2019高考数学热点问题解题策略指导系列
专题03 数列热点问题解题策略指导
【最新命题动向】数列是历年高考的热点，多从等差数列、等比数列这两个特殊的数列入手，考查两数列的概念、基本运算性质、通项公式、求和公式等，常以等差、等比数列综合命题，或与方程、函数与导数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查数列的通项、求和等问题.
【热点一】数列与函数、不等式的综合应用
【典例1】(2019·泰安模拟已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋＜.
【规范解答】
【知识点归类点拔】
解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇上命题的特点．
【跟踪训练1】(2019·黔东南州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－1)，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2an，记数列的前n项和为Tn.证明：Tn<.
【热点二】 数列中的探索性问题
【典例2】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)求证：是等比数列，并求{an}的通项公式an；
(2)数列{bn}满足bn＝(3n－1)··an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn＋
对一切n∈N＋恒成立，求λ的取值范围．
【规范解答】
【知识点归类点拔】
解决存在问题的思路是先假设存在，然后根据假设及题设条件，通过正确的推理演算，如果能得到一个符合条件的数或式，则假设成立；若得到不符合条件的数或式，或推出矛盾，则假设不成立，即不存在．
【跟踪训练2】(2019·重庆市模拟)数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，已知a3＝95.
(1)求a1，a2；
(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N＋)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．
【热点三】等差数列与等比数列的综合问题
【典例3】（2019年5月金华模拟卷理17）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，
且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
【审题示例】
对等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的题型，常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负，或先求出an，解an≥0的n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负．
若前k项为负，从k＋1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn＝
若前k项为正，以后各项非正，则Tn＝
【规范解答】
【知识点归类点拔】求数列{|an|}的前n项和一般步骤
第一步：求数列{an}的前n项和；
第二步：令an≤0(或an≥0)确定分类标准；
第三步：分两类分别求前n项和；
第四步：用分段函数形式表示结论；
第五步：反思回顾，即查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结果．．
【跟踪训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
【热点四】数列的实际应用问题
【典例4】(2019·东城区模拟)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
【规范解答】
【知识点归类点拔】解答数列实际应用问题的步骤
(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．
(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．
(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．
【跟踪训练4】
某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励．
【规范解答】
2019高考数学热点问题解题策略指导系列
专题03 数列热点问题解题策略指导
【最新命题动向】数列是历年高考的热点，多从等差数列、等比数列这两个特殊的数列入手，考查两数列的概念、基本运算性质、通项公式、求和公式等，常以等差、等比数列综合命题，或与方程、函数与导数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查数列的通项、求和等问题.
【热点一】数列与函数、不等式的综合应用
【典例1】(2019·泰安模拟已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋＜.
【规范解答】
解：(1)证明：由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋)．
又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝……………………(3分)
因此数列{an}的通项公式为an＝………………………………………………………………….(4分)
(2)证明：由(1)知＝………………………………………………………………………………(6分)
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，
所以≤，即＝≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋.....................................................................................................(8分)
＝(1－)<.(11分)
所以＋＋…＋<…………………………………………………………………………………(12分)
【知识点归类点拔】
解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇上命题的特点．
【跟踪训练1】(2019·黔东南州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－1)，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2an，记数列的前n项和为Tn.证明：Tn<.
解析：(1)当n＝1时，有a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝4. ……………………………………………..(1分)
当n≥2时，有Sn－1＝(an－1－1)，……………………………………………………………………..(2分)
则an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
整理得an＝4an－1，…………………………………………………………………………………….....(4分)
∴数列{an}是以q＝4为公比，以4为首项的等比数列．…………………………………………….(5分)
∴an＝4×4n－1＝4n(n∈N＋)
即数列{an}的通项公式为an＝4n(n∈N＋)．……………………………………………………….…….(6分)
(2)证明：由(1)有bn＝log2an＝log24n＝2n，则
＝
＝，
∴Tn＝
＝<，故得证．………………………………………………………………………….(12分)
【热点二】 数列中的探索性问题
【典例2】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)求证：是等比数列，并求{an}的通项公式an；
(2)数列{bn}满足bn＝(3n－1)··an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn＋
对一切n∈N＋恒成立，求λ的取值范围．
【规范解答】
解：(1)证明：由an＋1＝得＝＝1＋，
即＋＝3，又＋＝，………………………………………………………………..(2分)
∴是以为首项，3为公比的等比数列，……………………………………………………(3分)
∴＋＝×3n－1＝，即an＝…………………………………………………………………(4分)
(2)bn＝，Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，
＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，
两式相减得＝＋＋＋…＋－n×
＝2－，……………………………………………………………………………………………(6分)
∴Tn＝4－，∴(－1)nλ＜4－.....................................................................................................(7分)
若n为偶数，则λ＜4－，∴λ＜3；……………………………………………………………….(9分)
若n为奇数，则－λ＜4－，……………………………………………………………………….(11分)
∴－λ＜2，∴λ＞－2.∴－2＜λ＜3……………………………………………………………………(12分)
【知识点归类点拔】
解决存在问题的思路是先假设存在，然后根据假设及题设条件，通过正确的推理演算，如果能得到一个符合条件的数或式，则假设成立；若得到不符合条件的数或式，或推出矛盾，则假设不成立，即不存在．
【跟踪训练2】(2019·重庆市模拟)数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，已知a3＝95.
