2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷解析版

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷
一、填空题（每小题4分，共40分）
1．2019°是第　 　象限．
2．已知角α的终边经过点P（2，﹣3），则sinα＝　 　
3．已知tanα＝2，则＝　 　．
4．函数y＝的定义域为　 　．
5．已知，则＝　 　．
6．已知在第二象限，则＝　 　．
7．方程5sinx＝4+2cos2x的解集为　 　．
8．已知，则＝　 　．
9．将函数y＝sin2x的图象先沿x轴向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y＝f（x）图象，对于函数y＝f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为；
②该函数图象关于点对称；
③该函数在上是增函数；
④若函数y＝f（x）+a在上的最小值为1，则．
其中正确判断的序号是　 　（写出所有正确判断的序号）．
10．已知△ABC中，7sin2B+3sin2C＝2sin2A+2sinAsinBsinC，则＝　 　．
二、选择题（每小题4分，共16分）
11．如果α是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．函数的反函数是（　　）
A． B．
C． D．
13．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB＝c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）＝sin2+，则△ABC为（　　）
A．锐角非等边三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
14．已知函数f（x）＝cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，则（　　）
A．函数f（x﹣1）一定是奇函数
B．函数f（x+1）一定是奇函数
C．函数f（x﹣1）一定是偶函数
D．函数f（x+1）一定是偶函数
三、解答题（共44分）
15．（8分）已知．
（1）求sinαcosα的值；
（2）若α为第二象限的角，求的值．
16．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中）的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为．
（1）求函数f（x）的解析式和单调递增区间；
（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值．
17．（12分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y关于投产持续时间t（单位：小时）的关系y＝f（t）均近似地满足函数f（t）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．
（1）根据图象，求函数f（t）的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（m＞0）小时投产，求m的最小值．
18．（12分）在锐角△ABC中，已知，若点D是线段BC上一点（不含端点），过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）若△AEF外接圆的直径长为，求EF的值；
（2）求BC的取值范围；
（3）问点D在何处时，△DEF的面积最大？最大值为多少？

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题4分，共40分）
1．【解答】解：2019°＝360°×5+219°，是第三象限角．
故答案为：三．
2．【解答】解：∵角α的终边经过点P（2，﹣3），则 x＝2，y＝﹣3，r＝|OP|＝＝，
∴sinα＝＝，
故答案为：﹣．
3．【解答】解：tanα＝2，则＝＝＝．
故答案为：
4．【解答】解：根据函数y＝，可得cosx≥0，可得 2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z），
故函数的定义域为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，
故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．
5．【解答】解：由，
得﹣cos，即cos，
∴sinα＝，则tanα＝＝．
∴＝﹣cot（）＝﹣tanα＝．
故答案为：．
6．【解答】解：若在第二象限，
∴cosα＝﹣，
则＝＝＝＝＝2，
故答案为：2
7．【解答】解：方程5sinx＝4+2cos2x可化为5sinx＝4+2（1﹣2sin2x），
即4sin2x+5sinx﹣6＝0，
解得sinx＝，或sinx＝﹣2（不合题意，舍去）；
所以该方程的解集为{x|x＝arcsin+2kπ，或x＝π﹣arcsin+2kπ，k∈Z}．
故答案为：{x|x＝arcsin+2kπ，或x＝π﹣arcsin+2kπ，k∈Z}．
8．【解答】解：由，得2sinα＝，
∴，则tanα＝．
由tan＝＝1，解得tan＝（舍）或．
∴＝＝＝．
故答案为：．
9．【解答】解：根据题意知，f（x）＝sin（x），令x＝则，y＝≠0
∴①②错误；由三角函数的性质知③④正确；
故答案为③④．
10．【解答】解：7sin2B+3sin2C＝2sin2A+2sinAsinBsinC，
由正弦定理可得：7b2+3c2＝2a2+2bcsinA，
