2.4.1抛物线及其标准方程 同步学案

高二数学 选修2—1 第二章 §2.4.1抛物线及其标准方程
班级 姓名
学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形．
学习过程
课前准备：
问题：到定点距离与到定直线距离之比是定值e的点的轨迹，当01时是 .此时自然想到，当e=1时轨迹是什么？
二、新课导学：
1．定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的 ；直线叫做抛物线的 ．
2．定点到定直线的距离为 ．
3．建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：
图形
方程
焦点坐标
准线方程
试试：
抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 ；
抛物线的焦点坐标是 ，准线方程是 ．
典型例题
例1、（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程．
变式1：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
⑴焦点坐标是(0,4)； ⑵准线方程是； ⑶焦点到准线的距离是．
变式2： 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
（1） （2）
例2、一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为，深度为，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
例3、已知动点的坐标满足，则动点的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.以上均不对
变式3：已知动点的坐标满足，则动点的轨迹是（ ）
A. 直线 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线
练习：(1)抛物线 上一点到焦点距离是，则点到准线的距离是 ,
点的横坐标是 ．
（2）抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的定义；
2．抛物线的标准方程、几何图形．
课后作业
一、基础训练题
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是 (　　)．
A．(2，0) B．(－2，0) C．(4，0) D．(－4，0)
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　)．
A．(8，8) B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8)
3．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)．
A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x
4．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)．
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
5．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)
A. B．－ C．4 D．－4
6．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
7．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.
8．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是y＝3； (2)过点P(－2，4)； (3)焦点到准线的距离为.
9．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
10．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
二、提高训练题
11．若抛物线y2＝x上一点P到其准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A. B. C. D.
12．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
13．(创新拓展)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且
(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)时，求点B的坐标．
选修2—1 第二章 §2.4.1抛物线及其标准方程参考答案
1、解析　依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8得＝2，故焦点坐
标为(－2，0).
答案　B
2、解析　设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8.
答案　C
3、解析　由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲
线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝
2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
答案　A
4、解析　已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛
物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
答案　D
5、解析：抛物线方程为x2＝y，其准线方程为y＝－，∴－＝1，∴a＝－.
答案　B
6、解析　由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
答案　6
7、解析　抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1.
答案　－1
8、解　(1)由准线方程为y＝3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.
(2)∵点P(－2，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，将点P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2；代入x2＝2py，得p＝1.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝2y.
(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝2x，y2＝
－2x，x2＝2y或x2＝－2y.
解　法一　设动点M(x，y)，
设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6.
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
法二　设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，
即＝|x＋3|，化简，得y2＝12x.
∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.
10、解：由抛物线定义，设焦点F，
则准线为x＝，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10，∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6.
∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
解析：由抛物线定义可得，P到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离，
即P点的横坐标为＝. 故P点的坐标为.
答案　B
12、解：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝. 又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
13、解　(1)设N(x，y)，由得点P为线段MN的中点，∴P(0，)，M(－x，0)，
∴＝(－x，－)，＝(1，－)．
由＝－x＋＝0，得y2＝4x.
即点N的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，
∵成等差数列，
∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝.
∵线段AD的中点为(，)，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)，
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝.
又kAD＝，∴·＝－1，
即＝－1.
∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1.
∵点B在抛物线上，∴B(1，2)或(1，－2)．