(1)求a1，a2；
(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N＋)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)n＝2 时，a2＝3a1＋32－1.
n＝3 时，a3＝3a2＋33－1＝95，
∴a2＝23，∴23＝3a1＋8，a1＝5. …………………………………………………….(6分)
(2)当n≥2 时，bn－bn－1＝(an＋t)－(an－1＋t)＝(an＋t－3an－1－3t)
＝(3n－1－2t)＝1－…………………………………………………………..(8分)
要使{bn} 为等差数列，则必需使为常数，
∴t＝－，
即存在t＝－，使{bn} 为等差数列．……………………………………………….(12分)
【热点三】等差数列与等比数列的综合问题
【典例3】（2019年5月金华模拟卷理17）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，
且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
【审题示例】
对等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的题型，常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负，或先求出an，解an≥0的n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负．
若前k项为负，从k＋1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn＝
若前k项为正，以后各项非正，则Tn＝
【规范解答】
(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0，故d＝－1或4………………………………….(2分)
所以an＝－n＋11，n∈N＋或an＝4n＋6，n∈N＋……………………………………………………..(4分)
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，
所以Sn＝－n2＋n，令an≥0，则n≤11……………………………………………………………(6分)
当n≤11时，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n…………………………………………………………….(8分)
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110…………………………………………………………………..(10分)
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝.....................................................................................................(12分)
【知识点归类点拔】求数列{|an|}的前n项和一般步骤
第一步：求数列{an}的前n项和；
第二步：令an≤0(或an≥0)确定分类标准；
第三步：分两类分别求前n项和；
第四步：用分段函数形式表示结论；
第五步：反思回顾，即查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结果．．
【跟踪训练3】已知数列{an}的前n项和Sn＝12n－n2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解：(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝11；
当n≥2时，Sn＝12n－n2，Sn－1＝12(n－1)－(n－1)2，
∴an＝Sn－Sn－1＝13－2n；…………………………………………………………...(4分)
当n＝1时也满足此式，
故an的通项公式为an＝13－2n. ……………………………………………………(6分).
(2)令an＝13－2n≥0，n≤.当n≤6时，数列{|an|}的前n项和Tn＝Sn＝12n－n2；
当n>6时，a7，a8，…，an均为负数，故Sn－S6<0，……………………………….(8分)
此时Tn＝S6＋|Sn－S6|＝S6＋S6－Sn＝72＋n2－12n.
故{|an|}的前n项和Tn＝……………………………………….(12分)
【热点四】数列的实际应用问题
【典例4】(2019·东城区模拟)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
【规范解答】
解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×万元，…，第n年投入为800×n－1万元，所以，n年内的总投入为
an＝800＋800×＋…＋800×n－1
＝800×
＝4 000×.………………………………………………………………….(4分)
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×n－1万元，所以，n年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×＋…＋400×n－1
＝400×
＝1600×.…………………………………………………………………….(8分)
(2)设至少经过n年，旅游业的总收入才能超过总投入，由此得bn－an>0，即1 600×－
4000×>0，令x＝n，代入上式得5x2－7x＋2>0，解此不等式，得x<或x>1(舍去)，即n<，由此得n≥5. ………………………………………………………………...(10分)
所以至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．…………………………...(12分)
【知识点归类点拔】解答数列实际应用问题的步骤
(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型．
(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．
(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．
【跟踪训练4】
某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励．
【规范解答】
解：设单位共拿出x万元资金，第1名到第10名所得资金构成数列{an}，前n项和为Sn，则
a1＝＋1，an＝(x－Sn－1)＋1(n≥2)，………………………………………………...(4分)
∴2an＝x－Sn－1＋2,2an＋1＝x－Sn＋2，………………………………………………..(6分)
两式相减得2an＋1－2an＝－an，∴2an＋1＝an.
∴{an}是公比为的等比数列，首项为＋1………………………………………….(8分)
由S10＝＝x，解得x＝2 046…………………………………………..(10分)
故单位共拿出2 046万元资金进行奖励．…………………………………………….(12分)
