2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)同步学案

高二数学 选修2—1 第二章 §2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)
班级 姓名
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
学习过程
二、新课导学
椭圆方程：
1.图形：
2.范围：： ：
3.对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
4.顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；
长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；
5.离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
记，且．(e大则扁，e小则圆)
练习1：求椭圆的以下几何性质：
图形：
（1）范围：的取值范围： 的取值范围：
（2）对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
（3）顶点：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
长轴长为 ；短轴长为 ；
（4）离心率： = ．
反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
练习2：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：
（1）长轴长为 ；短轴长为 ；
（2）离心率： = ．
（3）焦点坐标：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（4）顶点： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
※ 典型例题
例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程
（1）长轴长是短轴长的2倍且经过点（2,0）；
（2）短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
变式1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在轴上，，； ⑵焦点在轴上，，；
⑶经过点，； ⑷长轴长等到于，离心率等于．
例2、点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
小结：椭圆第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离的比为常数(小于1)的点的轨迹是椭圆．
例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
变式2、为椭圆的上顶点为椭圆的焦点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
三、总结提升
※ 学习小结
1．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
2．理解椭圆的离心率．
课后作业
一、基础训练题
1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　)
A.　　　　　　　B. C. 　　　 D.
2．一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1　　　B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
3．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(　　)
A．8,2 B．5,4 C．9,1 D．5,1
4．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为(　　)
A．有相等的长、短轴 B．有相等的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
5．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为
16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
6．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
7．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
8．离心率e＝，一个焦点是F(0，－3)的椭圆标准方程为__________．
9．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
10．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
11．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.
二、提高训练题
12．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
13．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为________．
14．设P(x，y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0，点A(－5,0)、B(5,0)，试判断kPA·kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
选修2—1 第二章 §2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)参考答案
1、解析：由题意知，2a＝4b，又b2＝a2－c2，得到4c2＝3a2，e2＝，e＝.
答案：　D
2、解析：　由椭圆中a＞b，a＞c＝3，且一个顶点坐标为(0,2)知b＝2，b2＝4，且椭圆焦点在x轴上，a2＝b2＋c2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选D.
答案：　D
3、解析：　因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
答案：　C
4、解析：a2－b2＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16＝c2，∴c1、c2相等．
答案：　B
5、解析：　由题意知4a＝16，即a＝4，又∵e＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：　B
6、解析：由已知得a＝9,2c＝·2a，于是c＝a＝3.又∵焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：　A
7、解析：　依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴acos 60°＝c，∴＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.
答案：　A
8、解析：依题意＝，c＝3，所以a＝6，b＝，焦点在y轴上，所以椭圆标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
9、解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为e＝＝.
答案：
10、解析：　依题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.
∵椭圆的离心率为，∴＝，∴＝，∴b2＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
答案：　＋＝1
11、解：(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
12、解析：法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P(－c，±)，故|PF1|＝，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，
从而可得e＝＝.
法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，
|PF1|＝c，|PF2|＝c.
所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.
答案：　B
13、解析：若m＜5，则＝，∴m＝3.
若m＞5，则＝，∴m＝.
答案：3或
14、解析：　因为点P的纵坐标y≠0，所以x≠±5.设P(x，y)．
所以kPA＝，kPB＝.
所以kPA·kPB＝·＝.
因为点P在椭圆＋＝1上，
所以y2＝16×＝16×.
把y2＝16×代入kPA·kPB＝，得
kPA·kPB＝＝－.
所以kPA·kPB为定值，这个定值是－.