3.1 空间向量及其运算(3) 同步学案

高二数学 选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(3)
班级 姓名
学习目标
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
学习过程
一、课前准备
复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解.
复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的 ，即＝ .
二、新课导学
1、空间向量基本定理：
定理：如果三个向量不共面，对空间任一向量，存在有序实数组，使得．把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．记住：空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
2、空间向量的正交分解及其坐标表示
（1）单位正交基底
三个有公共起点O且＿＿＿＿＿＿＿＿的单位向量，，称为单位正交基底．
（2）空间直角坐标系
以，，的公共起点O为原点，分别以，，的方向为x轴,y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz．
（3）空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原来O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝把称作向量在单位正交基，，下的坐标，记作＿＿＿ ＿＿．
3、空间向量的数量积运算：设，
（1）数量积：·||||
（2）向量的模（长度）：因为，所以||＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（3）向量的垂直：当，为非零向量时，＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（4）向量的平行：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（5）向量夹角： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
4、空间两点间的距离：已知两点坐标，，则
（1），两点的中点坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（2），两点间的距离为： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
※ 典型例题
例1、如图，M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用
表示和.
变式1、已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量：（1）； （2）．
例2、如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．
三、总结提升
※ 学习小结
1.向量的数量积的定义和几何意义.
2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.
课后作业
一、基础训练题
1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是(　　)
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　)
A．0 B．6 C．－6 D．±6
3．给出下列命题：①对空间任意两个向量a，b(b≠0)，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面；④对于非零向量a，b，c，则(a·b)c＝a(b·c)一定成立．其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝(　　)
A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－
5．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则C的坐标是(　　)
A. B. C. D.
6．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件．
7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．
8．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量，z＝________.
9．已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x,2，－4)，c＝(－1，y,3)，若它们分别两两垂直，则x＝________，y＝________，z＝________.
10．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是________．
11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1.5，则的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________．
12．已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．求
(1)a·(b＋c)；(2)4a－b＋2c.
二、提高训练题
13．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于(　　)
A．(，，－3) B．(，，－3) C．(－，－，－3) D．(，－，－3)
14．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．
15．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,0，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ＝__________.
16．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高．
选修2—1 第三章 §3.1 空间向量及其运算(3)参考答案
1、解析　若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
答案　D
2、解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.
答案　B
3、解析：选A.①错，结果应改为a＝λb；②错，当a⊥b时，也有a·b＝0；③正确；④错．
4、解析　因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝，所以＝6－λ，
解得λ＝－2或.
答案　C
5、解析　设点C坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．
又＝(－3，－2，－4)，＝，
∴x＝－，y＝－，z＝－.
答案　A
6、解析　{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，
但反之不成立，故p是q的充分不必要条件．
答案　充分不必要
7、解析　因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.
答案　7
8、解析：与a共线，∴z＝(2λ，－λ，2λ)．
又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，
∴λ＝－2，∴z＝(－4,2，－4)．
答案：(－4,2，－4)
9、解析：∵a⊥b，
∴x－4－4z＝0.
∵a⊥c，
∴－1＋(－2)y＋3z＝0.
∵b⊥c，
∴－x＋2y－12＝0，
∴x＝－64，y＝－26，z＝－17.
答案：－64　－26　－17
10、解析　∵＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝－，
又0°≤〈，〉≤180°，∴θ＝〈，〉＝120°.
答案　120°
11、解析：根据已建立的空间直角坐标系知A(0,0,0)，C(2,2,0)，C1(2,2,1.5)，D(0,2,0)，则的坐标为(0,2,0)，的坐标为(2,2,1.5)，的坐标为(2,2,0)．
答案：(0,2,0)　(2,2,1.5)　(2,2,0)
12、解　(1)∵b＋c＝(1，0，5)，
∴a·(b＋c)＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21.
(2)4a－b＋2c＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4)
＝(3，－8，17)．
13、解析　因为⊥，所以·＝0，
即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4.
因为BP⊥平面ABC，
所以⊥，且⊥，
即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，
且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.
解得x＝，y＝－，
于是＝(，－，－3)．
答案　D
14、解析　因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则
∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
答案　0
15、解析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，
∴解得λ＝10.
答案：10
16、解　(1)由已知得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，
∴||＝＝，||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
cos〈，〉＝＝＝，
sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)设AB边上的高为CD，则||＝＝3.