2019高考数学（文）热点问题解题策略指导系列
专题05 立体几何热点问题
【最新命题动向】 立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算；重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力.
【热点一】平行、垂直的证明与几何体的体积
【典例1】(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积．
【审题示例】
①看到AB＝BC＝AD，想到取AD的中点．
②看到四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，想到BC∥AD.
③看到求VP－ABCD，想到体积公式，关键是确定高及底面积．
【规范解答】
【知识点归类点拔】位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型
【跟踪训练1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
【热点二】 平面图形的翻折问题
【典例2】(2019·唐山模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．
【审题示例】
①看到四边形ABCD为菱形，想到边及对角线的关系
②看到折叠问题，想到折叠图形中的“变量与不变量”
③看到证明线线垂直，想到由线面垂直可以证明
④看到求几何体的体积，想到确定五棱锥D′－ABCFE的高及其底面积．
【规范解答】
【知识点归类点拔】翻折问题的3个注意点
(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．
(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．
(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．
【跟踪训练2】(2019·大连双基)如图(1)，在长方形ABCD中，AB＝，BC＝1，沿着该长方形的对角线BD将△BCD折起，得到平面BC′D，且满足平面BC′D⊥平面ABD，如图(2)．
(1)求三棱锥C′－ABD的体积；
(2)求证：∠ADC′≠90°
2019高考数学（文）热点问题解题策略指导系列
专题05 立体几何热点问题
【最新命题动向】 立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算；重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力.
【热点一】平行、垂直的证明与几何体的体积
【典例1】(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积．
【审题示例】
①看到AB＝BC＝AD，想到取AD的中点．
②看到四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，想到BC∥AD.
③看到求VP－ABCD，想到体积公式，关键是确定高及底面积．
【规范解答】
(1)证明：在平面ABCD内，
因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD…………………………………………………………..(2分)
又BC平面PAD ，AD平面PAD，………………………………………………………..(3分)
所以BC∥平面PAD……………………………………………………………………………………(4分)
(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，………………(8分)
所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因为CM底面ABCD，所以PM⊥CM.(9分)
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.
取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，
所以PN＝x…………………………………………………………………………………….(10分)
因为△PCD的面积为2，
所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2…………………………………………………………..(11分)
所以四棱锥P－ABCD的体积
V＝××2＝4………………………………………………………………………….(12分)
【知识点归类点拔】位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型
【跟踪训练1】(2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
解：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，……………………………………………..………..(2分)
所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC. ……………………………………….………..(6分)
(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，
所以OM＝，CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.……………………………………………………(12分)
【热点二】 平面图形的翻折问题
【典例2】(2019·唐山模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′－ABCFE的体积．
【审题示例】
①看到四边形ABCD为菱形，想到边及对角线的关系
②看到折叠问题，想到折叠图形中的“变量与不变量”
③看到证明线线垂直，想到由线面垂直可以证明
④看到求几何体的体积，想到确定五棱锥D′－ABCFE的高及其底面积．
【规范解答】
(1)证明：由已知得AC⊥BD ①，AD＝CD…………………………………………………(1分)
又由AE＝CF得＝，所以AC∥EF……………………………………………………(2分)
由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，…………………………………………………………..(3分)
所以AC⊥HD′……………………………………………………………………………….(4分)
(2)由AC∥EF，得＝＝………………………………………………………………(5分)
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4…………………………………………...(6分)
所以OH＝1，HD′＝DH＝3.(7分)
于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝HD′2，故OD′⊥OH ……………………………(8分)
由(1)知，AC⊥HD′，
又因为AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.
因为OH∩AC＝O，…………………………………………………………………………..(9分)
所以OD′⊥平面ABC.
又由＝得EF＝………………………………………………………………………(10分)
所以五边形ABCFE的面积
S＝×6×8－××3＝ ……………………………………………………………….(11分)
所以五棱锥D′－ABCFE的体积
V＝××2＝…………………………………………………………………….(12分)
【知识点归类点拔】翻折问题的3个注意点
(1)画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．
(2)把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．
(3)准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础．
【跟踪训练2】(2019·大连双基)如图(1)，在长方形ABCD中，AB＝，BC＝1，沿着该长方形的对角线BD将△BCD折起，得到平面BC′D，且满足平面BC′D⊥平面ABD，如图(2)．
(1)求三棱锥C′－ABD的体积；
(2)求证：∠ADC′≠90°
解：(1)如图，过C′作C′O⊥BD于点O，因为平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，所以C′O⊥平面ABD，…………………………………………..…………………..(3分)
在△BC′D中，BC′＝1，C′D＝，BD＝2，则C′O＝，所以三棱锥C′－ABD的体积为××1××＝.………………………………………………………………….…………(6分).
(2)因为AD平面ABD，由(1)知C′O⊥平面ABD，所以C′O⊥AD，
假设∠ADC′＝90°，即AD⊥DC′，
因为C′O∩DC′＝C′，C′O平面BC′D，DC′平面BC′D，
所以AD⊥平面BC′D，又BD平面BC′D，所以AD⊥BD，与已知∠ADB≠90°矛盾，所以假设不成立．所以∠ADC′≠90°. ………………………………………………………………..(12分)
