.
注意:在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究(1)本例中集合A中能否只有一个元素呢?
(2)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?
解:(1)若该集合中只有一个元素,
则有a-2=2a2+5a=12.
由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.
所以该集合中不可能只含有一个元素.
解a-2≠12,得a≠14;
解2a2+5a≠12,
即(2a-3)(a+4)≠0,得a≠ 且a≠-4;
解2a2+5a≠a-2,即a2+2a+1≠0,得a≠-1.
所以实数a不能取四个值:14, ,-4,-1.探究一探究二探究三思维辨析因忽视集合中元素的互异性而致错
典例 已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为 .?
错解因为1∈A,所以a=1或a2=1,解得a=1或a=-1.故填1或-1.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:以上错解中没有注意到元素a与a2不相等,得到了错误答案1或-1.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.
正解:因为1∈A,所以a=1或a2=1.当a=1时,a2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去.当a2=1,即a=±1时,a=1舍去.若a=-1,集合A含有两个元素1和-1,符合集合中元素的互异性.综上,a=-1.
答案:-1当堂检测探究一探究二探究三思维辨析防范措施 1.分类讨论思想的运用
解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中由1∈A,可知a=1或a2=1.
2.集合中元素的互异性的作用
求解与集合有关的字母参数时,需要利用集合中元素的互异性来检验所求字母参数的值是否符合要求.如本例中需对所求出的1与-1分别进行检验.当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练 方程x2-(a+1)x+a=0的解集有几个元素?
解:x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为1,a.
若a=1,则方程的解集只有一个元素1;
若a≠1,则方程的解集有两个元素1,a.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列各选项中可以构成集合的是( )
A.相当大的数 B.本班长得特别漂亮的学生
C.光明中学2019级学生 D.著名的数学家
解析:“相当大”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故A不构成集合;同样B,D也不构成集合.故选C.
答案:C
2.设集合A只含有一个元素a,则有( )
A.0∈A B.a?A C.a∈A D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,故a属于集合A,∴a∈A.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.用符号∈或?填空:
(1)若A表示由所有质数组成的集合,则1 A,2 A,
3 A;?
解析:(1)由2,3为质数,1不是质数,得1?A,2∈A,3∈A.
答案:(1)? ∈ ∈ (2)? ∈ ∈
4.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有 个元素.?
解析:方程x2-5x+6=0的解是2,3;方程x2-x-2=0的解是-1,2.由集合元素的互异性知,以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素.
答案:3探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件. 故实数x满足的条件为x≠0,且x≠-1. 第1课时 集合的含义
课后篇巩固提升
基础巩固
1.①某班很聪明的同学;②方程x2-1=0的解集;③漂亮的花儿;④空气中密度大的气体.其中能组成集合的是( )
A.② B.①③ C.②④ D.①②④
解析求解这类题目要从集合中元素的确定性、互异性出发.①③④不符合集合中元素的确定性.
答案A
2.给出下列关系:①12∈R;②2?R;③|-3|∈N;④|-3|∈Q.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析①③正确.
答案B
3.已知集合A中只含1,a2两个元素,则实数a不能取( )
A.1 B.-1 C.-1和1 D.0
解析由集合元素的互异性知,a2≠1,即a≠±1.
答案C
4.设不等式3-2x<0的解集为M,下列正确的是( )
A.0∈M,2∈M B.0?M,2∈M
C.0∈M,2?M D.0?M,2?M
解析从四个选项来看,本题是判断0和2与集合M之间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0?M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M.
答案B
5.如果集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为( )
A.2 B.2或4 C.4 D.0
解析∵a∈A,∴当a=2时,6-a=4,∴6-a∈A;
当a=4时,6-a=2,∴6-a∈A;
当a=6时,6-a=0,∴6-a?A,故a=2或4.
答案B
6.仅由英语字母“b”,“e”,“e”组成的集合中含有 个元素.?
解析因为集合中元素具有互异性,故由英语字母“b”,“e”,“e”组成的集合中只含有“b”,“e”两个元素.
答案2
7.集合M中的元素y满足y∈N,且y=1-x2,若a∈M,则a的值为 .?
解析由y=1-x2,且y∈N知,y=0或1,∴集合M含0和1两个元素.又a∈M,∴a=0或1.
答案0或1
8.已知集合A含有两个元素1,2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解的集合,且集合A与集合B相等,则a+b= .?
解析∵集合A与集合B相等,且1∈A,2∈A,
∴1∈B,2∈B,∴1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根,∴1+2=?a,1×2=b,∴a=?3,b=2.∴a+b=-1.
答案-1
9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;
(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
解(1)因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
10.设a,b∈R,集合A中有三个元素1,a+b,a,集合B中也有三个元素0,ba,b,且A=B,求a,b的值.
解由于集合B中的元素是0,ba,b,故a≠0,b≠0.
又A=B,∴a+b=0,
即b=-a,∴ba=-1.
∴a=-1,b=1.
能力提升
1.下面有三个命题:
①集合N中最小的数是1;
②若-a?N,则a∈N;
③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析因为自然数集中最小的数是0,而不是1,故①错;②中取a=2,-2?N,且2?N,故②错;对于③中a=0,b=0时,a+b的最小值是0,故选A.
答案A
2.由a,a,b,b,a2,b2构成集合A,则集合A中的元素最多有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
解析根据集合中元素的互异性可知,集合A中的元素最多有4个,故选C.
答案C
3.由形如x=3k+1,k∈Z的数组成集合A,则下列表示正确的是( )
A.-1∈A B.-11∈A
C.15∈A D.32∈A
解析-11=3×(-4)+1,故选B.
答案B
4.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是 .?
解析a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.
答案8
5.设x,y,z是非零实数,若a=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|,则以a的值为元素的集合中元素的个数是 .?
解析当x,y,z都是正数时,a=4;当x,y,z都是负数时,a=-4;当x,y,z中有一个是正数另两个是负数或有两个是正数另一个是负数时,a=0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素.
答案3
6.如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,其中:x=a+b2(a,b∈Q),则下列元素中不属于集合M的元素有 个.?
①x=0,②x=2,③x=3-22π,④x=13?22,⑤x=6?42+6+42.
解析①当a=b=0时,x=0,①正确;②当a=0,b=1时,x=2,②正确;③当a=3,b=-2π时,b?Q,x=3-22π?M,③不正确;④当a=3,b=2时,x=3+22=13?22,④正确;⑤x=6?42+6+42=2-2+2+2=4.当a=4,b=0时,x=4,⑤正确.
