3.1 空间向量及其运算(2)同步学案
文档属性
| 名称 | 3.1 空间向量及其运算(2)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 246.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-05 14:51:24 | ||
图片预览
文档简介
高二数学 选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(2)
班级 姓名
学习目标
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：什么是平面向量与的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 .
试试：
⑴ 范围: =0时, ;=π时,
⑵ 成立吗？
⑶ ，则称与互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
⑵ （选0还是）
⑶ 你能说出的几何意义吗？
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量，则．
（2） ．
（3） ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）
反思：
⑴ 吗？举例说明.
⑵ 若，则吗？举例说明.
⑶ 若，则吗？为什么？
※ 典型例题
例1、用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.求证：．
例2、如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值
例3、如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,,,
==60°,求的长.
三、总结提升
※ 学习小结
1.向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
课后作业
一、基础训练题
1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面．
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1 B．2 C．3 D．0
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为( )
A. B. C. D．0
3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量
4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC、BD、PB、PC、PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
5．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．m∥n B．m⊥n C．m，n既不平行也不垂直 D．以上三种情况都可能
6．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．已知向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝__________.
9．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝__________
11．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
12．已知正四面体OABC的棱长为1.求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)；
(3)|＋＋|.
二、提高训练题
13．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉等于( )
A. B. C．－ D．0
14．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝________，|－|＝________，与所成角为________．
15．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(2)参考答案
1、解析：对于①，若b＝0，则a，b共线，b，c共线，但a，c未必共线；对于②，a，b，c所在的直线可能异面，对于③必须要求b≠0，故选D.
答案：D
2、解析：由四点共面的充要条件知，x＋＋＝1，因此x＝.
答案：A
3、解析：根据题意易知，＝＝－，所以向量、、是共面向量．
答案：C
4、解析：由图分析可知(图略)，选项B、C、D中两向量的夹角均为90°，∴数量积都为0.
答案：A
5、解析：因为m·n＝m·(λa＋μ b)＝λm·a＋μ m·b＝0，所以m⊥n.
答案：B
6、解析：∵＋－2＝(－)＋(－)＝＋，
∴(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴||＝||.
答案：B
解析：当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，
由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.
答案：B
8、答案：a＋b－c
9、解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
答案：－2
10、解析：连接向量，·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2.
答案：a2
11、解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
12、解：(1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
(3)|＋＋|＝
＝＝.
13、解析：选D.·＝·(－)＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝||||cos －||||cos ＝0，
∴cos〈，〉＝0.
答案：D
14、解析：|＋|＝||＝2； ＝，
·＝2×2×cos 60°＝2，
故|－|2＝|－|2＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，
故|－|＝.
又因为＝＝(－)，
故·＝·(－)＝(·－·)＝0，
因为〈，〉∈[0°，180°]，
所以〈，〉＝90°.
答案：2 90°
15、解 取AC中点为G.
连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)，
∴与＋共线．
班级 姓名
学习目标
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．
学习过程
一、课前准备
复习1：什么是平面向量与的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：空间向量的数量积定义和性质
问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？
新知：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 .
试试：
⑴ 范围: =0时, ;=π时,
⑵ 成立吗？
⑶ ，则称与互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .
规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
反思：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
⑵ （选0还是）
⑶ 你能说出的几何意义吗？
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量，则．
（2） ．
（3） ＝ .
4) 空间向量数量积运算律：
（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）
反思：
⑴ 吗？举例说明.
⑵ 若，则吗？举例说明.
⑶ 若，则吗？为什么？
※ 典型例题
例1、用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
变式：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.求证：．
例2、如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值
例3、如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,,,
==60°,求的长.
三、总结提升
※ 学习小结
1.向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
课后作业
一、基础训练题
1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面．
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1 B．2 C．3 D．0
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为( )
A. B. C. D．0
3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量
4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC、BD、PB、PC、PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
5．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．m∥n B．m⊥n C．m，n既不平行也不垂直 D．以上三种情况都可能
6．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．已知向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝__________.
9．已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝__________
11．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
12．已知正四面体OABC的棱长为1.求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)；
(3)|＋＋|.
二、提高训练题
13．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉等于( )
A. B. C．－ D．0
14．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝________，|－|＝________，与所成角为________．
15．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(2)参考答案
1、解析：对于①，若b＝0，则a，b共线，b，c共线，但a，c未必共线；对于②，a，b，c所在的直线可能异面，对于③必须要求b≠0，故选D.
答案：D
2、解析：由四点共面的充要条件知，x＋＋＝1，因此x＝.
答案：A
3、解析：根据题意易知，＝＝－，所以向量、、是共面向量．
答案：C
4、解析：由图分析可知(图略)，选项B、C、D中两向量的夹角均为90°，∴数量积都为0.
答案：A
5、解析：因为m·n＝m·(λa＋μ b)＝λm·a＋μ m·b＝0，所以m⊥n.
答案：B
6、解析：∵＋－2＝(－)＋(－)＝＋，
∴(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴||＝||.
答案：B
解析：当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，
由c·a＝0，c·b＝0，不能够推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.
答案：B
8、答案：a＋b－c
9、解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
答案：－2
10、解析：连接向量，·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2.
答案：a2
11、解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
12、解：(1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
(3)|＋＋|＝
＝＝.
13、解析：选D.·＝·(－)＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝||||cos －||||cos ＝0，
∴cos〈，〉＝0.
答案：D
14、解析：|＋|＝||＝2； ＝，
·＝2×2×cos 60°＝2，
故|－|2＝|－|2＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，
故|－|＝.
又因为＝＝(－)，
故·＝·(－)＝(·－·)＝0，
因为〈，〉∈[0°，180°]，
所以〈，〉＝90°.
答案：2 90°
15、解 取AC中点为G.
连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，共面，
∴＝＋＝＋＝(＋)，
∴与＋共线．