1.1.2 余弦定理（1）同步学案

高二数学 必修5 第一章 §1.1.2 余弦定理（1）
班级 姓名 .
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：大角对大边，大边对大角
复习3：正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化
二、新课导学
※ 探究新知
问题：在中，、、的长分别为、、.
∵ ，
∴
同理可得： ，
．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
变形：＿＿＿＿＿＿；＿＿＿ ＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿；
[理解定理]
（1）若C=，则 ，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
※ 典型例题
例1、在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.
总结　解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．21世纪教育网版权所有
例2、在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．
变式、在ABC中，若，求角A．
例3、如图所示，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°.求BC的长。
三、总结提升
※ 学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．
知识拓展
在△ABC中，
若，则角是直角；若，则角是钝角；若，则角是锐角．
课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)．
A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　)．
A. B. C. D.
3．已知△ABC满足B＝60°，AB＝3，AC＝，则BC的长等于(　　)
A．2 B．1 C．1或2 D．无解
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　)
A. B. C.或 D.或
5．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC (　　)．
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
6．在△ABC中，如果sinA∶sinB∶sinC＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是________．
7．在△ABC中，B＝且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
8、△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则＝________.
9．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝1，△ABC的面积为，则BC的长为________．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，a＝4，b＋c＝6，且b11．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.
(1)求角B的大小； (2)若a＝3，c＝5，求边b.
二、提高训练题
12．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)．
A．90° B．120° C．135° D．150°
13．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
14．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝3a，求tan A的值．
必修5 第一章 §1.1.2 余弦定理（1）参考答案
1、解析　注意余弦定理形式，特别是正负号问题．
答案　A
2、解析　由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，且∠BAC∈(0，π)，
因此∠BAC＝，选A.
答案　A
3、解析：设BC＝x，则()2＝9＋x2－6xcos60°，解得x＝1或2.
答案：C
4、解析：由a2＋c2－b2＝ac联想到余弦定理cosB＝＝，∴B＝.
答案：A
解析　∵>0，∴c2－a2－b2>0，
∴a2＋b2答案　C
解析：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶6∶8，
设a＝5x，b＝6x，c＝8x，
则三角形最大角C的余弦值是cosC＝＝－.
答案：－
解析：在△ABD中，B＝，BD＝2，AB＝1，
则AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
所以AD＝.
答案：
8、解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
则49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)，
所以＝＝.
答案：
解析　S△ABC＝AB·ACsin A?AB＝4，
∴BC＝＝.
答案　
解　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴16＝(b＋c)2－2bc－bc
∴bc＝8，
又∵b＋c＝6，b得b＝2，c＝4或b＝4，c＝2(舍)．
∴b＝2，c＝4.
解：(1)由a＝2bsinA，根据正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，
所以sinB＝.
又△ABC为锐角三角形，则角B为锐角，
所以B＝.
(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋25－45＝7，
所以b＝.
12、解析　设中间角为θ，则cos θ＝＝，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．
答案　B
13、解析　∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.
∴cos A＝＝－. ∵0°答案　120°
14、解　(1)由余弦定理，得cos B＝＝.∵0(2)法一　将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.
由余弦定理，得cos A＝＝. ∵0∴tan A＝＝.
法二　将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.
由正弦定理，得sin B＝sin A.∵B＝，∴sin A＝.
又∵b＝a>a，则B>A，∴cos A＝＝.
∴tan A＝＝.