答案1
7.记方程x2-ax-3=0的解构成的集合为P,方程x2-3x-a=0与x2-ax-8=0的所有解构成的集合为Q.若1∈P,试列举出集合Q中的元素.
解由1∈P可知,12-a×1-3=0,解得a=-2.
所以方程x2-3x-a=0,即为x2-3x+2=0,也就是(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2.
解方程x2-ax-8=0,即x2+2x-8=0,也就是(x-2)(x+4)=0,解得x=2或x=-4.
所以集合Q中的元素有1,2,-4.
8.(选做题)设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则11?a∈A,且1?A.
(1)若3∈A,求集合A;
(2)证明:若a∈A,则1-1a∈A;
(3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.
(1)解∵3∈A,∴11?3=-12∈A,∴11?-12=23∈A,∴11?23=3∈A,∴A=3,?12,23.
(2)证明∵a∈A,∴11?a∈A,
∴11?11?a=1?a-a=1-1a∈A.
(3)解假设集合A只有一个元素,记A={a},则a=11?a,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.
∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解.
这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,
故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素.
课件23张PPT。第2课时 集合的表示一二一、列举法
1.我们在初中学习过正整数、负整数、有理数、实数等,请思考以下问题:
(1)小于6的正整数有哪些?
提示:1,2,3,4,5.
(2)小于6的正整数是否可以组成一个集合?
提示:显然这些数是确定的,根据集合的定义,这些数可以组成一个集合.
(3)若能,用自然语言表示这个集合;如何用集合语言表示出这个集合?若不能,请说明理由.
提示:该集合可以用自然语言表示为:由1,2,3,4,5组成的集合;
用集合语言可以表示为{1,2,3,4,5}.2.填空:
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
3.判断正误:
(1)用列举法表示集合{x|x2-6x+9=0}为{3,3}. ( )
(2){?}与?表示相同的集合. ( )
答案:(1)× (2)×一二4.做一做:
由方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解为元素组成的集合为( )
A.{2,3,1} B.{2,3,-1}
C.{2,3,-2,1} D.{-2,-3,1}
解析:解方程x2-5x+6=0,得x=2,或x=3,
解方程x2-x-2=0,得x=-1或x=2,
故以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解为元素的集合为{2,3,-1}.
答案:B一二一二二、描述法
1.易知1,2,3,4,5这五个数字组成的集合可以用列举法表示.
(1)这五个数字的共同特征是什么?
提示:小于6,且为正整数.
(2)是否可以用描述法表示该集合?若能,请写出该集合;若不能,请说明理由.
提示:可以,{x|0
(3)小于6的实数,是否能组成一个集合?若能,能否用列举法表示出该集合?
提示:能组成一个集合,但不能用列举法表示;因为小于6的实数有无数个,且无法利用列举法表述出这些数的共性.一二2.填空:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
3.判断正误:
(1){x|x>2 019}与{z|z>2 019}表示相同的集合. ( )
(2){(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指平面直角坐标系内第一象限内的点集. ( )
答案:(1)√ (2)√
4.做一做:
已知集合A={0,1,2,3,4},用描述法表示该集合为 .(答案不唯一,写一个即可)?
答案:{x∈N|x≤4}探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-1=0的解组成的集合;
(2)单词“see”中的字母组成的集合;
(3)所有正整数组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
分析:先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.
解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.
(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.
(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;元素之间无顺序,满足无序性.
2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练1用列举法表示下列集合:
(1)15的正约数组成的集合;
(2)不大于10的正偶数组成的集合;解:(1){1,3,5,15};(2){2,4,6,8,10};(3){(-3,0)}. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究二用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
分析:找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合
解:(1){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;
(2)函数y=x2-4上的点组成的集合;解:(1){(x,y)|x∈R,y=0};(2){(x,y)|y=x2-4};(3){x|x≠1}. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究三集合的表示
例3用适当的方法表示下列集合:(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)函数y=x2函数值y的所有取值组成的集合.
分析:依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)设集合的代表元素是x,则该集合用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且k≤332}.
(3)用描述法表示为{x|x是正方形}或{正方形}.
(4)用描述法表示为{y|y≥0}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟 1.表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.
2.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
3.对于集合{三角形}实际上是{x|x是三角形}的简写,千万别理解成是由三个汉字组成的集合,三角形构成的集合不要写成{所有三角形},因为{ }本身就是“所有”的含义.
4.本题(4)中的集合表示点集,要注意区分{(x,y)|y=x2}与{x|y=x2}、{y|y=x2}都不是同样的集合.{x|y=x2}中代表元素是x,表示数集R;{y|y=x2}中的代表元素是y,即{y|y≥0}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测延伸探究试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合;
(2)一次函数y=3x与y=2x+7的图象的交点组成的集合.
解:(1)该集合用描述法表示为{x∈R|x(x2-1)=0},用列举法表示为{-1,0,1}.用列举法表示为{(7,21)}. 探究一探究二探究三思想方法当堂检测分类讨论思想在集合表示中的应用
典例 若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
【审题视角】明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.
此时集合A={2}.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测方法点睛1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.探究一探究二探究三思想方法当堂检测延伸探究1【典例】中若集合A中含有2个元素呢? 解得k<1,且k≠0.
延伸探究2【典例】中,若集合A中至多有一个元素呢?
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由【典例】知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,解得k>1.
综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}.探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.集合{x∈N*|2x-1<9}的另一种表示方法是( )
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
答案:B
2.下列各组集合中,表示同一集合的是( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={3,2},N={(3,2)}
解析:由于集合中的元素具有无序性,故{3,2}={2,3}.
答案:B探究一探究二探究三思想方法当堂检测3.若A={0,3,6},B={x|x=n-m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数为 .?
解析:当n=0,m=3时,n-m=-3;
当n=0,m=6时,n-m=-6;
当n=3,m=0时,n-m=3;
当n=3,m=6时,n-m=-3;
当n=6,m=0时,n-m=6;
当n=6,m=3时,n-m=3.
所以集合B中的元素共有4个:-3,3,-6,6.
答案:4探究一探究二探究三思想方法当堂检测4.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 .?
答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
5.分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;
(2)大于1,且小于5的所有整数组成的集合.
解:(1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}.
