2.2.1椭圆及其标准方程(2)同步学案

高二数学 选修2—1 第二章 §2.2.1椭圆及其标准方程(2)
班级 姓名
学习目标
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
学习过程
1、椭圆定义的回顾21世纪教育网
椭圆定义中，平面内动点与两个定点F1,F2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当这个常数小于|F1F2|时，动点不存在.
2、椭圆的标准方程
当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。
焦点在轴上，方程为，其中焦点坐标为，，且；
焦点在轴上，方程为，其中焦点坐标为，，且
焦点位置的判断:看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.
二、新课导学
※ 典型例题
例1、在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？
变式、若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．
例2、设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程 ．
※ 动手试试
练习1、求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程．
练习2、一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升
※ 学习小结
1、① 注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
② 相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．
※ 知识拓展
椭圆的第二定义：到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹．
其中：定点是椭圆的焦点；定直线是椭圆的准线；常数是椭圆的离心率．
课后作业
一、基础训练题
1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1
2．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1
3．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是 (　　)．
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 (　　)．
A．a>3 B．a<－2 C．a>3或a<－2 D．a>3或－65．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
6．已知椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
9．已知B、C是两定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．
10．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
二、提高训练题
11．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)．
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
12. 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，如图，求圆心P的轨迹方程．
13．(创新拓展)如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
选修2—1 第二章 §2.2.1椭圆及其标准方程(2)参考答案
1、解析：c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.
答案　A
2、解析：由题意知a2－2＝4，∴a2＝6.∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案　D
3、解析　∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.
答案　D
4、解析　由于椭圆焦点在x轴上，
∴即
?a>3或－6答案　D
5、解析　由已知2a＝8，2c＝2，
∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆标准方程为＋x2＝1.
答案　＋x2＝1
6、解析　由已知2c＝6，
∴c＝3，而c2＝9，
∴20－k＝9或k－20＝9，
∴k＝11或k＝29.
答案　11或29
7、解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，＝＝＝.
答案　
8、解　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
9、解：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)．
由|BC|＝8，可设B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10>|BC|＝8.
因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，
这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝9.
所以A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
10、解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，
故设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5)，
把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
11、解析　如图，依题意：
|PF1|＋|PF2|＝2a(a>0是常数)．
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.
答案　A
12、解：设|PB|＝r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10，而|AB|＝6，
∴|PA|＋|PB|＞|AB|，
∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
13、解　由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
∵A(1，0)，C(－1，0)，
∴点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，
b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.