3.1 空间向量及其运算(1)同步学案
文档属性
| 名称 | 3.1 空间向量及其运算(1)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 260.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-05 14:37:36 | ||
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文档简介
高二数学 选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(1)
班级 姓名
学习目标
1、理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
2、掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程
1、具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记作 ； 具有 叫单位向量.
2、向量的加法和减法的运算法则
有 法则和 法则.
3、实数λ与向量的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
（1）＝ .
（2）当λ＞0时，与 ；
当λ＜0时，与 ；
当λ＝0时，＝ .
4、向量加法和数乘向量运算律：
交换律：＝ 结合律：＝ 数乘分配律：＝
5、空间向量的共线
（1）如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.
（2）空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，
对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件
是 ．
6、空间向量的共面
（1）共面向量： 同一平面的向量.
（2）空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
（1）存在 ，使
（2）对空间任意一点O，有
试一试：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，
若向量则P,A,B,C四点共面的条件是
※ 典型例题
例1、已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
（1）＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿；
（4）＿＿＿＿＿；
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
例2、化简下列各式：
（1）; （2） （3） （4）.
例3、化简：（1）5（）+4（）； （2）.
例4、如图，已知正方体，点，分别是上底面和侧面的中心．
求下列各式中，的值：
（1）；
（2）；
（3）
例5、已知，，若，求实数．
例6、如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使求证：E,F,G,H四点共面．
例7、如图，已知，，三点不共线，为平面外任一点，且平面中的小方格为单位正方形，求作点，使：
（1）；
（2）．
二、总结提升
※ 学习小结
化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
课后作业
一、基础训练题
1．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′顶点连结的向量中，与向量相等的向量有( )
A．0个 B．3个 C．6个 D．9个
2．判断下列命题中为真命题的是( )
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等
3．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，则＋＋为( )
A. B. C. D．0
4．已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A.＝＋ B.＝－－ C.与同向 D.与同向
5．下列命题是真命题的是( )
A．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
B．若非零向量a，b方向相反，则a与b是相反向量
C．若向量、满足||>||，则与同向，且>
D．若两个非零向量与满足＋＝0则、为相反向量
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③④
7．如图，在以长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量；
(3)试写出与相等的所有向量；
(4)试写出的相反向量．
二、提高训练题
8.如图所示，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c
9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c.试用a，b，c表示向量.
选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(1)参考答案
1、解析：与相等的向量有、、.
答案：B
2、解析：||＝||，故选项A对；选项B应为球面；选项C，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D，向量不相等但有可能模相等．
答案：A
3、解析：＋＋＝＋＝.
答案：A
4、解析：由条件可知，C在线段AB上，故D正确．
答案：D
5、解析：A错，应为＝；B错，只有向量a、b方向相反，模相等时，a，b才是相反向量；C错，||>||只能说明的长度大于的长度，但方向不定，且向量不能比较大小．只有D正确．
答案：D
6、解析：①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
答案：D
7、(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有、、、、、、、，共8个．
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有、及，共3个．
(4) 向量的相反向量为、、、，共4个．
8、解析： ＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
答案： A
9、解析： ＝(＋)＝(＋＋)
＝(－＋－－)
＝－＋
＝a－b＋c.
班级 姓名
学习目标
1、理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
2、掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习过程
1、具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记作 ； 具有 叫单位向量.
2、向量的加法和减法的运算法则
有 法则和 法则.
3、实数λ与向量的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
（1）＝ .
（2）当λ＞0时，与 ；
当λ＜0时，与 ；
当λ＝0时，＝ .
4、向量加法和数乘向量运算律：
交换律：＝ 结合律：＝ 数乘分配律：＝
5、空间向量的共线
（1）如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线.
（2）空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得
推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，
对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件
是 ．
6、空间向量的共面
（1）共面向量： 同一平面的向量.
（2）空间向量共面：
定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
（1）存在 ，使
（2）对空间任意一点O，有
试一试：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，
若向量则P,A,B,C四点共面的条件是
※ 典型例题
例1、已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
（1）＿＿＿＿＿；
（2）＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿；
（4）＿＿＿＿＿；
小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
例2、化简下列各式：
（1）; （2） （3） （4）.
例3、化简：（1）5（）+4（）； （2）.
例4、如图，已知正方体，点，分别是上底面和侧面的中心．
求下列各式中，的值：
（1）；
（2）；
（3）
例5、已知，，若，求实数．
例6、如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使求证：E,F,G,H四点共面．
例7、如图，已知，，三点不共线，为平面外任一点，且平面中的小方格为单位正方形，求作点，使：
（1）；
（2）．
二、总结提升
※ 学习小结
化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.
课后作业
一、基础训练题
1．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′顶点连结的向量中，与向量相等的向量有( )
A．0个 B．3个 C．6个 D．9个
2．判断下列命题中为真命题的是( )
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等
3．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，则＋＋为( )
A. B. C. D．0
4．已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A.＝＋ B.＝－－ C.与同向 D.与同向
5．下列命题是真命题的是( )
A．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
B．若非零向量a，b方向相反，则a与b是相反向量
C．若向量、满足||>||，则与同向，且>
D．若两个非零向量与满足＋＝0则、为相反向量
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③④
7．如图，在以长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量；
(3)试写出与相等的所有向量；
(4)试写出的相反向量．
二、提高训练题
8.如图所示，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c
9．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c.试用a，b，c表示向量.
选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(1)参考答案
1、解析：与相等的向量有、、.
答案：B
2、解析：||＝||，故选项A对；选项B应为球面；选项C，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D，向量不相等但有可能模相等．
答案：A
3、解析：＋＋＝＋＝.
答案：A
4、解析：由条件可知，C在线段AB上，故D正确．
答案：D
5、解析：A错，应为＝；B错，只有向量a、b方向相反，模相等时，a，b才是相反向量；C错，||>||只能说明的长度大于的长度，但方向不定，且向量不能比较大小．只有D正确．
答案：D
6、解析：①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
答案：D
7、(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有、、、、、、、，共8个．
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有、及，共3个．
(4) 向量的相反向量为、、、，共4个．
8、解析： ＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
答案： A
9、解析： ＝(＋)＝(＋＋)
＝(－＋－－)
＝－＋
＝a－b＋c.