(2)集合用描述法表示为{x|x是大于1,且小于5的整数};用列举法表示为{2,3,4}.第2课时 集合的表示
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是 ( )
A.0∈A B.-4?A
C.4∈A D.2∈A
解析∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.
答案A
2.直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为( )
A.{0,1} B.{(0,1)}
C.-12,0 D.-12,0
解析直线y=2x+1与y轴的交点坐标是(0,1).其组成的集合用列举法表示是{(0,1)}.
答案B
3.已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合B等于( )
A.{-4,4} B.{-4,0,4}
C.{-4,0} D.{0}
解析∵集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},∴集合B={-4,0,4},故选B.
答案B
4.集合3,52,73,94,…用描述法可表示为( )
A.xx=2n+12n,n∈N*
B.xx=2n+3n,n∈N*
C.xx=2n-1n,n∈N*
D.xx=2n+1n,n∈N*
解析由3,52,73,94,即31,52,73,94,从中发现规律,x=2n+1n,n∈N*,
故可用描述法表示为xx=2n+1n,n∈N*.
答案D
5.已知集合M=a65?a∈N*,且a∈Z,则M等于( )
A.{2,3} B.{1,2,3,4}
C.{1,2,3,6} D.{-1,2,3,4}
解析因为集合M=a65?a∈N*,且a∈Z,
所以5-a可能为1,2,3,6,
即a可能为4,3,2,-1.
所以M={-1,2,3,4},故选D.
答案D
6.若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为 .?
解析当x=1时,y=0;当x=2时,y=1;当x=3时,y=2;当x=4时,y=3.故B={0,1,2,3}.
答案{0,1,2,3}
7.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为 .?
解析∵4∈A,∴16-12+a=0,
∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
答案{-1,4}
8.(2018全国高考卷改编)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则集合A中的元素个数为 .?
解析由已知可知x,y只有可能取-1,0,1,因此满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个.
答案9
9.选择适当的方法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数组成的集合;
(2)24的所有正因数组成的集合;
(3)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合;
(4)三角形的全体组成的集合.
解(1){x|x=5k+1,k∈N}.
(2){1,2,3,4,6,8,12,24}.
(3){(x,y)|xy=0}.
(4){x|x是三角形}或{三角形}.
10.已知集合A={x|x2+ax+b=0}.
(1)若0?A,求实数b的取值集合;
(2)若2∈A,3∈A,求实数a,b的值.
解(1)若0?A,则0不是方程x2+ax+b=0的根,
所以02+a×0+b≠0,解得b≠0.
所以实数b的取值集合为{b|b≠0}.
(2)由已知可得方程x2+ax+b=0有两实根x1=2,x2=3.由根与系数的关系得a=-(2+3)=-5,b=2×3=6.
能力提升
1.定义一种关于*的运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B中所有元素之和为( )
A.9 B.14
C.18 D.21
解析当x1=1时,x=1+1=2或x=1+2=3;
当x1=2时,x=2+1=3或x=2+2=4;
当x1=3时,x=3+1=4或x=3+2=5.
所以集合A*B={2,3,4,5},A*B中所有元素之和为2+3+4+5=14.故选B.
答案B
2.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈Q,则( )
A.a+b∈P
B.a+b∈Q
C.a+b∈R
D.a+b不属于P,Q,R中的任意一个
解析设a=2m(m∈Z),b=2n+1(n∈Z),则a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1.
因为m+n∈Z,与集合Q中的元素特征x=2k+1(k∈Z)相符合,所以a+b∈Q,故选B.
答案B
3.设a,b都是非零实数,则y=a|a|+b|b|+ab|ab|可能的取值组成的集合为( )
A.{3} B.{3,2,1}
C.{3,-2,1} D.{3,-1}
解析当a>0,b>0时,y=3;当a>0,b<0时,y=-1;当a<0,b>0时,y=-1;当a<0,b<0时,y=-1.
答案D
4.能够整除111的奇数的全体构成的集合可以表示为 .?
解析能够整除111的奇数有1,3,37,111,因此所求集合为{1,3,37,111}.
答案{1,3,37,111}
5.已知A={2,3,a2+2a-3},B={|a+3|,2},若5∈A,且5?B,则a的值为 .?
解析∵5∈A,∴a2+2a-3=5,∴a=2或a=-4.
又5?B,∴|a+3|≠5,
∴a≠2,且a≠-8,∴a=-4.
答案-4
6.已知集合M满足:当a∈M时,1+a1?a∈M,当a=2时,用列举法表示集合M= .?
解析当a=2时,因为2∈M,所以1+21?2=-3∈M;因为-3∈M,所以1?31+3=-12∈M;因为-12∈M,所以1?121+12=13∈M;因为13∈M,所以1+131?13=2∈M,所以M=2,?3,?12,13.
答案2,?3,?12,13
7.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A是单元素集合,求a的取值范围;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解(1)若A是单元素集合,则方程ax2-3x+2=0有一个实数根,当a=0时,原方程为-3x+2=0,解得x=23,满足题意.
当a≠0时,由题意知方程ax2-3x+2=0只有一个实数根,
所以Δ=(-3)2-4×a×2=0,
解得a=98.
所以a的值为0或98.
(2)当A中恰有一个元素时,
若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=23;
若a≠0,则令Δ=9-8a=0,解得a=98,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.
当A中有两个元素时,
则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<98,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.
综上,a≤98时,A中至少有一个元素.
(3)当A中没有元素时,
则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>98,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.
当A中恰有一个元素时,
由(2)知,此时a=0或a=98.
综上,a=0或a≥98时,A中至多有一个元素.
8.已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1},当A={2}时,求集合B.
解由A={2},得方程x2+px+q=x有两个相等的实根,且x=2.
从而有4+2p+q=2,(p-1)2-4q=0,
解得p=?3,q=4.
从而B={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}.
解方程(x-1)2-3(x-1)+4=x+1,得x=3±2.
故B={3-2,3+2}.
课件30张PPT。1.1.2 集合间的基本关系一二三一、子集与真子集
1.观察下面几个例子,你能发现集合A,B间有什么关系吗?
①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②A为新华中学高一(1)班全体女生组成的集合,B为该班全体学生组成的集合;
③A=N,B=R;
④A={x|x为中国人},B={x|x为亚洲人}.一二三(1)集合A中的元素都是集合B中的元素吗?
提示:是.
(2)集合B中的元素都是集合A中的元素吗?
提示:不全是.
(3)集合A,B的关系能不能用图直观形象地表示出来?
