2.3.2双曲线的简单几何性质(2)同步学案
文档属性
| 名称 | 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 152.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-05 09:34:20 | ||
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文档简介
高二数学 选修2—1 第二章 §2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
班级 姓名
学习目标
1．灵活掌握双曲线的定义;
2．灵活掌握双曲线的标准方程;
3．直线与双曲线的位置关系;
学习过程
课前准备：
1．直线与双曲线的位置关系判断：
2．点差法:
3．弦长公式
4. ________________________.
二、新课导学：
典型例题
例1、如果直线与双曲线
（1）没有公共点，求的取值范围. （2）只有一个公共点，求的取值范围.
（3）与右支有两个公共点，求的取值范围. （4）两支各有一个公共点，求的取值范围.
变式1：如果直线与双曲线（1）有两个公共点，求的取值范围.
（2）与左支有有两个公共点，求的取值范围.
例2、过点（8,1）的直线与双曲线相交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程
变式2：已知双曲线，过点（2,1）点作一直线交双曲线于两点，若为的中点.（1）求直线的方程（2）求弦的长
例3、设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点，且（为坐标原点）
（1）求此双曲线的方程；（2）求的长
三、总结提升：
※ 学习小结
1、直线与双曲线的交点问题与渐近线有关；
2、弦长公式、点差法。 课后作业
一、基础训练题
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2 C. D．1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为( )
A．2 B．3 C. D.
4．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
5．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为 ．
6．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
7．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程．
8．经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点．
(1)求直线l的方程； (2)求线段AB的长．
二、提高训练题
9．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)．
(1)求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；
(2)是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P?
10．(创新拓展)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A、B两点，且＝(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且·＝0，那么A、B、C、D四点是否
共圆？为什么？
选修2—1 第二章 §2.3.2双曲线的简单几何性质(2)参考答案
变式1：解：由，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.①
(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．
∴解得k＞或k＜－，
则k的取值范围为k＞ 或k＜－.
(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，故k的值为±1或±.
1、解析： 数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．
答案： B
2、解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y＝±x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝＝2.
答案： A
3、解析：依题意，2a＋2c＝2·2b，∴a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，即3c2－2ac－5a2＝0，
∴3e2－2e－5＝0，∴e＝或e＝－1(舍)．故选D.
答案： D
4、解析： ∵∠AOB＝120°?∠AOF＝60°?∠AFO＝30°?c＝2a，∴e＝＝2.
答案： 2
5、解析：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c＝4.
∵e＝＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2.
∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x，化为一般式为x±y＝0.
答案：(±4,0) x±y＝0
6、解析： 由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，通过图形可知，－≤k≤.
答案：
7、解 设与－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程为－＝λ，
则－＝λ，从而有λ＝，
所求双曲线的方程为－＝1.
8、解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，∴＝4＝k.
∴直线l的方程为y－2＝4(x－2)，即4x－y－6＝0.
(2)由得3x2－12x＋10＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝.
∴|AB|＝＝.
9、解：(1)设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
代入双曲线C的方程，整理得
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0(*)
①当2－k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．
②当2－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.此时只有一个公共点．
又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线．
∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点．
(2)假设以P为中点的弦AB存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，
则由根与系数的关系，得＝1，∴k＝1.
∴这样的弦存在，方程为y＝x＋1(－1≤x≤3)，即x－y＋1＝0(－1≤x≤3)．
10、解 (1)由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0. (*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，∴2－k2≠0.
且x1＋x2＝. ∵＝(＋)，∴N是AB的中点，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1， ∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)共圆．将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1，0)，B(3，4)．∵·＝0，∴CD垂直AB，
∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，
即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)
则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3，6)．
|CD|＝|x3－x4|＝＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，即A、B、C、D到M的距离相等，
∴A、B、C、D四点共圆．
班级 姓名
学习目标
1．灵活掌握双曲线的定义;
2．灵活掌握双曲线的标准方程;
3．直线与双曲线的位置关系;
学习过程
课前准备：
1．直线与双曲线的位置关系判断：
2．点差法:
3．弦长公式
4. ________________________.
