选修2-1第二章《 圆锥曲线》全章复习学案

高二上学期理科数学复习学案(5) 选修2-1 圆锥曲线

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知识清单
一、椭圆的定义及几何性质
椭圆的定义
平面内到两定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
重要结论
（1）设M为椭圆上任一点，则；（2）
标准方程
图形
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴长 长轴长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
（e大则扁，e小则圆）
方程为椭圆；
以为端点的线段。
无轨迹；
二、双曲线的定义及其几何性质
双曲线的定义
平面内到两个定点、的距离之差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹，叫做双曲线。
重要结论
（1）设M为双曲线上任一点，则；（2）。
标准方程
图形
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴长 实轴长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
（e大开口越大）
渐近线
若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
三、抛物线的定义及其几何性质
定义
平面内到一定点的距离与到一定直线的距离相等（）的点的轨迹叫做抛物线。
的几何意义
定点到定直线的距离——焦准距。（p大开口越大）
方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
(0，0)
离心率
焦半径
焦点弦长公式
弦长公式：，
一、曲线与方程
典型例题分析
例1、已知平面上有两定点A、B，|AB|=2a，平面上一动点M到A、B两点距离之比为2：1，求动点M的轨迹方程.
例2、已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x－3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹.
二、圆锥曲线的标准方程与几何性质
例3、求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)a=，c=1的椭圆;(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线.
例4、设椭圆＋y2＝1(m＞0)的两个焦点分别是F1、F2，M是椭圆上任意一点，△F1MF2的周长为2＋2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的y轴负半轴上的顶点B及椭圆右焦点F2作一直线交椭圆于另一点N，求△F1BN的面积．
例5、若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的坐标及抛物线方程.
例6、双曲线的两个焦点为F1、F2，点P是双曲线上的点，若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离.
例7、已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，
求证：（1）是否为定值; （2）; （3）为定值，其值为．
三、直线与圆锥曲线的关系
例8、当k为何值时，直线y=kx+k－2与抛物线y2=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
例9、已知直线y=ax+1与双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，，试问当a为何值时，以AB为直径的圆过原点.
例10、过点的直线与椭圆相交，求被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.
例11、斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程．
专题检测
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是 (　　)．
A．(0，1) B．(1，0) C．(0，) D．(，0)
2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为(　　)．
A．2 B．3 C．5 D．7
3．双曲线－＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(0，－)，(0，)C．(－4,0)，(4,0) D．(－5,0)，(5,0)
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A．2 B. C. D.
5．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
6．若抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标为(　　)
A．(9,6) B．(6,9) C．(±6,9) D．(9，±6)
7．设F1和F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积是2，则b的值为(　　)
A. B. C．2 D.
8．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)
A．y2＝x B．y2＝x C．x2＝－y D．x2＝－y
9．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 (　　)．
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0 C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
10．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是(　　)．
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D．以上都不对
11．已知椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为 (　　)．
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
12．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　)．
A．10 B．20 C．2 D．4
13．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 (　　)．
A．2 B. C. D.
14．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)．
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
15．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于(　　)．
A. B．2 C. D．3
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)．
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
选择题答案填在此处：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
17．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．
18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
19．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.
20．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则它的长半轴长为________．
21．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
22．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
23．动直线y＝a与抛物线y2＝x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________．
24．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
25．若一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则该动圆必过点________．
26．双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
27．双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
28．已知抛物线y2＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．
29．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2的面积．
30．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，
(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．
31．已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(，)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．

