2019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列
专题02 三角函数与解三角形热点问题
【最新命题动向】三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等.备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质。
【热点一】解三角形与数列的综合问题
【典例1】（2019年5月金华模拟卷理17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知cos2B＋cosB＝1－cos Acos C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
【审题示例】
(1)根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证；
(2)利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题．
【规范解答】
【知识点归类点拔】纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
【跟踪训练1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，
已知acos2＋ccos2＝b.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若B＝，S＝4，求b.
【热点二】三角函数的图像和性质
【典例2】(2016·山东卷)设f(x)＝2sin (π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值．
【审题示例】
(1)将f(x)化为Asin (ωx＋φ)＋b的形式后，利用y＝sin x的单调递增区间得出关于x的不等式，不等式的解集即为所求；
(2)根据三角函数图像变换的方法，得出y＝g(x)的图像对应的解析式，再进行计算．
【规范解答】
【防失误】
化asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)时φ的求法：
①tan φ＝；
②φ所在象限由(a，b)点确定．
【知识点归类点拔】利用辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin (x＋φ)，把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴对称中心等．其一般步骤：
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：构造f(x)＝·；
第三步：和差公式逆用f(x)＝sin (x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝sin (x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．
1 化简时公式的准确应用是灵魂；
2 ②研究三角函数性质时注意整体思想的应用．
【跟踪训练2】(2019·合肥市模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos .
(1)求函数f(x)图像的对称轴方程；
(2)将函数f(x)图像向右平移个单位，所得图像对应的函数为g(x)．当x∈时，求函数g(x)的值域．
【热点三】三角变换与解三角形的综合
【典例3】(2019·浙江模拟)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
【审题示例】
第(1)问条件中有边的平方和边的乘积，显然用余弦定理求解；
第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式，再注意角的取值范围，问题得解．
【规范解答】
【知识点归类点拔】
三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
【跟踪训练3】已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且sin B＋sin C－asin A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，求b＋c的取值范围．
【热点四】平面几何中的三角函数求值
【典例4】 (2018·全国Ⅰ卷理17)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，
BD＝5.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
【规范解答】
【知识点归类点拔】
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
【跟踪训练4】(2019·甘肃模拟)如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD＝2AD.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积．
【热点五】 三角函数与平面向量相结合
【典例5】(2019·四川模拟)已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围．
【规范解答】
【知识点归类点拔】
(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．本例中，易忽略x∈导致错解．
【跟踪训练5】(2019·达州市模拟)已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的周期；
(2)在△ABC中，f(A)＝，AB＝2，BC＝2，求△ABC的面积S.
2019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列
专题02 三角函数与解三角形热点问题
【最新命题动向】三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等.备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质。
【热点一】解三角形与数列的综合问题
【典例1】（2019年5月金华模拟卷理17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
已知cos2B＋cosB＝1－cos Acos C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
【审题示例】
(1)根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证；
(2)利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题．
【规范解答】
(1)证明：在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．
由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C，........................................................................(2分)
∴－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C，.......................................................................(3分)
化简，得sin2B＝sin Asin C．由正弦定理，得b2＝ac，
∴a，b，c成等比数列．.......................................................................................................................(5分)
(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.(6分)
则cosB＝＝≥＝，..............................................................................(8分)
当且仅当a＝c时，等号成立．
∵0∴S△ABC＝acsin B≤×4×＝...................................................................................................(11分)
∴△ABC的面积的最大值为...........................................................................................................(12分)
【知识点归类点拔】纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
【跟踪训练1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，
已知acos2＋ccos2＝b.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若B＝，S＝4，求b.
解：(1)证明：由正弦定理，
得sin Acos2＋sin Ccos2＝sin B，...............................................................................................(1分)
即sin A·＋sin C·＝sin B，..................................................................................(2分)
∴sin A＋sin C＋sin Acos C＋cos Asin C＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B. ..............................................................................................(4分)
∵sin(A＋C)＝sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B，即a＋c＝2b，
∴a、b、c成等差数列．.................................................................................................................(6分)
(2)∵S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.
又b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
由(1)得a＋c＝2b，∴b2＝4b2－48，
∴b2＝16，即b＝4. ......................................................................................................................(12分)
【热点二】三角函数的图像和性质
【典例2】(2016·山东卷)设f(x)＝2sin (π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值．
【审题示例】
(1)将f(x)化为Asin (ωx＋φ)＋b的形式后，利用y＝sin x的单调递增区间得出关于x的不等式，不等式的解集即为所求；
(2)根据三角函数图像变换的方法，得出y＝g(x)的图像对应的解析式，再进行计算．
【规范解答】
解：(1)f(x)＝2sin (π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1…………………………………………………………………………………..(3分)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．……………………………………………….(6分)
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到y＝2sin＋－1的图像，
再把得到的图像向左平移个单位，得到y＝2sin x＋－1的图像，
即g(x)＝2sin x＋－1…………………………………………………………………………………..(9分)
所以g＝2sin＋－1＝………………………………………………………………………...(12分)
【防失误】
化asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)时φ的求法：
①tan φ＝；
②φ所在象限由(a，b)点确定．
【知识点归类点拔】利用辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin (x＋φ)，把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴对称中心等．其一般步骤：
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：构造f(x)＝·；
第三步：和差公式逆用f(x)＝sin (x＋φ)(其中φ为辅助角)；
第四步：利用f(x)＝sin (x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．
1 化简时公式的准确应用是灵魂；
2 ②研究三角函数性质时注意整体思想的应用．
【跟踪训练2】(2019·合肥市模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos .
