2.2.2椭圆及其简单几何性质(3)同步学案
文档属性
| 名称 | 2.2.2椭圆及其简单几何性质(3)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 168.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-04 18:05:17 | ||
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文档简介
高二数学 选修2—1 第二章 §2.2.2椭圆及其简单几何性质(3)
班级 姓名
学习目标
理解弦长公式的推导与应用；
掌握点差法，会利用点差法求解相应问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：点与椭圆的位置如何判定？
复习2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
二、新课导学
典型例题
题型一、有关弦长问题
例1、经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
小结：弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
当直线斜率不存在时，则.
题型二：有关弦中点问题
例2、焦点分别为和的椭圆截直线所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程.
例3、过点的直线与椭圆相交，求被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.
变式、若椭圆，一组平行直线的斜率是．
（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
小结：点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
课后作业
一、基础训练题
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1或＋＝1 D．椭圆的方程无法确定
3．直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－5,5) B．(－12,12) C．(－13,13) D．(－15,15)
4．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )．
A．± B．± C．± D．±
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
6．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．
7．已知过点A(－1，1)的直线与椭圆＋＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．
二、提高训练题
9．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为( )
A．5 B．6 C． D．7
10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
11．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的方程．
选修2—1 第二章 §2.2.2椭圆及其简单几何性质(3)参考答案
1、解析：椭圆方程化为标准式＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上．
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
答案 D
2、解析：a＝5且c＝3，∴b＝4，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案 C
3、解析：联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13答案 C
4、解析 由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，
∴P坐标(3，y0)，又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±，
∴M的坐标(0，±)，故选A.
答案 A
5、解析 由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝＝
＝＝＝.
答案
6、解 设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.即(1＋k2)(－)2＝.
化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.
∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
7、解 设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC中点M(x，y)，
则＋＝1，①
＋＝1.②
②－①，得(－)＋(－)＝0.
∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③
当x1≠x2时，＝x，＝y，＝，
又∵③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0.
∴2x＋2·2y·＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.
当x1＝x2时，由点M(x，y)是线段BC中点，
∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．
总之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.
8、解析： (1)＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋(1－)－3＝x2－2，
∵x∈[－2,2]，
∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；
当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
9、解析： 椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，∴直线AB的方程为y＝x－4，
由得9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求|AB|＝.
答案： C
10、解析： 椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.
答案：
11、解：∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，即△BAP是等腰直角三角形，|AB|＝|AP|.
∵·＝9，∴|AB||AP|cos 45°＝|AP|2cos 45°＝9，∴|AP|＝3.
∵P(0,1)，∴|OP|＝1，|OA|＝2，即b＝2，且B(3,1)．
∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
班级 姓名
学习目标
理解弦长公式的推导与应用；
掌握点差法，会利用点差法求解相应问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：点与椭圆的位置如何判定？
复习2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
二、新课导学
典型例题
题型一、有关弦长问题
例1、经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
小结：弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
当直线斜率不存在时，则.
题型二：有关弦中点问题
例2、焦点分别为和的椭圆截直线所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程.
例3、过点的直线与椭圆相交，求被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.
变式、若椭圆，一组平行直线的斜率是．
（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
小结：点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
课后作业
一、基础训练题
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1或＋＝1 D．椭圆的方程无法确定
3．直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－5,5) B．(－12,12) C．(－13,13) D．(－15,15)
4．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )．
A．± B．± C．± D．±
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
6．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．
7．已知过点A(－1，1)的直线与椭圆＋＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．
二、提高训练题
9．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为( )
A．5 B．6 C． D．7
10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
11．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的方程．
选修2—1 第二章 §2.2.2椭圆及其简单几何性质(3)参考答案
1、解析：椭圆方程化为标准式＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上．
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
答案 D
2、解析：a＝5且c＝3，∴b＝4，∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案 C
3、解析：联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13
4、解析 由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，
∴P坐标(3，y0)，又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±，
∴M的坐标(0，±)，故选A.
答案 A
5、解析 由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝＝
＝＝＝.
答案
6、解 设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.即(1＋k2)(－)2＝.
化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.
∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
7、解 设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，弦BC中点M(x，y)，
则＋＝1，①
＋＝1.②
②－①，得(－)＋(－)＝0.
∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③
当x1≠x2时，＝x，＝y，＝，
又∵③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0.
∴2x＋2·2y·＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.
当x1＝x2时，由点M(x，y)是线段BC中点，
∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．
总之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.
8、解析： (1)＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋(1－)－3＝x2－2，
∵x∈[－2,2]，
∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；
当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
9、解析： 椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，∴直线AB的方程为y＝x－4，
由得9x2＋25(x－4)2＝225，由弦长公式易求|AB|＝.
答案： C
10、解析： 椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2－5x＝0，∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.
答案：
11、解：∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，即△BAP是等腰直角三角形，|AB|＝|AP|.
∵·＝9，∴|AB||AP|cos 45°＝|AP|2cos 45°＝9，∴|AP|＝3.
∵P(0,1)，∴|OP|＝1，|OA|＝2，即b＝2，且B(3,1)．
∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的方程为＋＝1.