二、新课导学：
典型例题
例1、如果直线与双曲线
（1）没有公共点，求的取值范围. （2）只有一个公共点，求的取值范围.
（3）与右支有两个公共点，求的取值范围. （4）两支各有一个公共点，求的取值范围.
变式1：如果直线与双曲线（1）有两个公共点，求的取值范围.
（2）与左支有有两个公共点，求的取值范围.
例2、过点（8,1）的直线与双曲线相交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程
变式2：已知双曲线，过点（2,1）点作一直线交双曲线于两点，若为的中点.（1）求直线的方程（2）求弦的长
例3、设双曲线的顶点是椭圆的焦点，该双曲线又与直线交于两点，且（为坐标原点）
（1）求此双曲线的方程；（2）求的长
三、总结提升：
※ 学习小结
1、直线与双曲线的交点问题与渐近线有关；
2、弦长公式、点差法。 课后作业
一、基础训练题
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2 C. D．1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为( )
A．2 B．3 C. D.
4．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
5．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为 ．
6．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
7．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程．
8．经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点．
(1)求直线l的方程； (2)求线段AB的长．
二、提高训练题
9．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)．
(1)求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C只有一个交点；
(2)是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P?
10．(创新拓展)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A、B两点，且＝(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且·＝0，那么A、B、C、D四点是否
共圆？为什么？
选修2—1 第二章 §2.3.2双曲线的简单几何性质(2)参考答案
变式1：解：由，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.①
(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．
∴解得k＞或k＜－，
则k的取值范围为k＞ 或k＜－.
(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，
解得k＝±，故k的值为±1或±.
1、解析： 数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．
答案： B
2、解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)、(－4,0)．渐近线方程为y＝±x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等．d＝＝2.
答案： A
3、解析：依题意，2a＋2c＝2·2b，∴a2＋2ac＋c2＝4(c2－a2)，即3c2－2ac－5a2＝0，
∴3e2－2e－5＝0，∴e＝或e＝－1(舍)．故选D.
答案： D
4、解析： ∵∠AOB＝120°?∠AOF＝60°?∠AFO＝30°?c＝2a，∴e＝＝2.
答案： 2
5、解析：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，∴c＝4.
∵e＝＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2.
∵焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±4,0)，渐近线方程为y＝±x，
即y＝±x，化为一般式为x±y＝0.
答案：(±4,0) x±y＝0
6、解析： 由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，通过图形可知，－≤k≤.
答案：
7、解 设与－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程为－＝λ，
则－＝λ，从而有λ＝，
所求双曲线的方程为－＝1.
8、解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，∴＝4＝k.
∴直线l的方程为y－2＝4(x－2)，即4x－y－6＝0.
(2)由得3x2－12x＋10＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝.
∴|AB|＝＝.
9、解：(1)设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
代入双曲线C的方程，整理得
(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0(*)
①当2－k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，此时只有一个交点．
②当2－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.此时只有一个公共点．
又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x＝1上，而x＝1为双曲线的一条切线．
∴当k不存在时，直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点．
(2)假设以P为中点的弦AB存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，
则由根与系数的关系，得＝1，∴k＝1.
∴这样的弦存在，方程为y＝x＋1(－1≤x≤3)，即x－y＋1＝0(－1≤x≤3)．
10、解 (1)由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0. (*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，∴2－k2≠0.
且x1＋x2＝. ∵＝(＋)，∴N是AB的中点，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1， ∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)共圆．将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1，0)，B(3，4)．∵·＝0，∴CD垂直AB，
∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，
即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)
则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3，6)．
|CD|＝|x3－x4|＝＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，即A、B、C、D到M的距离相等，
∴A、B、C、D四点共圆．