26.2 二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2的图象与性质
1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=x2共有的性质是( B )
(A)开口向下 (B)对称轴是y轴
(C)都有最低点 (D)y随x的增大而减小
2.给出下列函数:①y=-3x+2;②y=;③y=2x2;④y=3x.上述函数中符合条件“当x>1时,函数值y随自变量x的增大而增大”的是( B )
(A)①③ (B)③④ (C)②④ (D)②③
3.函数y=与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( D )
4.已知抛物线y=-x2,下面说法错误的是( B )
(A)开口向下,对称轴为y轴
(B)y的最小值为-2
(C)顶点坐标为(0,0)
(D)当x>0时,y随x的增大而减小
5.(2017连云港)已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是( C )
(A)y1>0>y2 (B)y2>0>y1
(C)y1>y2>0 (D)y2>y1>0
6.已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下,则m的取值范围是 m<2 .?
7.已知二次函数y=x2的图象如图所示,线段AB∥x轴,交抛物线于A,B两点,且点A的纵坐标为2,则AB的长度为 4 .?
8.已知抛物线y=(m-1)x2开口向上,且直线y=4x+3-m经过第一、二、三象限,则m的取值范围是 19.已知函数y=ax2经过点(1,2).
(1)求a的值;
(2)当x<0时,y的值随x值的增大而变化的情况.
解:(1)把(1,2)代入y=ax2,
得2=a×12,
即a=2.
(2)因为a=2>0,
所以抛物线顶点在原点,开口向上,
当x<0时,y的值随x值的增大而减小.
10.(核心素养—几何直观)如图,在抛物线y=ax2上有点A(-2,4),过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,点C为抛物线上的动点(不与点A,B重合),连结CA,BC,取线段AC,BC的中点D,E,连结DE.当点C在抛物线上运动时,下列结论正确的有 ①② .(填写序号即可)?
①AB=4;②DE=2;③S△CAB=8;④S△CDE=2;
⑤△ACB的周长为4+4.
11. 已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2的图象相交于A,B两点,如图所示,其中A(-1,-1),求△OAB的面积.
解:因为一次函数y=kx-2的图象过点A(-1,-1),
所以-1=-k-2,解得k=-1,
所以一次函数表达式为y=-x-2,
所以令x=0,得y=-2,
所以G(0,-2),
因为y=ax2过点A(-1,-1),
所以-1=a×1,
解得a=-1,
所以二次函数表达式为y=-x2,
由一次函数与二次函数联立可得
解得
所以S△OAB=×2×1+×2×2=1+2=3.
26.2 1.二次函数y＝ax2的图象与性质
一、选择题
1．如图K－2－1，函数y＝－2x2 的图象可能是( )
图K－2－1
A．① B．②
C．③ D．④
2．下列关于函数y＝－x2的图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为(0，0)．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．下列关于抛物线y＝x2，y＝x2，y＝－x2的说法：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．抛物线y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2如图K－2－2所示，则a，b，c的大小关系是( )
图K－2－2
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
5．下列说法错误的是( )
A．二次函数y＝3x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
B．二次函数y＝－6x2中，当x＝0时，y有最大值0
C．函数y＝ax2(a≠0)，a越大函数图象开口越小，a越小函数图象开口越大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点一定是坐标原点
6．下列函数中，具有图象过原点且当x＞0时，y随x的增大而减小这两个特征的有( )
①y＝－ax2(a＞0)；②y＝(a－1)x2(a＜1)；③y＝－2x＋a2(a≠0)；④y＝(a2＋1)x2；⑤y＝－x.
图K－2－3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知二次函数y＝x2的图象如图K－2－3所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y＝x2上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
9．函数y＝k(x－k)，y＝kx2，y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
图K－2－4
二、填空题
10．2018·广州已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
图K－2－5
11．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图K－2－5所示，则k的取值范围为________．
12．写出一个顶点坐标是原点、对称轴是y轴、开口向下的抛物线的关系式：________．
13．一条抛物线与二次函数y＝x2的图象的开口方向相反，开口大小一致，顶点坐标相同，那么这条抛物线所对应的函数关系式是__________；如果二次函数y＝－3x2的图象与二次函数y＝ax2的图象关于x轴对称，那么二次函数y＝ax2的关系式是__________．
14．若二次函数y＝(m－1)x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
15．已知函数y＝kxk2－2k－6是关于x的二次函数，当k＝________时，图象开口向上；当k＝________时，图象开口向下．
图K－2－6
16．如图K－2－6，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积为________．
17．已知二次函数y甲＝mx2，y乙＝nx2，对任意给定的x值都有y甲≥y乙，则关于m，n的关系可能是________(填序号)．
①m＜n＜0；②m＞0，n＜0；③m＜0，n＞0；④m＞n＞0.
三、解答题
18．已知正方形的对角线长为x，面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；
(2)画出这个函数的图象.
19．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：
(1)函数y＝3x2的最小值是多少？
(2)函数y＝－3x2的最大值是多少？
(3)怎样判断二次函数y＝ax2是有最大值还是有最小值？
20．已知函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3交于点(1，b)．
(1)求a和b的值；
(2)求抛物线y＝ax2的函数关系式，并求顶点坐标和对称轴；
(3)观察抛物线y＝ax2，当x取何值时，y随x的增大而增大？
(4)求抛物线与直线y＝－2的两个交点坐标及以交点与抛物线顶点为顶点的三角形的面积．
1．[解析] C 易知函数y＝－2x2 的图象开口向下，且经过点(1，－2)，所以函数y＝－2x2的图象，可能是图中的③，故选C.
2．[答案] D
3．[答案] B
4．[答案] A
5．[答案] C
6．[解析] C ①②⑤满足这两个特征，③的图象不过原点，④中，当x>0时，y随x的增大而增大．
7．[解析] B ∵点A的横坐标为2，
根据抛物线的对称性，知点B的横坐标是－2.
∵线段AB∥x轴，
∴AB＝2－(－2)＝2＋2＝4.
故选B.
8．[答案] D
9．[解析] C 一次函数y＝k(x－k)＝kx－k2，∵k≠0，∴－k2＜0，∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．A项，一次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，A不正确．B项，一次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，B不正确．C项，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，C可以．D项，一次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，D不正确．
10．[答案] 增大
[解析] ∵二次函数y＝x2的图象开口向上，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大．故答案为增大．
11．[答案] k＞－1
[解析] 抛物线的开口方向向上，则k＋1＞0，解得k＞－1.
12．[答案] y＝－2x2(答案不唯一，只要是y＝ax2的形式且a为负数即可)
13．[答案] y＝－x2 y＝3x2
14．[答案] m＜1
15．[答案] 4 －2
16．[答案] 2
17．[答案] ②④
[解析] 要使y甲≥y乙，只要甲的图象在乙的图象上方即可．
18．解：(1)y＝x2.
(2)略．
19．解：作图象略．
(1)0.
(2)0.
(3)当a>0时，y＝ax2有最小值；当a<0时，y＝ax2有最大值．
20．解：(1)将x＝1，y＝b代入y＝2x－3，得b＝－1，所以交点坐标是(1，－1)．
将x＝1，y＝－1代入y＝ax2，得a＝－1，
所以a＝－1，b＝－1.
(2)抛物线的函数关系式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x＝0(即y轴)．
(3)当x＜0时，y随x的增大而增大．
(4)设直线y＝－2与抛物线y＝－x2相交于A，B两点(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为O(0，0)．
由得
所以A(－，－2)，B(，－2)，
所以AB＝|－(－)|＝2 ，
所以S△AOB＝×2 ×2＝2 .
