26.1 二次函数同步教案
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文档简介
26．1 二次函数
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．
2．体会二次函数是刻画现实世界的一个有效数学模型．
3．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想．
二、重难点目标
【教学重点】
二次函数的概念．
【教学难点】
能根据已知条件写出二次函数的解析式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．形如ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
2．根据实际问题中的数量关系列函数关系式，首先要找出题目中的等量关系，还要注意自变量的取值范围，除了使自变量所在的代数式有意义外，还应符合实际意义.
3．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.
4．下列函数中，是二次函数的有①②③.
①y＝(x－3)2－1；②y＝1－x2；③y＝(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.
5．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是－1，一次项系数是2，常数项是0.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元，求y与x之间的函数关系式．
【互动探索】(引发学生思考)本题的等量关系是：每月销售这种篮球获利＝每个篮球的利润×篮球的销售量．
【解答】根据题意，得每个篮球的利润＝x－40，篮球的销售量＝500－10(x－50)＝1000－10x.
则y＝(x－40)(1000－10x)＝－10x2＋1400x－40 000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数解析式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数解析式．
【例2】当m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的解析式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？
【解答】若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0.
解得m≠0，且m≠1.
因此，当m≠0，且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．
【探索】若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
活动2 巩固练习(学生独学)
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( C )
A．y＝(m－1)2x2
B．y＝(m＋1)2x2
C．y＝(m2＋1)x2
D．y＝(m2－1)x2
2．下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( C )
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．某国人口年平均自然增长率为1%，该国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
3．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1＋1是y关于x的二次函数，则k的值为1.
4．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝－5，当x＝－5时，则y的值为－.
5．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r cm的扇形，求扇形的面积y cm2与它的半径r cm之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
解：∵用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，
∴扇形的弧长为(40－2r) cm，
∴扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式为y＝r(40－2r)＝－r2＋20r，此函数是二次函数，且＜r＜20.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知关于x的二次函数y＝ax2＋c，当x＝－1时，函数值y＝10；当x＝2时，函数值y＝7，求a、c的值．
【互动探索】我们学过了一次函数以及一次函数解析式的求法——待定系数法，求二次函数y＝ax2＋bx＋c中的a、b、c的值能用这种方法吗？
【解答】根据题意，得
解得
即a、c的值分别为－1,11.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数y＝ax2＋bx＋c中a、b、c的值与求一次函数y＝kx＋b中k、b的值的方法相同，都可以采用待定系数法，二次函数的一般式有三个未知数，所以求二次函数的解析式需要三个方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次函数
练习设计
请完成本课时对应训练！
教学目标
一、基本目标
1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．
2．体会二次函数是刻画现实世界的一个有效数学模型．
3．根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想．
二、重难点目标
【教学重点】
二次函数的概念．
【教学难点】
能根据已知条件写出二次函数的解析式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．形如ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的方程叫做一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
2．根据实际问题中的数量关系列函数关系式，首先要找出题目中的等量关系，还要注意自变量的取值范围，除了使自变量所在的代数式有意义外，还应符合实际意义.
3．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.
4．下列函数中，是二次函数的有①②③.
①y＝(x－3)2－1；②y＝1－x2；③y＝(x＋2)(x－2)；④y＝(x－1)2－x2.
5．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是－1，一次项系数是2，常数项是0.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元，求y与x之间的函数关系式．
【互动探索】(引发学生思考)本题的等量关系是：每月销售这种篮球获利＝每个篮球的利润×篮球的销售量．
【解答】根据题意，得每个篮球的利润＝x－40，篮球的销售量＝500－10(x－50)＝1000－10x.
则y＝(x－40)(1000－10x)＝－10x2＋1400x－40 000.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数解析式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数解析式．
【例2】当m取哪些值时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的解析式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？
【解答】若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数，则m2－m≠0.
解得m≠0，且m≠1.
因此，当m≠0，且m≠1时，函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数．
【互动总结】(学生总结，老师点评)y＝ax2＋bx＋c为二次函数的前提条件是a≠0，且自变量x的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．
【探索】若函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
活动2 巩固练习(学生独学)
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( C )
A．y＝(m－1)2x2
B．y＝(m＋1)2x2
C．y＝(m2＋1)x2
D．y＝(m2－1)x2
2．下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是( C )
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．某国人口年平均自然增长率为1%，该国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
3．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1＋1是y关于x的二次函数，则k的值为1.
4．已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝－5，当x＝－5时，则y的值为－.
5．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r cm的扇形，求扇形的面积y cm2与它的半径r cm之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
解：∵用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，
∴扇形的弧长为(40－2r) cm，
∴扇形的面积y与它的半径r之间的函数关系式为y＝r(40－2r)＝－r2＋20r，此函数是二次函数，且＜r＜20.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知关于x的二次函数y＝ax2＋c，当x＝－1时，函数值y＝10；当x＝2时，函数值y＝7，求a、c的值．
【互动探索】我们学过了一次函数以及一次函数解析式的求法——待定系数法，求二次函数y＝ax2＋bx＋c中的a、b、c的值能用这种方法吗？
【解答】根据题意，得
解得
即a、c的值分别为－1,11.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数y＝ax2＋bx＋c中a、b、c的值与求一次函数y＝kx＋b中k、b的值的方法相同，都可以采用待定系数法，二次函数的一般式有三个未知数，所以求二次函数的解析式需要三个方程．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
二次函数
练习设计
请完成本课时对应训练！