提示:能,如图.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.一二三2.填表:子集与真子集 一二三3.做一做:
(1)已知集合A={x|-1A.A>B B.A(2)已知集合A={1,2,3},下列集合是集合A的真子集的是( )
A.{1,2,3} B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
答案:(1)C (2)B
4.判断正误:
任何集合都有子集和真子集. ( )
答案:×一二三二、集合相等
1.如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.2.判断正误:
集合{(-1,1)}和集合{(1,-1)}是同一点集.( )
答案:×
3.做一做:
设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y等于( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
所以2x+y=2.
答案:C一二三三、空集
1.集合A={x|x2-x+8=0}中有多少个元素?
提示:0个.
2.空集是怎么定义的?空集用什么符号表示?空集有怎样的性质?
提示:一般地,我们把不含有任何元素的集合称为空集,记作:?.并规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.一二三3.判断正误:
(1)任何集合至少有两个子集. ( )
(2)若??A,则A≠?. ( )
答案:(1)× (2)√
4.做一做:
已知集合{x|x2-x+a=0}=?,则实数a的取值范围是 .?
解析:∵{x|x2-x+a=0}=?,探究一探究二探究三探究四思维辨析探究一写出给定集合的子集
例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)填写下表,并回答问题:
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢?当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出.
解:(1)不含任何元素的子集为?;
含有一个元素的子集为{0},{1},{2};
含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};
含有三个元素的子集为{0,1,2}.
故集合{0,1,2}的所有子集为?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.
其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析(2)
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练1若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
答案:B当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究二韦恩图及其应用
例2下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系的维恩图是( )
解析:∵N={x|x2+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},
∴N?M,故选B.
答案:B
反思感悟 维恩图是集合的又一种表示方法,使用方便,表达直观,可迅速帮助我们分析问题、解决问题,但它不能作为严密的数学工具使用.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练 2设A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形},则下列关系正确的是( )
A.E?D?C?A B.D?E?C?A
C.D?B?A D.E?D?C?B?A
解析:集合A,B,C,D,E之间的关系可用Venn图表示,结合下图可知,应选A.
答案:A探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究三集合相等关系的应用
例3已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
分析:根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.解:∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同, 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测延伸探究若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.
解:∵0∈B,A=B,∴0∈A.
又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,
∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.
此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},
∴x2=|x|,解得x=±1.
当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,
∴x=-1,即x=y=-1.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究四由集合间的关系求参数的范围
例4 已知集合A={x|-5(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测解:(1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B?A.
(2)由已知A?B.
①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测反思感悟 1.求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
2.涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的问题,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况容易被忽略,应引起足够的重视.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测延伸探究(1)【例4】(2)中,是否存在实数a,使得A?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3解:(1)因为A={x|-5②当B≠?时,2a-3由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,
由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,
解得a≥ 或a≤-3.
又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测因忽视空集是任何集合的子集而致错
典例 已知集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1},若N?M,则m的取值集合为 .?以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:上述解法出错的原因是:丢掉了N=?这种情况.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测纠错心得错解中由于忽视了空集是任何集合的子集,从而导致漏解:即N=?.分类讨论时,要注意做到分类标准清晰,既不重复又不遗漏.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B?A,求实数a的取值范围.
解:A={-3,2}.对于x2+x+a=0,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.集合{0,1}的子集有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:集合{0,1}的子集有?,{0},{1},{0,1},共4个.
答案:D探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.已知集合A={-1,0,1},B={0,1},设集合C={z|z=x+y,x∈A,y∈B},则集合C的真子集的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
解析:
集合C={-1,0,1,2},C中有4个元素.
集合C的真子集的个数为24-1=15.故选C.
答案:C探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.已知集合M?{-1,0,2},且M中含有两个元素,则符合条件的集合M有 个.?
解析:由于集合M?{-1,0,2},且M中含有两个元素,所以符合条件的M可以是{-1,0},{-1,2},{0,2}.
答案:3
4.已知集合A={x,2},集合B={3,y},若A=B,则x= ,y= .?
解析:∵A=B,∴A,B中元素相同,∴x=3,y=2.
答案:3 2探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测5.已知集合P={x|-2解:Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},P?Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.
由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是a≤-2.1.1.2 集合间的基本关系
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基础巩固
1.如果A={x|x>-1},那么正确的结论是( )
A.0?A B.{0}∈A C.{0}?A D.?∈A
解析∵0∈A,∴{0}?A.
答案C
2.能正确表示集合M={x|0≤x≤2}和集合N={x|x2-2x=0}的关系的Venn图是( )
解析解x2-2x=0,得x=2或x=0,则N={0,2}.
又M={x|0≤x≤2},则N?M,故M和N对应的Venn图如选项B所示.
答案B
3.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=( )
A.2 B.-1 C.2或-1 D.4
解析∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.
答案C
4.已知集合A={x|1≤x<4},B={x|xA.{a|a≥4} B.{a|a>4} C.{a|a≤4} D.{a|a<4}
解析将集合A表示在数轴上(如图所示),
要满足A?B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,所以所求a的取值集合为{a|a≥4}.
答案A
5.满足{1}?A?{1,2,3}的集合A的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.8
解析满足{1}?A?{1,2,3}的集合A为:{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.
答案C
6.已知集合M=xx=19(2k+1),k∈Z,N=xx=49k±19,k∈Z,则集合M,N之间的关系为( )
A.M?N B.N?M
C.M=N D.M≠N
解析设x1∈M,则x1=19(2k1+1),k1∈Z.
当k1=2n(n∈Z)时,x1=19(4n+1)=49n+19.
∴x1∈N.
当k1=2n-1(n∈Z)时,x1=19(4n-1)=49n-19,
∴x1∈N,∴M?N.又设x2∈N,
则x2=49k2±19=19(4k2±1),k2∈Z.
由于4k2+1=2(2k2)+1,4k2-1=2(2k2-1)+1,
且2k2表示所有的偶数,2k2-1表示所有的奇数,
∴4k2±1与2n+1(n∈Z)都表示奇数,
∴x2=19(4k2±1)=19(2n+1),n∈Z,
∴x2∈M,∴N?M.故M=N.
答案C
7.已知集合A=xx2-4x=0,则集合A的子集的个数为 .?
解析由x2-4x=0,得x>0,x2-4=0,解得x=2,即A={2},故A的子集为?,{2},共2个.
