3.2立体几何中的向量方法(1)同步学案

高二数学 选修2—1 第三章 §3.2立体几何中的向量方法(1)
班级 姓名
学习目标
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
学习过程
一、课前准备
复习：用向量如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面
问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
新知：
（1）点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.
（2）直线：
① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
② 对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程.
（3）平面：
① 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得.
② 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
（4）平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那么向量叫做平面的法向量.
试一试： .
1、如果都是平面的法向量，则的关系 .
2、向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .
反思：
1、一个平面的法向量是唯一的吗？ 2、平面的法向量可以是零向量吗？
（5）向量表示平行、垂直关系：
设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则
①∥∥；
②∥；
③∥∥；
④∥；
⑤
※ 典型例题
例1、已知两点,求直线AB与坐标平面的交点.
变式1：已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.

小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.
例2、在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量.
小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.
求平面的法向量步骤：
（1）设平面的法向量为；
（2）找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；
（3）根据法向量的定义建立关于的方程组；
（4）解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
※ 动手试试
练1. 设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：
⑴ ； ⑵ .
练2. 设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：
⑴ ； ⑵ .
三、总结提升
※ 学习小结
1、空间点，直线和平面的向量表示方法
2、平面的法向量求法和性质.
课后作业
一、基础训练题
1．直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α　　　 　 B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1)
3．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)
A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(2,1，－1)，v＝(3,2,8)，则(　　)
A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交不垂直 D．以上均不正确
5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4 C．4 D．－2
6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．
7．已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，则平面ABC的一个法向量为__________．
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
9．如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：
(1)AD1∥平面BDC1； (2)A1C⊥平面BDC1.
二、提高训练题
11．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)．
A．AC B．BD C．A1D D．A1A
12．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中在平面α内的是(　　)．
A．(1，－1，1) B．(1，3，)
C．(1，－3，) D．(－1，3，－)
13．若A(0，2，)，B(1，－1，)，C(－2，1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
选修2—1第三章 §3.2立体几何中的向量方法(1)参考答案
1、解析：∵a·u＝－3＋4－1＝0，
∴a⊥u，∴l∥α或l?α.
答案　D
2、答案　A
3、答案　D
4、解析：∵u·v＝6＋2－8＝0，∴u⊥v. 故α⊥β.
答案　B
5、解析：因为α∥β，所以它们的法向量必共线，即＝＝，∴k＝4，故选C.
答案　C
6、解析　∵l∥α，∴l的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y，2)垂直，∴2×1－8×y
＋2＝0，∴y＝.
答案　
7、解析：设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
由题意可得：＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
由
得
令x＝1，得y＝z＝1.∴n＝(1,1,1)．
答案：(1,1,1)(答案不唯一)
8、解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，
·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．
答案：①②③
9、证明　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)
∵AP＝2PA1，
∴＝2＝，即＝(0，0，2)＝(0，0，)，
∴P点坐标为(3，0，)．
同理可得Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，)．
∴＝(－3，2，)＝，∴∥，
又∵R?PQ，∴PQ∥RS.
10、证明：
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0，1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，
∴＝(－1,0,1)，
＝(－1,1，－1)．
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的法向量，
则n⊥，n⊥.
∴
∴
令x＝1，则n＝(1，－1,1)．
(1)n·＝(1，－1,1)·(－1,0,1)＝0，知n⊥.
又AD1?平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.
(2)∵n＝(1，－1,1)，＝(－1,1，－1)，
知＝－n，即n∥.
∴A1C⊥平面BDC1.
11、解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱
长为1.则
A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，
A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E(，，1)，
∴＝(－，，1)，
＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，0)，
＝(0，－1，－1)，＝(0，0，－1)
∵·＝(－1)×(－)＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD
答案　B
12、解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即
·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1，0，1)，则·n
＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，
－4，)·(3，1，2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
答案　B
13、解析　＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)，
由得解得
则x∶y∶z＝y∶y∶(－y)＝2∶3∶(－4)．
答案　2∶3∶(－4)