(1)求函数f(x)图像的对称轴方程；
(2)将函数f(x)图像向右平移个单位，所得图像对应的函数为g(x)．当x∈时，求函数g(x)的值域．
解：(1)f(x)＝sin xcos x－cos ＝sin 2x－cos 2x＝sin .................................(4分)
令2x－＝＋kπ，k∈Z解得x＝＋................................................................................................(5分)
∴函数f(x)图像的对称轴方程为x＝＋，k∈Z；...........................................................................(6分)
(2)把f(x)＝sin 的图像向右平移个单位，
可得．g(x)＝sin ......................................................................................................................(7分)
∵x∈，∴2x－∈，
∴sin ∈，
∴g(x)＝sin ∈，..................................................................................................(10分)
即当x∈时，函数g(x)的值域为热点3 三角变换与解三角形的综合................(12分)
【热点三】三角变换与解三角形的综合
【典例3】(2019·浙江模拟)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求∠B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
【审题示例】
第(1)问条件中有边的平方和边的乘积，显然用余弦定理求解；
第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式，再注意角的取值范围，问题得解．
【规范解答】
解：(1)由余弦定理及题设，
得cos B＝＝＝……………………………………………………………………….(3分)
又因为0<∠B<π，所以∠B＝………………………………………………………………………….(5分)
(2)由(1)知∠A＋∠C＝.(7分)
cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝cos……………………………………………………………………...(10分)
因为0<∠A<，所以当∠A＝时，cos A＋cos C取得最大值1……………………………….(12分)
【知识点归类点拔】
三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
【跟踪训练3】已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且sin B＋sin C－asin A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，求b＋c的取值范围．
解：(1)因为sin B＋sin C－asin A＝0，由正弦定理，得b＋c－a2＝0，
化简得b2＋c2－a2－bc＝0，................................................................(4分)
即cos A＝＝，A＝.................................................................(6分)
(2)由正弦定理，可得＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，.......................(7分)
b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2
＝2＝3sin B＋cos B
＝2sin.......................................................................................................................................(10分)
因为0即【热点四】平面几何中的三角函数求值
【典例4】 (2018·全国Ⅰ卷理17)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，
BD＝5.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
【规范解答】
解：如图：
(1)在△ABD中，由正弦定理得：＝，
∴sin ∠ADB＝，…………………………………………………………………………………….(3分)
∵∠ADB<90°，∴cos∠ADB＝＝………………………………………………..(5分)
(2)∠ADB＋∠BDC＝，
∴cos∠BDC＝cos ＝sin ∠ADB，……………………………………………………….(6分)
∴cos ∠BDC＝cos ＝sin ∠ADB，…………………………………………………(8分)
∴cos∠BDC＝，…………………………………………………………………(10分)
∴＝.∴BC＝5……………………………………………………………………….(12分)
【知识点归类点拔】
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．
【跟踪训练4】(2019·甘肃模拟)如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD＝2AD.
(1)求AD的长；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x>0)，则BD＝2x.
在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，
所以cos∠CDB＝＝.............................................................................................................(2分)
在△ACD中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝5，
则cos∠ADC＝＝.
因为∠CDB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，.................................................................................................(4分)
即＝－，
解得x＝5，所以AD的长为5. ....................................................................................................(6分)
(2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝＝5，
所以cos∠CBD＝＝，从而sin∠CBD＝......................................................................(10分)
所以S△ABC＝AB·BC·sin∠CBA＝×15×5×＝.................................................................(12分)
【热点五】 三角函数与平面向量相结合
【典例5】(2019·四川模拟)已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求a＋c的范围．
【规范解答】
解：(1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，
∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0，
∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0，
∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0.
即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A．…………………………………………………………….(4分)
∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝－.
∵0＜B＜π，∴B＝…………………………………………………………………………………(6分)
(2)由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号．
∴(a＋c)2≤4，故a＋c≤2…………………………………………………………………………….(10分)
又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．即a＋c的取值范围是(，2]．……………………………(12分)
【知识点归类点拔】
(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．本例中，易忽略x∈导致错解．
【跟踪训练5】(2019·达州市模拟)已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的周期；
(2)在△ABC中，f(A)＝，AB＝2，BC＝2，求△ABC的面积S.
解：(1)由f(x)＝a·b＝sin 2x－cos 2x＝sin ，................................................................(4分)
∴函数f(x)的周期T＝＝π；...........................................................................................................(5分)
(2)由f(A)＝，即sin ＝，
∵0＜A＜π，AB＝c＝2＞BC＝a＝2，
∴A＝...............................................................................................................................................(8分)
由正弦定理＝＝，得sin C＝，
∵0＜C＜π，∴C＝或................................................................................................................(10分)
当C＝，则B＝，△ABC的面积S＝acsin B＝2，
当C＝，则B＝，△ABC的面积S＝acsin B＝.................................................................(12分)