∴a2＝，又a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴＝b2+c2﹣2bccosA，
化为：2（sinA﹣2cosA）＝＝≥2＝2，
当且仅当b＝c时取等号．
即2sin（A﹣θ）≥2，其中tanθ＝2，sinθ＝，cosθ＝．
即sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，
∴sin（A﹣θ）＝1．
∴A﹣θ＝+2kπ，即A＝θ++2kπ，k∈N*．
∴sin（A+）＝sin（θ+++2kπ）＝cos（θ+）
＝（cosθ﹣sinθ）＝×（﹣）＝﹣．
∴＝cos（）＝sin（A+）＝．
故答案为：﹣．
二、选择题（每小题4分，共16分）
11．【解答】解：α是第三象限的角，则α∈（2kπ+π，2kπ+），k∈Z，
所以∈（kπ+，kπ+），k∈Z；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．
故选：B．
12．【解答】解：函数的反函数是y＝﹣cosx，x∈[0，π]，
故选：D．
13．【解答】解：将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，
∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，
﹣[cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣cosC，
∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
14．【解答】解：由函数f（x）＝cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，
得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
即函数f（x+1）一定为偶函数，
故选：D．
三、解答题（共44分）
15．【解答】解：（1）∵，∴平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α＝，
得2sinαcosα＝﹣1＝﹣，
得sinαcosα＝﹣．
（2）若α为第二象限的角，sinα＞0，cosα＜0，
则＝+＝＝＝﹣．
16．【解答】解：（1）由题意有：A＝2，T＝π，即ω＝＝2，
由当x＝时，函数f（x）取最大值，即2×+φ＝2k，解得φ＝2kπ，又0＜φ，所以φ＝，
即f（x）＝2sin（2x+），
令2kπ≤2x+，得：k，（k∈Z）
故函数f（x）的解析式为：f（x）＝2sin（2x+）．
函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，k]（k∈Z）．
（2）当，
则2x+∈[，]，
所以2sin（2x+）∈[1，2]，
故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
17．【解答】（本题满分为14分）
解：（1）由图知T＝12＝，∴ω＝，…（1分）
A+b＝5，b﹣A＝3，可得：A＝1，b＝4，…（3分）
∴f（t）＝sin（x+φ）+4，
代入（0，5），得φ＝+2kπ，
又0＜φ＜π，
∴φ＝…（5分）
即f（t）＝sin（t+）+4，…（6分）
（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，
由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）＝cost+4；
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）＝cos（t+m）+4；
两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）＝cos（t+m）+cost+8（t≥0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
依题意，有f（t+m）+f（t）＝cos（t+m）+cost+8≤9恒成立，
即cos （t+m）+cos t≤1恒成立，
展开有：（cos m+1）cost﹣sinmsint≤1恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∵（cos m+1）cos t﹣sin msin t＝Acos（t+?），
（其中，A＝，cos?＝；sin?＝）；
∴A＝≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
整理得到：cos m≤﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
依据余弦函数图象得：+2kπ≤m≤+2kπ，（k∈Z），
即12k+4≤m≤12+8，取k＝0得：4≤m≤8
∴m的最小值为4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
18．【解答】解：（1）∵在锐角△ABC中，，∴sinA＝，
∵bc?，
∴bc＝13，
∵△AEF外接圆的直径长为，
由正弦定理可得，＝＝，
∴EF＝3；
（2）在△ABC中，由余弦定理得，
BC2＝b2+c2﹣2bccosA
＝b2+c2﹣10≥2bc﹣10＝16，
当且仅当b＝c＝时取等号，
∴BC≥4；
BC的取值范围：[4，+）；
（3）设S△ABD＝x，则S△ADC＝6﹣x，
∵，
∴AB?AC＝，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴，，
∴，，
∵
＝
＝
＝﹣，
∴当x＝3时，S△EDF的最大值为，．
∴当x＝3时，三角形ABD与三角形ADC面积相等
∴D为BC的中点，
∴当D为BC的中点时，△DEF的面积最大，最大值为．△