1.1.1 正弦定理（1）同步学案

高二数学必修5 第一章 §1.1.1 正弦定理（1）
班级 姓名
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容及证明；
2. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题；
3. 会运用正弦定理判断三角形解的个数．
学习过程
一、课前准备
试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有，，又，
从而在直角三角形ABC中，．
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=，则， 同理可得，
从而．

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使， ，；
（2）等价于 ，，．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如； ．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1、在中，已知，，cm，解三角形．
变式1、在中，，，，求，．
例2、在．
变式2、在．
例3、不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)c＝50，b＝72，C＝135°.
总结　已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．
变式3、不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝7，b＝14，A＝30°；
(2)a＝30，b＝25，A＝150°；
(3)a＝7，b＝9，A＝45°.
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.
A为锐角
aa＝bsin A
bsin Aa≥b
无解
一解(直角)
两解(一锐角，一钝角)
一解(锐角)
A为直
角或钝角
a≤b
a>b
无解
一解(锐角)
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
2. 正弦定理的证明：等积法与外接圆法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．（无解、一个解和两个解的情况）
※ 知识拓展：，其中为外接圆直径.
当堂检测
1．在中，一定成立的等式是（ ）．
A． B. C. D.
2．在中，已知a=8，B=60°，°，则b等于（ ）．
A． B. C. D.16
3．(2013河北唐山模拟）在中，已知b=40，c=20，°，则此三角形解的情况是（ ）．
A．有一解 B.有两解 C. 无解 D.有解但解的个数不确定
4．在△ABC中，若，则与的大小关系为（ ）.
A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定
5．已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．
课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，下列式子与相等的是(　　)
A.　　　 B. C. D.
2．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是(　　)．
A. B. C. D.
3．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，则AC边上的高等于(　　)
A．2 B. C．2 D．不确定
5．在△ABC中，若AB＝3，B＝75°，C＝60°，则BC＝________.
6．在△ABC中，若AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝________.
7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.
8．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
9．在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数：
(1)a＝4，b＝5，A＝30°； (2)a＝5，b＝4，A＝60°；
(3)a＝，b＝，B＝120°； (4)a＝，b＝，A＝60°.
二、提高训练题
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且角A＝75°，则
b＝ (　　)．
A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－
11．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是________．
12．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A＝，sinB＝.
(1)求A＋B的值；
(2)若a－b＝－1，求a、b、c的值．
第一章 §1.1.1 正弦定理（1）参考答案
一、基础训练题
1、答案：D
2、解析　在△ABC中，C＝120°，故A，B都是锐角．据正弦定理＝＝.
答案　A
3、解析　正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确
定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知
④正确．
4、解析：AC边上的高等于ABsinA＝2sin45°＝.
答案：B
5、解析：c＝AB＝3，B＝75°，C＝60°，则A＝45°，由正弦定理，得＝，所以a＝BC＝＝＝.
答案：
6、解析　由正弦定理得＝，
∴sin A＝.
∵BC＝2∴A＝45°.∴C＝75°.
答案　75°
7、解析　∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝，
∴由正弦定理，＝，＝.∴sin A＝.
答案　
8、解　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得＝＝2R，∴c＝＝＝5，∴2R＝＝＝
10 ，∴R＝5.
9、解：(1)∵角A为锐角，a(2)∵a>b，角A为锐角，∴B(3)∵角B为钝角，a>b，∴无解．
(4)∵角A为锐角，a∴a二、提高训练题
10、解析　如图所示．
在△ABC中，由正弦定理得
＝＝＝4.∴b＝2.
11、解析　由正弦定理，得x＝＝2sin A，
∵45°答案　212、解：(1)∵A、B为锐角，sinB＝，
∴cosB＝＝.
又cos2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cosA＝＝.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝×－×＝.
∵0(2)由(1)知C＝，∴sinC＝.
由正弦定理＝＝得
a＝b＝c，即a＝b，c＝b.
∵a－b＝－1，
∴b－b＝－1，∴b＝1.
∴a＝，c＝.