答案2
8.若集合A={x|2≤x≤3},集合B={x|ax-2=0,a∈Z},且B?A,则实数a= .?
解析当B=?时,a=0,满足B?A;
当B≠?时,B=2a,又B?A,∴2≤2a≤3,
即23≤a≤1,又a∈Z,∴a=1.综上知a的值为0或1.
答案0或1
9.已知集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b的值.
解∵A=B,且1∈A,∴1∈B.
若a=1,则a2=1,这与集合中元素的互异性矛盾,
∴a≠1.
若a2=1,则a=-1或a=1(舍去).∴A={1,-1,b},
∴b=ab=-b,即b=0.
若ab=1,则a2=b,得a3=1,即a=1(舍去).
故a=-1,b=0.
10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若A?B,求a的取值范围;
(2)若B?A,求a的取值范围.
解(1)若A?B,由图可知,a>2.
(2)若B?A,由图可知,1≤a≤2.
能力提升
1.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(x,y)yx=1,则集合A,B间的关系为( )
A.A?B B.A?B C.A=B D.A?B
解析∵B=(x,y)yx=1={(x,y)|y=x,且x≠0},
∴B?A.
答案B
2.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3A.{a|3C.{a|3解析∵A?B,∴a-1≤3,a+2≥5,解得3≤a≤4.
经检验知当a=3或a=4时符合题意.
故3≤a≤4.
答案B
3.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠?,B?A,则(a,b)不能是( )
A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(1,1)
解析当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;
当a=b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合;
当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合;当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合.
答案B
4.已知集合M={x|x2+2x-8=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},若N?M,则实数a的值是 .?
解析M={x|x2+2x-8=0}={2,-4}.
当a≠2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2,a}.
∵N?M,∴a=-4.
当a=2时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2},此时N?M,符合题意.
答案-4或2
5.已知集合A={x|x=3n-2,n∈Z},B={y|y=3k+1,k∈Z},则A,B的关系是 .?
解析对任意x0∈A,都有x0=3n0-2,n0∈Z,
因为3n0-2=3(n0-1)+1,n0∈Z,所以n0-1∈Z.
所以x0∈B,故A?B.
对任意y0∈B,有y0=3k0+1,k0∈Z.
因为3k0+1=3(k0+1)-2,k0∈Z,所以k0+1∈Z,
所以y0∈A,故B?A.综上所述,A=B.
答案A=B
6.已知集合A=xx=a+16,a∈Z,B=xx=b2-13,
b∈Z,C=xx=c2+16,c∈Z,则集合A,B,C之间的关系是 .?
解析∵A=xx=a+16,a∈Z
=xx=16(6a+1),a∈Z,
B=xx=b2-13,b∈Z
=xx=16(3b-2),b∈Z
=xx=16[3(b-1)+1],b∈Z,
C=xx=c2+16,c∈Z
=xx=16(3c+1),c∈Z,
又{x|x=6m+1,m∈Z}?{x|x=3n+1,n∈Z},
∴A?B=C.
答案A?B=C
7.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得B是A的子集?若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.
解因为B是A的子集,所以B中元素必是A中的元素,
若x+2=3,则x=1,符合题意.
若x+2=-x3,则x3+x+2=0,
所以(x+1)(x2-x+2)=0.
因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,
此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.
综上所述,存在实数x=1,使得B是A的子集,
此时A={1,3,-1},B={1,3}.
8.已知集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且B?A.
(1)求实数m的取值集合;
(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.
解(1)①当m-1>2m+1,即m<-2时,B=?符合题意.
②当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠?.
由B?A,借助数轴(如图所示),
得m-1≥-1,2m+1≤6,m≥?2,解得0≤m≤52.所以0≤m≤52.
经验证知m=0和m=52符合题意.综合①②可知,实数m的取值集合为mm(2)∵当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},
∴集合A的子集的个数为27=128.
课件31张PPT。第1课时 并集和交集一二三一、并集
1.观察下列各个集合:
①A={-1,0},B={1,2},C={-1,0,1,2};
②A={x|x是偶数},B={x|x是奇数},C={x|x是整数};
③A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}.
(1)你能说出集合C中的元素与集合A,B中元素的关系吗?
提示:集合C中的元素是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.
(2)①、③中,不妨设集合A,B,C中元素个数分别为a,b,c,试分析a+b与c的关系.
提示:①中,a=2,b=2,c=4,所以a+b=c;
③中,a=2,b=3,c=4,所以a+b>c.一二三2.填表: 3.判断正误:
集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中所有元素的个数和. ( )
答案:×一二三4.做一做:
已知集合A={x|-1A.{x|-1C.{x|0解析:因为A={x|-1答案:A一二三二、交集
1.观察下列集合,你能说出集合C中的元素与集合A,B中元素的关系吗?(2)A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};
(3)A={x|x≤1},B={x|x≥0},C={x|0≤x≤1}.
提示:集合C中的元素是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.
2.若A={-1,0,1},B={2,4,6,8},则A∩B存在吗?
提示:存在,A∩B=?.一二三3.填表: 4.判断正误:
当集合A与集合B没有公共元素时,集合A与集合B就没有交集. ( )
答案:×一二三5.做一做:
若集合A={x|-5A.{x|-3C.{x|-3解析:在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示.
由交集的定义可得,A∩B为图中阴影部分,
即{x|-3答案:A一二三三、交集与并集的运算性质
1.你能用Venn图表示出两个非空集合的所有关系吗?
提示:两非空集合的所有关系如图所示:一二三2.你能从问题1中所画的Venn图中发现哪些重要的结论?
提示:(1)由Venn图,我们能够发现如下结论:(A∩B)?A,(A∩B)?B;A?(A∪B),B?(A∪B),(A∩B)?(A∪B).
(2)若集合A是集合B的子集,则A?B?A∩B=A?A∪B=B.若集合B是集合A的子集,则B?A?A∩B=B?A∪B=A.
(3)若集合A,B没有公共元素,则A∩B=?.一二三3.判断正误:
(1)若A∪B=?,则A=B=?.( )
(2)若A∩B=?,则A=B=?.( )
(3)若A∪B=A∪C,则B=C.( )
(4)(A∩B)?(A∪B).( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√一二三4.做一做:
(1)若集合M,N,P满足M∩N=M,N∪P=P,则M与P之间的关系是( )
A.M?P B.P?M
C.M?P D.P?M
(2)设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a= .?
解析:(1)因为M∩N=M,所以M?N.
