选修2-1 第一章《常用逻辑用语》全章复习学案

高二上学期理科数学复习学案(2) 选修2-1 常用逻辑用语
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知识清单
一、四种命题的形式：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
二、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)
①、原命题与逆否命题同真同假。
②、原命题与否命题、逆命题的真假没有关系。
三、逻辑联结词
逻辑联结词：“或”“且”“非”
简单命题：不含逻辑联结词的命题
复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题。有三种形式：（读作“”）、（读作“”）、（读作“非”）
四、复合命题的真假
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
五、全称命题与特称命题
1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“”表示。
2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为：
3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“”表示。
4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为：
六、全称命题与特称命题的否定
1、命题的否定和命题的否命题的区别
命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定。
命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定。
2、全称命题的否定
全称命题： 全称命题的否定（）：
特称命题 特称命题的否定
所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
七、常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有（）个
小于
不小于
至多有个
至少有（）个
对所有，
成立
存在某，
不成立
或
且
对任何，
不成立
存在某，
成立
且
或
八、充分必要性
如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p?q.
典型例题分析
题型一、四种命题及其关系
例1、判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
题型二、含逻辑联结词的命题
例2、分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“?p”形式的命题的真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直；
(3)p：π是有理数，q：π是无理数．
例3、已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；q：不等式ax2－ax＋1＞0对?x∈R恒成立，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．
题型三、全称、特称命题
例4、写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)?x∈R，x2＋x＋1>0；
(2)?x∈Q， x2＋x＋1是有理数；
(3)?α、β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(4)?x，y∈Z，使3x－2y≠10.
题型四、充分条件、必要条件的判定
例5、(1)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则(　 　)
A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件
D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
(2)已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的(　　)
A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
(3)“a＞b”是“2＞ab”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(4)函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上为单调函数的充分条件是____ ____．
专题检测
1．有下列四个命题，其中真命题是(　　)
A．?n∈R，n2≥n B．?n∈R，?m∈R，m·n＝m
C．?n∈R，?m∈R，m2＜n D．?n∈R，n2＜n
2．已知向量a，b，则“a∥b”是“a＋b＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题p：“x＞3”是“x2＞9”的充要条件，命题q：“＞”是“a＞b”的充要条件，则(　　)
A．“p或q”为真 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p，q均为假
4．下列有关命题的说法正确的是(　　)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1＜0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
5．命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
6．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是__________．
7．命题p：?α，sin α＞1是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否命题﹁p：________________，它是________命题(填“真”或“假”)．
8．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；
③“菱形的对角线垂直”的逆命题；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________．
9．设p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
10．(选做)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
高二上学期理科数学复习学案(2) 选修2-1常用逻辑用语参考答案
1、解析：对于选项A，令n＝即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.
答案：B
2、解析：必要性：a＋b＝0?a＝－b，从而有a∥b；充分性：当a∥b时，可以取a＝2b，从而a＋b＝3b，当b≠0时，a＋b≠0.综上，“a∥b”是“a＋b＝0”的必要不充分条件．
答案：B
3、解析：由x＞3能够得出x2＞9，反之不成立，故命题p是假命题；由＞能够推出a＞b，反之，因为＞0，所以由a＞b能推出＞成立，故命题q是真命题．因此选A.
答案：A
4、解析：中原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错；C中命题的否定应为“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错；在D中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，因此D正确．
答案：D
5、解析：命题“?x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.
答案：C
6、答案：圆的切线到圆心的距离等于半径
7、答案：特称命题　假　?α，sin α≤1　真
8、解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，
∴是真命题．
②否命题：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题．
③逆命题：“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为0”是真命题．
答案：①②④
9、解：若p真，则由指数函数的单调性知0＜a＜1.
若q真，则得a＞.
∴p假，则a≤0，或a≥1；q假，则a≤.
又p∧q为假，p∨q为真，∴p和q有且仅有一个正确，
①当p真q假时，0＜a≤；
②当p假q真时，a≥1.
综上，a的取值范围是∪[1，＋∞)．
10、解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)·(x－a)＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3.
由得2＜x≤3，
即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
(2)法一：﹁p是﹁q的充分不必要条件，
即﹁p?﹁q，且﹁q ﹁p，
设A＝{x|﹁p}，B＝{x|﹁q}，则AB.
又A＝{x|﹁p}＝{x|x≤a或x≥3a}，
B＝{x|﹁q}＝{x≤2或x＞3}，
则0＜a≤2，且3a＞3，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2.
法二：∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，
∴﹁p?﹁q，且﹁q ﹁p，
与它等价的命题是q?p且p q.
令M＝{x|p}，N＝{x|q}，则NM，
结合(1)在数轴上表示不等式如图，
从而，
∴1＜a≤2，
∴实数a的取值范围是(1,2]．