32．已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
33．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．
(1)求a的取值范围；(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
34．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．
高二上学期理科数学复习学案(5) 选修2-1 圆锥曲线参考答案
1、解析　将抛物线方程变为x2＝2×y，知p＝，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它
的焦点坐标为(0，)．
答案　C
2、解析　点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D.
答案　D
3、解析：双曲线焦点在x轴上，且c＝＝5，所以焦点为(±5,0)．
答案　D
4、解析：双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，故是等轴双曲线，离心率e＝.
答案　C
5、解析：由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c＝1，
又e＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.
故所求的椭圆方程为＋＝1
答案　A
6、解析：设P(x0，y0)，则x0－(－1)＝10，即x0＝9，代入抛物线方程，得y＝36，即y0＝±6.
答案　D
7、解析：由
得|PF1|·|PF2|＝2b2.
因此，S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝2.故b＝.
答案　A
8、解析：如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p·40，即2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
其方程不同主要是因为讨论的焦点不同．
答案　C
9、解析　因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，
所以圆的半径r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D.
答案　D
10、解析　当顶点为(±4，0)时，a＝4，
c＝8，b＝4，－＝1；
当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，
b＝3， －＝1.
答案　C
11、解析　双曲线－＝1中a12＝3，b12＝2，则c1＝＝，故焦点坐标为(－，
0)，(，0)，故所求椭圆＋＝1(a>b>0)的c＝，又椭圆的离心率e＝＝，则a
＝5，a2＝25，b2＝a2－c2＝20，故椭圆的标准方程为＋＝1.
答案　B
12、解析　|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|B F2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a
＝4.
答案　D
13、解析　双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·(－) ＝－1，故＝1，
所以＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.故选C.
答案　C
14、解析　y2＝ax的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－)，令x＝
0得y＝－.∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案　B
15、解析　依题意kAB＝＝－1，
而y2－y1＝2(x22－x12)，得
x2＋x1＝－，且(，)
在直线y＝x＋m上，即＝＋m，
y2＋y1＝x2＋x1＋2m，
∴2(x22＋x12)＝x2＋x1＋2m，
2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，
2m＝3，m＝.
答案　A
16、解析　圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根
据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，得a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是
－＝1.
答案　A
17、解析　依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双
曲线的标准方程为－＝1.
答案　－＝1
18、解析　∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴，
解得|PF1||PF2|＝18.∴△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝×18＝9.
答案　9
19、解析　∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得
＝5.解得p＝4.
答案　4
20、解析　当0＋＝1，e2＝＝1－m＝，
m＝，a2＝＝4，a＝2；
当m>1时，＋＝1，a＝1.应填1或2.
答案　1或2
21、解析　由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝
＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，因此所求双曲线的方程是－＝1.
答案　－＝1
22、解析　由题意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
|PF1|＝·2c，
从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(＋1)，
所以e＝＝＝－1.
答案　－1
23、解析：由，解得A(2a2，a)，设M的坐标为(x，y)，
则，∴x＝y2，∴y2＝4x.
答案：y2＝4x
24、解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，
如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
答案：
25、解析：因为直线x＋2＝0为抛物线y2＝8x的准线，又动圆恒与直线x＋2＝0相切，
所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离．
故由抛物线的定义可知，所求定点为抛物线的焦点(2,0)．
答案：(2,0)
26、解　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
∴＝，解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
27、解　由共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，可设椭圆方程为＋＝1；
双曲线方程为－＝1，点P(3，4)在椭圆上，＋＝1，a2＝40，
双曲线的过点P(3，4)的渐近线为
y＝x，即4＝×3，b2＝16.
所以椭圆方程为＋＝1；
双曲线方程为－＝1.
28、解　由题意知直线l的斜率存在，
设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
解方程组
消去x得ky2－2y＋4＝0，
Δ＝4－16k>0?k<(k≠0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝，
?x1·x2＝(y1·y2)2＝
OM⊥ON?kOM·kON＝－1，
∴x1·x2＋y1·y2＝0，
∴＋＝0，解得k＝－1.
所以所求直线方程为y＝－x＋2，
即x＋y－2＝0.
29、解　(1)易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1，0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
30、解　(1)由得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0
由根与系数的关系得
x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
|AB|＝
＝＝.
由|AB|＝3，
即＝3?m＝－4.
(2)设P(a，0)，P到直线AB的距离为d，
则d＝＝，
又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，
＝?|a－2|＝3?a＝5
或a＝－1，
故点P的坐标为(5，0)和(－1，0)．
31、解　若p真，则有9－m>2m>0，
即00，
且e2＝1＋＝1＋∈(，2)，
即若p、q中有且只有一个为真命题，
则p、q一真一假．
①若p真、q假，
则0②若p假、q真，
则m≥3或m≤0，且即3≤m<5.
故所求范围为：032、解　设P(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝
·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝
－8x.
33、解　(1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
34、解　(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，
圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.
由题意得或
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝2>4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，
且|MF|＝＝2.
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝.
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为