因为N∪P=P,所以N?P.所以M?P.
(2)由A∩B=B,知B?A.因为-1∈B,所以-1∈A.
又因为A={7,a},所以a=-1.
答案:(1)C (2)-1探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究一集合的交集运算与并集运算
例1 求下列两个集合的并集和交集:
(1)A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};
(2)A={x|x+1>0},B={x|-2分析:(1)借助于Venn图,依据并集、交集的定义写出结果;(2)先化简集合A,再用数轴表示出集合A,B,根据数轴写出结果.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:(1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},
A∩B={1,2,3}.
(2)由题意知A={x|x>-1},用数轴表示集合A和B,如图所示,
则数轴上方所有“线”下面的实数组成了A∪B,故A∪B={x|x>-2},数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了A∩B,故A∩B={x|-1A.{3} B.{x|x≥1} C.{2,3} D.{1,2}
(2)已知A={x|x>a},B={x|-2可得A∩B={1,2}.
答案:D
(2)解:如图所示.
当a<-2时,A∪B={x|x>a},A∩B={x|-2当-2≤a<2时,A∪B={x|x>-2},A∩B={x|a当a≥2时,A∪B={x|-2a},A∩B=?.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究二已知集合的交集、并集求参数
例2已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若A∩B=?,求a的取值范围;
(2)若A∪B=R,求a的取值范围.
分析:借助于数轴,列出关于a的不等式(组)求解.
解:(1)由A∩B=?,知
①若A=?,则2a>a+3,∴a>3.
②若A≠?,如图,探究一探究二探究三思想方法当堂检测(2)由A∪B=R,如图所示, 反思感悟 出现交集为空集的情形,应首先考虑已知集合有没有可能为空集,其次在与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练2设集合A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中
p,q为常数,x∈R,当A∩B= 时,求p,q的值和A∪B.探究一探究二探究三思想方法当堂检测探究三交集、并集性质的运用
例3 已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
分析:A∪B=A等价于B?A,讨论分B=?和B≠?两种情况.
借助于数轴,列出关于m的不等式组,解不等式组得到m的取值范围.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:∵A∪B=A,∴B?A.
∵A={x|0≤x≤4}≠?,∴B=?或B≠?.
当B=?时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠?时,用数轴表示集合A和B,如图所示,检验知m=-1,m=0符合题意.综上所得,实数m的取值范围是m>0或-1≤m≤0,即m≥-1.探究一探究二探究三思想方法当堂检测反思感悟当利用交集和并集的性质解题时,常借助于交集、并集的定义将其转化为集合间的关系去求解,如A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A等.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引发解题失误.探究一探究二探究三思想方法当堂检测延伸探究将本例中“A∪B=A”改为“A∩B=A”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:∵A∩B=A,∴A?B.如图,解得m≤-3.检验知m=-3符合题意.故实数m的取值范围是m≤-3.探究一探究二探究三思想方法当堂检测数形结合思想在集合运算中的应用
对于和实数集有关的集合的交集、并集等运算问题,常借助于数轴将集合语言转化为图形语言,或借助Venn图,通过数形结合可直观、形象地看出其解集.
典例 已知集合A={x|1【审题视角】A∪B=B等价于A?B,注意要分a=0,a>0与a<0三种情况讨论.可借助数轴,建立关于实数的不等式组,解不等式组求得实数a的取值范围.探究一探究二探究三思想方法当堂检测解:∵A∪B=B,∴A?B.
(1)当a=0时,A=?,满足A?B.探究一探究二探究三思想方法当堂检测检验知a=-2符合题意.
综合(1)(2)(3)知,a的取值范围是a≤-2或a=0或a≥2.方法点睛求解此类问题一定要看是否包括端点临界值.集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能地借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化,从而使问题获解.探究一探究二探究三思想方法当堂检测变式训练已知集合A={-5},B={x|ax+2=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.
解:∵A∩B=B,∴B?A.
∵A={-5}≠?,∴B=?或B≠?.
当B=?时,方程ax+2=0无解,此时a=0.探究一探究二探究三思想方法当堂检测1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
解析:由(x+1)(x-2)<0,得-1∵x∈Z,∴B={0,1}.∴A∪B={0,1,2,3}.故选C.
答案:C
2.若集合A={1,2},B={1,2,4},C={1,4,6},则(A∩B)∪C=( )
A.{1} B.{1,4,6}
C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}
解析:由集合A={1,2},B={1,2,4},得集合A∩B={1,2}.
又由C={1,4,6},得(A∩B)∪C={1,2,4,6}.故选D.
答案:D探究一探究二探究三思想方法当堂检测4.已知集合A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R},求A∩B,A∪B.
解:∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},
∴A={y|y≥-4}.
∵B={y|y=-(x-1)2+14,x∈R},
∴B={y|y≤14}.
将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示,
∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.探究一探究二探究三思想方法当堂检测5.已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|ax+1-a=0}.
(1)用列举法表示集合A;
(2)若A∩B=B,求实数a的值.
解:(1)解方程x2+4x=0,得x1=0,x2=-4.所以A={-4,0}.
(2)∵A∩B=B,∴B?A.
①当a=0时,B=?,符合题意;第1课时 并集和交集
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知集合M={x|-34},则M∪N=( )
A.{x|x<-5,或x>-3} B.{x|-5C.{x|-35}
解析在数轴上分别表示集合M和N,如图所示,
则M∪N={x|x<-5,或x>-3}.
答案A
2.(2018全国3高考,理1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1}
C.{1,2} D.{0,1,2}
解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},
∴A∩B={1,2}.
答案C
3.已知集合A={x|x=2n-3,n∈N},B={-3,1,4,7,10},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
解析由条件知,当n=0时,2n-3=-3;
当n=2时,2n-3=1;当n=5时,2n-3=7.
所以A∩B={-3,1,7}.故选C.
答案C
4.若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
解析A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.
答案A
5.已知集合S={直角三角形},集合P={等腰三角形},则S∩P= .?
解析S∩P表示集合S和集合P的公共元素组成的集合,故S∩P={等腰直角三角形}.
答案{等腰直角三角形}
6.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m= .?
解析由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.
答案3
7.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 .?
解析用数轴表示集合A,B,如图所示,
因为A∪B=R,则在数轴上实数a与1重合或在1的左边,所以a≤1.
答案a≤1
8.已知集合A=x3?x>0,3x+6>0,集合B={x|2x-1<3},求A∩B,A∪B.
