2.4.2抛物线的简单几何性质 同步学案

高二数学 选修2—1 第二章 §2.4.2抛物线的简单几何性质
班级 姓名
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
3．抛物线与直线的关系．
学习过程
一、课前准备：
复习：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．
二、新课导学：
新知：抛物线的几何性质
图形
标准方程
焦点
准线
顶点
对称轴
x轴
离心率
探究：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
这点到准线的距离为 ；焦点到准线的距离为 ；
抛物线方程 ；这点的坐标是 ；
此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．
典型例题
例1、已知点是抛物线上的一动点，求点到点（0,2）的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值。
变式1：若将点（0,2）改为点（3,2），求的最小值.
变式2：已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例2、求直线上的点到抛物线的距离最小值.
例3、斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长．
变式3：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的纵坐标为，则等于（ ）．
A． B． C． D．
小结：求过抛物线焦点的弦长：可利用抛物线的定义求解．
例4、已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为，当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
例5、过抛物线焦点的直线与它交于、两点，求弦的中点的轨迹方程.
例6、直线与抛物线相交于两点，求证：.
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ； 2．抛物线中的最值问题； 3．求抛物线的焦点弦长．
※ 知识拓展
抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．
其长为．
课后作业
一、基础训练题
1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)
A．x2＝16y　　　　B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
3．已知直线y＝kx－k和抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　)
A．直线和抛物线有一个公共点 B．直线和抛物线有两个公共点
C．直线和抛物线有一个或两个公共点 D．直线和抛物线可能没有公共点
4．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致为(　　)
5．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)
A. B．2 C. D．15
6．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．
7．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为_______．
8．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
9．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________．
10．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；
(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．
11．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
二、提高训练题
12．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是________．
13．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
14．已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.
(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．
选修2—1 第二章 §2.4.2抛物线的简单几何性质参考答案
1、解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：　D
解析：线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，
则焦点到直线AB的距离为1－＝.
答案：　A
3、解析：∵直线y＝kx－k过定点(1,0)，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
答案：　C
解析：　方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，
所以>>0.所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.
方法二：方程ax＋by2＝0中，将y换成－y，其结果不变，
即ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B、C，
又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.
答案：　D
5、解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝.
答案：　A
解析：设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点坐标为A(0,0)，B(a，a)，
而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
7、解析　∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线方程为x2＝±16y.
答案　x2＝±16y
8、解析　∵抛物线的焦点为F(1，0)，设A(，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4，得y0＝±2，∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2)．
答案　(1，2)或(1，－2)
9、解析　抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，
两式相减得，y12－y22＝4(x1－x2)，∴＝＝1，∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
答案　y＝x
10、解　(1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3，0)，
故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.
11、解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∵直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
12、解析　该等边三角形的高为.因而A点坐标为或.可设抛物线方
程为y2＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±.因而所求抛物线方程为y2＝±x.
答案　y2＝±x
13、解析：∵直线AF的斜率为－，∴∠PAF＝60°.
又∵|PA|＝|PF|，∴△PAF为正三角形．故|PF|＝|AP|＝2p＝8.
答案：8
14、解析：　(1)＋＝1；
(2)①若直线l的斜率不存在，
则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，∴|AB|＝4
又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.
∴直线l的斜率必存在．
②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，
∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得x1＋x2＝，x1x2＝1
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝
＝＝，
∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，
∴由＝6，解得k＝±.故所求直线l的方程y＝±(x－1)．