2.2.1椭圆及其标准方程(1)同步学案

高二数学 选修2—1 第二章 §2.2.1椭圆及其标准方程(1)
班级 姓名
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程
一、课前准备
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
二、新课导学
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．
新知１：我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
反思：若将常数记为，为什么?
（1）当时，其轨迹为　　　 　　； （2）当时，其轨迹为　 　　　　．
练习1：已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．
小结1：应用椭圆的定义注意两点：
① 分清动点和定点； ② 看是否满足常数．
新知2：焦点在轴上的椭圆：两个焦点坐标为，，
标准方程：（其中）
焦点在轴上的椭圆：两个焦点坐标为，，
标准方程：（其中）
练习2：口述下列方程哪些是椭圆方程？若是，判断其焦点在何轴？并指明，，写出焦点坐标．
（1） （2）
（3） （4）
※ 典型例题
例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴，焦点在轴上； ⑵，焦点在轴上； ⑶．
变式1、方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围 ．
小结2：椭圆标准方程中： ； ．
例2、已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 ．
变式2、椭圆过点 ，，，求它的标准方程．
※ 当堂检测：
1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
3．已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）．
A． B．6 C． D．12
4．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程
是 ．
5．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是　　　　　，它的方程是　　　　　　　．三、总结提升
※ 学习小结
1. 椭圆的定义；
2. 椭圆的标准方程。
课后作业
一、基础训练题
1．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1或x2＋＝1
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5　　　　　B．6 C．7 D．8
3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1
4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．－9＜m＜25　 　B．8＜m＜25 C．16＜m＜25 D．m＞8
5．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是(　　)
A．6 B. C．24 D.
6．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．1
7．椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值是________．
8．已知椭圆的焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为__________．
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8；
(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15.
二、提高训练题
11．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
13．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
14．已知点P(3,4)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是椭圆左、右焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆方程； (2)△PF1F2的面积．
选修2—1 第二章 §2.2.1椭圆及其标准方程(1)参考答案
1、解析：由a2＝b2＋c2，∴b2＝13－12＝1.分焦点在x轴和y轴上写标准方程．
答案：　D
2、解析：∵a＝5，|PF1|＝2.∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2×5－2＝8.
答案：　D
3、解析：c＝1，a＝＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：　A
4、解析：　依题意有，解得8＜m＜25，
即实数m的取值范围是8＜m＜25，故选B.
答案：　B
5、解析：　∵3kx2＋ky2＝1，∴＋＝1.
又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，
∴a2＝，b2＝，c2＝a2－b2＝－＝＝16，∴k＝.
答案：　D
6、解析：选B.由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
答案：　B
7、解析：当焦点在x轴时，m－15＝1，m＝16；当焦点在y轴时，15－m＝1，m＝14.
答案：16或14
8、解析：由题设知|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴2a＝4,2c＝2，∴b＝，
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9、解析：　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴，∴，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
10解：(1)①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知2a＝8，∴a＝4，又点P(3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，得b2＝.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为：＋＝1(a>b>0)，∵2a＝8，∴a＝4.
又点P(3,2)在椭圆上，∴＋＝1，得b2＝12.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
由①②知椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，∴a＝12，c＝8，∴b2＝80.
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
∴所求方程为＋＝1或＋＝1.
11、解析：mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m＞n＞0，所以0＜＜，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立．
答案：　C
12、解析：由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，且已知|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2.所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2.因此∠MF2F1＝90°，△MF1F2为直角三角形．
答案：　B
13、解析：　由椭圆标准方程得a＝3，b＝，
则c＝＝，|F1F2|＝2c＝2.
由椭圆的定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝＝－，
所以∠F1PF2＝120°.
答案：　2　120°
14、解：(1)由PF1⊥PF2，可得|OP|＝c，即c＝5.
设椭圆方程为＋＝1代入P(3,4)，
得＋＝1，解得a2＝45，a2＝5(舍去)．
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)S△PF1F2＝|F1F2||yP|＝5×4＝20.