解解不等式组3?x>0,3x+6>0,得-2即A={x|-2解不等式2x-1<3,得x<2,即B={x|x<2},
在数轴上分别表示集合A,B,如图所示.
则A∩B={x|-29.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},
(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;
(2)当M∩N=?时,求实数m的取值范围.
解(1)由题意得,M={2},当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},则M∩N={2},M∪N={1,2}.
(2)M={2}≠?,则2不是方程x2-3x+m=0的解,所以4-6+m≠0,即m≠2.
所以实数m的取值范围为m≠2.
能力提升
1.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3} B.{1,0}
C.{1,3} D.{1,5}
解析∵A∩B={1},∴1∈B.
∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
答案C
2.已知集合A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},若A∩B≠?,则a的取值范围是( )
A.a<8 B.a>8
C.a>-3 D.-3解析A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},要使A∩B≠?,借助数轴可知a<8.
答案A
3.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x?A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},则A*B等于( )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3}
D.{x|0≤x≤1或x≥3}
解析由题意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},则A*B={x|0≤x<1或x>3}.
答案C
4.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .?
解析由x+y=2,x-y=4,解得x=3,y=?1.
∴M∩N={(3,-1)}.
答案{(3,-1)}
5.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5解析如图所示,可知a=1,b=6,2a-b=-4.
答案-4
6.若集合A={x|3ax-1=0},B={x|x2-5x+4=0},且A∪B=B,则a的值是 .?
解析∵B={1,4},A∪B=B,∴A?B.
当a=0时,A=?,符合题意;
当a≠0时,A=13a,
∴13a=1或13a=4,
∴a=13或a=112.
综上,a=0,13,112.
答案0,13,112
7.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}.
(1)当m<12时,化简集合B;
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.
解由不等式x2-(2m+1)x+2m<0,得(x-1)(x-2m)<0.
(1)当m<12时,2m<1,
∴集合B={x|2m(2)若A∪B=A,则B?A,
①当m<12时,B={x|2m此时-1≤2m<1,解得-12≤m<12;
②当m=12时,B=?,有B?A成立;
③当m>12时,B={x|1此时1<2m≤2,解得12综上所述,所求m的取值范围是m-12≤m≤1.
8.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有多少人?
解设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4-x)+x=36,
解得x=8,
即同时参加数学和化学小组的有8人.
课件21张PPT。第2课时 补集及综合应用一二一、全集
1.方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同?通过这个问题,你得到什么启示?
提示:方程在有理数范围内的解集为{2},在实数范围内的解集为{2, ,- }.在数学中很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.类似这些给定的集合就是全集.
2.填空:
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U .一二二、补集
1.A={高一(2)班参加排球队的同学},B={高一(2)班没有参加排球队的同学},U={高一(2)班的同学}.
(1)集合A,B,U有何关系?
提示:U=A∪B.
(2)集合B中的元素与U,A有何关系?
提示:集合B中的元素在U中,但不在A中.一二2.填表: 一二3.判断正误:
(1)?A?=A( )
(2)?NN*=0( )
(3)?U(A∪B)=(?UA)∪(?UB)( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
4.做一做:
(1)设全集U={1,2,3},集合A={1,2},则?UA等于( )
A.{3} B.{0,3}
C.{1,2} D.{0,1}
(2)已知全集U为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则?UA= .?
解析:(1)由补集的定义知?UA={3}.
(2)集合A={x|x<1,或x≥5}的补集是?UA={x|1≤x<5}.
答案:(1)A (2){x|1≤x<5}探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一补集的基本运算
例1 (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},则集合B= ;?
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则?UA= .?
分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解.
(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
(方法二)满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集的定义可知?UA={x|x<-3,或x=5}.
答案:(1){2,3,5,7} (2){x|x<-3,或x=5}探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 求集合的补集的方法
1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.
3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究若第(2)题中改为:已知集合A={x|-3≤x<5},?UA={x|x≥5},B={x|1解:由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1所以?UB={x|-3≤x≤1或x≥3}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究二并集、交集与补集的综合运算
例2已知全集U=R,集合A={x|-3求:(1)?UA,?UB;(2)?U(A∩B).
分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义写出.
解:(1)∵A={x|-3在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
∴?UA={x|x≤-3或x≥3},?UB={m|m≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3∴?U(A∩B)={x|x≤-3或x≥1}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟 交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况
1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错.
2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练 已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},?UB={1,4,6},求集合B.
分析:先由集合A与?UA求出全集,再由补集定义求出集合B,或利用Venn图求出集合B.
解方法一:∵A={1,3,5,7},?UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},
∴B={2,3,5,7}.
方法二:借助Venn图,如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究三补集性质的应用
例3 已知全集为R,集合A={x|x分析:先求出?RB,再借助于数轴求实数a的取值范围.
解析:∵B={x|1又A={x|x答案:a≥2反思感悟 由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的“取”与“舍”.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(?UA)={2},A∩(?UB)={4},U=R,求实数a,b的值.
解:(1)∵B∩(?UA)={2},∴2∈B,但2?A.
∵A∩(?UB)={4},∴4∈A,但4?B.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因对补集的概念认识不到位而致错
典例 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数a的值.
错解∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,∴a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4.
故实数a的值为2或-4.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:上述求解的错误在于忽略了验证“A?U”这一隐含条件.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正解:(方法一)∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,
∴a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得a=2或a=-4.
当a=2时,|2a-1|=3,A={2,3},符合题意;
而当a=-4时,A={9,2},不是U的子集.
故实数a的值为2.
(方法二)∵?UA={5},∴5∈U,且5?A,且|2a-1|=3.防范措施 准确理解补集的概念是求解此类问题的关键.实际上?UA的数学意义包括两个方面,首先必须具备A?U,其次是定义?UA={x|x∈U,且x?A}.因此本题应先由5∈U求出a的值,再利用5?A验证a的值是否符合题意.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知全集U={2,4,-(a-3)2},集合A={2,a2-a+2},若?UA={-1},求实数a的值.当a=2时,A={2,4},满足A?U,符合题意;
当a=4时,A={2,14},不满足A?U,故舍去.
综上可知,实数a的值为2.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.(2018浙江高考,1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则?UA=( )
A.? B.{1,3}
C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}
解析:∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},
∴?UA={2,4,5},故选C.
