2.1.1 曲线与方程（1）同步学案

高二数学 选修2—1 第二章 §2.1.1 曲线与方程（1）
班级 姓名
学习目标
1．理解曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P34~ P36，找出疑惑之处）
复习1：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．
问题1：能否写成，为什么？
新知1：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线与一个二元方程之间，
如果具有以下两个关系：
1．曲线上的点的坐标，都是 的解；
2．以方程的解为坐标的点，都是 的点，
那么，方程叫做这条曲线的方程；曲线叫做这个方程的曲线．
注意：1( 如果……，那么……；
2( “点”与“解”的两个关系，缺一不可；
3( 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；
4( 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．
练习1：
（1）点在曲线上，则a= ．
（2）曲线：上有点，则= ．
新知2：根据已知条件，求出表示曲线的方程．
求曲线的方程的步骤：
① 建立适当的坐标系，用表示曲线上的任意一点的坐标；
② 写出适合条件的点的集合；
③ 用坐标表示条件，列出方程；
④ 将方程化为最简形式；
⑤ 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤②，直接列出曲线方程．
※ 典型例题
例1、【课本例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程式是．
变式1：到x轴距离等于的点所组成的曲线的方程是吗？
例2、【课本例2】设两点的坐标分别是，，求线段的垂直平分线的方程．
变式2：【课本习题A组】 求和点，距离的平方差为常数的点的轨迹方程．
※ 动手试试
练习、下列方程的曲线分别是什么？（作出简图）
(1) (2) (3)
三、总结提升
※ 学习小结
1．曲线的方程、方程的曲线；
2．求曲线的方程的步骤：
① 建系，设点；
② 写出点的集合；
③ 列出方程；
④ 化简方程；
⑤ 验证．
课后作业
一、基础训练题
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)(　　)
A．在直线l上，但不在曲线C上 B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上 D．不在直线l上，但在曲线C上
2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　)

3．方程y＝表示的曲线为图中的(　　)
4．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是(　　)
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
6．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________.
7．给出下列结论：
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的直线的方程为y＝2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．
其中正确的结论的序号是__________．
8．判断下列命题是否正确．
(1)过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为|y|＝3. （ ）
(2)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝. （ ）
(3)方程(x＋y－1)·＝0表示的曲线是圆或直线． （ ）
(4)点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)都在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．（ ）
9．已知A，B两点的坐标分别为A(0，－4)，B(0,4)，直线MA与MB的斜率之积为－1，求点M的轨迹方程．
10．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
二、提高训练题
11．方程＋＝1表示的图形是(　　)
A．一条直线 B．两条平行线段 C．一个正方形 D．一个正方形(除去四个顶点)
12．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点有______个．
13．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．
选修2—1 第二章 §2.1.1 曲线与方程（1）参考答案
1、解析：将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B.
答案： B　
2、解析：方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，
∴x≤0，因此选B.
答案：　B
3、解析：　y＝，x≠0，为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B.
又因为当x>0时，y＝>0；
当x<0时，y＝－>0，所以排除D.
答案：　C
4、解析：“点M在曲线y＝|x|上”“点M到两坐标轴距离相等”．故选B.
答案：　B
5、解析：设P(x，y)，则|PA|＝3|PO|
可化为＝3，
化简得8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0，故选A.
答案：　A
6、解析：将P(2，－3)代入曲线方程得4－9k＝1，∴k＝.
答案：
7、解析：①不正确．方程等价于y＝x－2(x≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线，但除去点(2,0)；到x轴距离为2的点的直线的方程应是|y－0|＝2，即y＝2或y＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为，即，
∴方程表示四个点，所以③正确．
答案：③
8、解析：　(1)不对，过点P(0,3)的直线l与x轴平行，则直线l的方程为y＝3，而不是|y|＝3.
(2)不对．设(x0，y0)是方程y＝的解，
则y0＝，即x＋y＝r2.
两边开平方取算术根，得＝r.
即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．
所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝，而应是y＝±.
(3)不对．
由(x＋y－1)·＝0得

所以表示的是圆和两条射线．
(4)不对．
把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25，满足方程，且A点的横坐标满足x≤0，
则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点B(－3，－4)的坐标代入方程x2＋y2＝25，
∵(－3)2＋(－4)2＝34≠25，
∴点B不在方程所表示的曲线上．尽管C点坐标满足方程，但
∵横坐标不满足小于或等于0的条件，
∴点C不在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上．
答案： (1) (2) (3) (4)
9、解：设点M的坐标为(x，y)．
由A(0，－4)，B(0,4)，得kMA＝，kMB＝.
又∵kMA·kMB＝－1，
∴·＝－1，
化简，得x2＋y2＝16.
∵MA，MB都存在斜率，∴x≠0，
故点M的轨迹方程为x2＋y2＝16(x≠0)．
10、解析：　由x＝，得x2＋y2＝9.
又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·9＝π.
所以所求图形的面积为π.
11、解析：由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称 ，且x≠0，y≠0.当x＞0，y＞0时，方程可化为x＋y＝1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.
答案：　D
12、解析：　利用数形结合的思想方法，如图所示：
答案：　2
13、解析　可设动点坐标为(x，y)，则＝1，
即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求轨迹为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
答案　4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0