2.3.1 双曲线及其标准方程(2)同步学案
文档属性
| 名称 | 2.3.1 双曲线及其标准方程(2)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 177.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-05 09:22:30 | ||
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文档简介
高二数学 选修2—1 第二章 §2.3.1 双曲线及其标准方程(2)
班级 姓名
学习目标
1．掌握双曲线的焦点三角形；
2．掌握双曲线的标准方程的求法．
学习过程
※ 典型例题
例1、已知直线与直线，动点到的距离之积等于1，求点的轨迹方程
变式1：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2:1,求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
例2、在中，已知，且三内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程，并指明表示什么曲线.
例3、求与两个定圆和圆都外切或都内切的动圆的圆心的轨迹方程
变式2:设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且为上动点，求的最大值及此时点的坐标.
三、总结提升
※ 学习小结
1、双曲线的定义的巩固与运用；
2、双曲线的标准方程的求解．
课后作业
一、基础训练题
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D．(，0)
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
3．方程x＝所表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
4．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条直线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12 C．12 D．24
6．过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程为________．
7．已知方程＋＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k的取值范围．
8．(1)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
(2)已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
二、提高训练题
9．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m
10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
11．已知圆C方程为(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
选修2—1 第二章 §2.3.1 双曲线及其标准方程(2)参考答案
变式2：解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
（２）∵，仅当时，取＂＝＂，
由知直线，联立并整理得
解得或，此时
所以最大值等于2，此时．
1、解析：将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，
∴c＝＝，∴右焦点坐标为.故选C.
答案：C
2、解析：方程可变为－＝1，又m·n<0，∴又可变为－＝1.
∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
3、解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
答案：C
4、解析：当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴P的轨迹为双曲线的一支．
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴P的轨迹为射线．
答案：D
5、解析： 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2.
由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.∴三角形为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
答案：B
6、答案：－y2＝1或－x2＝1
7、解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k)(k－1)＜0，解得k＞2或k＜1.
即k的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(2)方程表示椭圆需满足解得1＜k＜2且k≠.
即k的取值范围是(1，)∪(，2)．
(3)方程表示圆需有2－k＝k－1＞0，即k＝.
8、解 (1)因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(±，4)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以
解得所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
(2)已知双曲线－＝1.
据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1，点P在双曲线上，
∴－＝1.化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝.
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意．
∴所求双曲线标准方程是：x2－＝1.
解析：设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
答案： B
10、解析：∵－＝1，∴当x＝3时，y＝±.
又∵F2(4,0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝，∴|MF2|＝＝4.
答案：4
11、解：∵圆P与圆C外切，∴|PC|＝|PA|＋2，即|PC|－|PA|＝2，
∵0<|PC|－|PA|<|AC|＝6，
∴由双曲线定义，点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝9－1＝8，
故所求轨迹方程为x2－＝1(x<0)．
班级 姓名
学习目标
1．掌握双曲线的焦点三角形；
2．掌握双曲线的标准方程的求法．
学习过程
※ 典型例题
例1、已知直线与直线，动点到的距离之积等于1，求点的轨迹方程
变式1：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是2:1,求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
例2、在中，已知，且三内角满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程，并指明表示什么曲线.
例3、求与两个定圆和圆都外切或都内切的动圆的圆心的轨迹方程
变式2:设圆与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点且为上动点，求的最大值及此时点的坐标.
三、总结提升
※ 学习小结
1、双曲线的定义的巩固与运用；
2、双曲线的标准方程的求解．
课后作业
一、基础训练题
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D．(，0)
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
3．方程x＝所表示的曲线是( )
A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
4．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条直线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
5．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．12 C．12 D．24
6．过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程为________．
7．已知方程＋＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k的取值范围．
8．(1)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
(2)已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
二、提高训练题
9．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m
10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
11．已知圆C方程为(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，求过定点A且和圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
选修2—1 第二章 §2.3.1 双曲线及其标准方程(2)参考答案
变式2：解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
（２）∵，仅当时，取＂＝＂，
由知直线，联立并整理得
解得或，此时
所以最大值等于2，此时．
1、解析：将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，
∴c＝＝，∴右焦点坐标为.故选C.
答案：C
2、解析：方程可变为－＝1，又m·n<0，∴又可变为－＝1.
∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
答案：D
3、解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
答案：C
4、解析：当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴P的轨迹为双曲线的一支．
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴P的轨迹为射线．
答案：D
5、解析： 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2.
由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.∴三角形为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
答案：B
6、答案：－y2＝1或－x2＝1
7、解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k)(k－1)＜0，解得k＞2或k＜1.
即k的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(2)方程表示椭圆需满足解得1＜k＜2且k≠.
即k的取值范围是(1，)∪(，2)．
(3)方程表示圆需有2－k＝k－1＞0，即k＝.
8、解 (1)因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(±，4)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以
解得所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
(2)已知双曲线－＝1.
据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1，点P在双曲线上，
∴－＝1.化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝.
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意．
∴所求双曲线标准方程是：x2－＝1.
解析：设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
答案： B
10、解析：∵－＝1，∴当x＝3时，y＝±.
又∵F2(4,0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝，∴|MF2|＝＝4.
答案：4
11、解：∵圆P与圆C外切，∴|PC|＝|PA|＋2，即|PC|－|PA|＝2，
∵0<|PC|－|PA|<|AC|＝6，
∴由双曲线定义，点P的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝9－1＝8，
故所求轨迹方程为x2－＝1(x<0)．