答案:C
2.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0解析:∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0,或x≥1},
∴?U(A∪B)={x|0答案:D探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.已知全集U=R,A={x|1≤x解析:∵?UA={x|x<1,或x≥2},
∴A={x|1≤x<2}.∴b=2.
答案:2
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},集合B={3,4,6},集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为 .?
解析:题图中阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}.
答案:{4,6}探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1∴A∩B={x|-13}.第2课时 补集及综合应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={x|x≥3,x∈N},则?UA=( )
A.{1,2} B.{3,4,5,6,7}
C.{1,3,4,7} D.{1,4,7}
解析∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={x|x≥3,x∈N}={3,4,5,6,7},
∴?UA={1,2}.
答案A
2.已知U=Z,A={1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.{1,3,5} B.{1,2,3,4,5}
C.{7,9} D.{2,4}
解析图中阴影部分表示的集合是(?UA)∩B={2,4}.
答案D
3.设集合A={x|-1A.A∪B={x|x<0}
B.(?RA)∩B={x|x<-1}
C.A∩B={x|-1D.A∪(?RB)={x|x≥0}
解析由条件知,?RA={x|x>2或x≤-1},?RB={x|x≥0},则A∪B={x|x≤2},(?RA)∩B={x|x≤-1},A∩B={x|-1-1},故只有C正确,故选C.
答案C
4.已知全集U={1,2,a2-2a+3},A={1,a},?UA={3},则实数a等于( )
A.0或2 B.0
C.1或2 D.2
解析由题意,知a=2,a2-2a+3=3,
则a=2.
答案D
5.如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.A∩(B∩C) B.(?UA)∩(B∩C)
C.C∩?U(A∪B) D.C∩?U(A∩B)
解析由于阴影部分在C中,且不在A,B中,则阴影部分表示的集合是C的子集,也是?U(A∪B)的子集,即是C∩?U(A∪B).
答案C
6.已知全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B= .?
解析由题意,得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
故?UA={4,6,7,9,10},所以(?UA)∩B={7,9}.
答案{7,9}
7.某班共30人,其中15人喜欢篮球运动,10人喜欢乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜欢,则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 .?
解析(方法一)如图,全班同学组成集合U,喜欢篮球运动的组成集合A,喜欢乒乓球运动的组成集合B,则A∩B中的人数为15+10+8-30=3,所以喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为15-3=12.
(方法二)设所求人数为x,则只喜欢乒乓球运动的人数为10-(15-x)=x-5.所以15+x-5=30-8,解得x=12.
答案12
8.已知全集为R,集合A={x|2a-2解析?RB={x|x≤1,或x≥2}≠?,
∵A??RB,∴A=?或A≠?.
若A=?,此时有2a-2≥a,∴a≥2.
若A≠?,则有2a-2综上所述,a≤1或a≥2.
答案a≤1或a≥2
9.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1解A∩B={x|-13},?UP=x0∴(?UB)∪P=xx≤0或x≥52.
∴(A∩B)∩?UP={x|010.已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(?RA)=R,B∩(?RA)={x|0解∵A={x|1≤x≤2},∴?RA={x|x<1,或x>2}.
又B∪(?RA)=R,A∪(?RA)=R,可得A?B.
而B∩(?RA)={x|0∴{x|0借助于数轴
可得B=A∪{x|0能力提升
1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(?RQ)=( )
A.{x|2≤x≤3} B.{x|-2C.{x|1≤x<2} D.{x|x≤-2,或x≥1}
解析∵Q={x∈R|x2≥4},
∴?RQ={x∈R|x2<4}={x|-2∵P={x∈R|1≤x≤3},
∴P∪(?RQ)={x|-2答案B
2.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(?UA)∩B={4},(?UA)∩(?UB)={1,5},则下列结论正确的是 ( )
A.3?A,且3?B B.3?B,但3∈A
C.3?A B.3∈A,且3∈B
解析根据题意有A∩B={2},故2∈B,且2∈A,(?UA)∩B={4},所以4∈B但4?A,(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={1,5},故1?A,1?B且5?A,5?B,所以3?B,但3∈A.
答案B
3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合?U(A∪B)中的元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析∵A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},
∴A∪B={1,2,4},∴?U(A∪B)={3,5},故选B.
答案B
4.已知U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则?U(A∪B)= .?
解析依题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6}.
∴A∪B={1,3,5,6,7},∴?U(A∪B)={2,4,8}.
答案{2,4,8}
5.设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集表示由0,1组成的六位字符串,如:{2,4}表示的是第2个字符为1、第4个字符为1、其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M={2,3,6},则?UM表示的6位字符串为 .?
(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数为 .?
解析(1)∵?UM={1,4,5},
∴?UM表示的6位字符串为100110.
(2)∵A∪B表示的字符串为101001,
∴A∪B={1,3,6}.
∵A={1,3},
∴B={6}或B={1,6}或B={3,6}或B={1,3,6}.
∴满足条件的集合B的个数为4.
答案(1)100110 (2)4
6.已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x-a≥0}.
(1)若A∩B=A,求a的取值范围;
(2)若全集U=R,且A??UB,求a的取值范围.
解(1)∵B={x|x≥a},又A∩B=A,∴A?B.
如图所示.
∴a≤-4.
(2)?UB={x|x∵A??UB,∴a>-2.
7.已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(?RA)∩B={2},A∩(?RB)={4},求实数a,b的值.
解由条件(?RA)∩B={2}和A∩(?RB)={4},知2∈B,但2?A;4∈A,但4?B.
将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程,得22-2a+b=0,42+4a+12b=0,即4+a+3b=0,4?2a+b=0.
解得a=87,b=-127.
8.设U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+mx+m-1=0}.
(1)当m=1时,求(?RB)∩A;
(2)若(?UA)∩B=?,求实数m的取值.
解解方程x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.故A={-1,2}.
(1)当m=1时,方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0,解得x=-1或x=0.
故B={-1,0},?RB={x|x≠-1,且x≠0}.
所以(?RB)∩A={2}.
(2)由(?UA)∩B=?可知,B?A.
方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0.
①当Δ=0,即m=2时,方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0,解得x=-1,故B={-1}.
此时满足B?A.
②当Δ>0,即m≠2时,方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解,故集合B中有两个元素.
又因为B?A,且A={-1,2},所以A=B.
故-1,2为方程x2+mx+m-1=0的两个解,
由根与系数之间的关系可得-m=(?1)+2,m-1=(-1)×2,
解得m=-1.
综上,m的取值为2或-1.
