选修2-1 第三章《 空间向量与立体几何》全章复习学案
文档属性
| 名称 | 选修2-1 第三章《 空间向量与立体几何》全章复习学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-05 16:05:56 | ||
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文档简介
高二上学期理科数学复习学案(6) 选修2-1空间向量与立体几何
班级 姓名
知识清单
1．空间直角坐标系：
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫
单位正交基底，用表示；在空间选定一点和一个单位
正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向
建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立
了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量基本定理（三维）：设为空间中不共面的三个向量，则对于空间中的任一向量，都 可以用表示，且表示法唯一。即：（x、y、z唯一）。叫基向量。其中，（）叫做在基底下的坐标。在不同基底下的坐标是不一样的，在单位正交基底下的坐标是最常用的坐标。为两两垂直的单位向量。
4．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则， ，
， ，
★ a=kb（a与b为非零向量）
★。
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
5．模长公式：若，，
则， ．
6．夹角公式：．
7．两点间的距离公式：若，，则.
8．平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（1）设出平面的法向量为；
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；
（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组；
（4）解方程组，取其中一个解，即得法向量。
9．向量的共线、共面定理
(1)共线向量定理：
①对空间任意两个向量，∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使；
②点O与AB不共线，则(x+y=1)是P、A、B三点共线的充要条件.
共面向量定理：
①如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使；②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）
题型一 证线线平行
（一） 综合法
1）三角形的中位线定理；
2）平行四边形的对边平行；
3）平行线截线段成比例定理的逆定理；
4）公理4——平行公理； a∥b，b∥c， a∥c
5）线面平行的性质定理； 线面平行线线平行 a∥α，aβ，β∩α=b， a∥b
6）面面平行的性质定理； 面面平行线线平行 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，a∥b
7）线面垂直的性质定理。 线面垂直线线平行 a⊥α，b⊥α，a∥b
（二） 向量法
证两直线的方向向量平行。
题型二 证线面平行
（一） 综合法
1）线面平行的判定定理； 线线平行线面平行 a∥b，aα，bα，a∥α
2）面面平行线面平行。 面面平行线面平行 α∥β，aα，a∥β
（二） 向量法
（1）证直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行；
（2）证直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线在平面外。
（3）证直线的方向向量可以用平面内两不共线的向量表示。
平面平行定理：已知直线平面，，且C、D、E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
题型三 证面面平行
（一） 综合法
1）线面平行的判定定理 线线平行线面平行
2）面面平行的性质定理 面面平行线面平行
（二） 向量法
用向量证两平面平行的方法：不重合的两个平面，的法向量分别为，，则。
题型四 证线线垂直
（一） 综合法
（1）勾股定理的逆定理；
（2）三角形的角的计算（如：求出另两角之和为90度。）；
（3）求解异面直线所成的角；
（4）线面垂直的定义 线面垂直线线垂直 a⊥α，bα，a⊥b
（5）两平行直线的一条直线垂直于一直线，则另一条也垂直于该直线。a∥b，a⊥c，b⊥c
（二）向量法
证两直线的方向向量的数量积为0.
题型五 证线面垂直
（一） 综合法
（1）直线与平面垂直的判定定理 线线垂直线面垂直
a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=O，a⊥α
（2）直线与平面垂直的判定定理 线面垂直线面垂直 a⊥α，b∥a，b⊥α
（3）面面垂直的性质定理。面面垂直线面垂直 α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，a⊥β
（二）向量法
（1）证直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的数量积为0；
（2）证直线的方向向量与平面的法向量平行。 ※．
题型六 证面面垂直
（一） 综合法
（1）定义----两平面所成二面角为直角
（2）面面垂直的判定定理 线面垂直面面垂直 a⊥α，aβ，β⊥α
（二）向量法
（1）证两平面的法向量垂直。不重合的两个平面，的法向量分别为，，．
（2）证一平面内一直线的方向向量与另一平面垂直。
题型七 求异面直线的夹角（范围0°＜θ≤90°）
（一） 综合法
通过平移一条或两条线化归为相交直线所成的角是关键。 一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法
设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．
题型八 求直线与平面所成的角（范围0°≤θ≤90°）
（一） 综合法
过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,找射影是产生线面角的关键. 一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法
设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有
题型九 求二面角（范围0°≤θ≤180°）
（一） 综合法
通过观察或作出垂直于二面角棱的两条线，画出或找出平面角是关键。（二面角的棱的垂面）。一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法
（1）若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角（如图（a）所示）．
（2）设、是二面角的两个角α、β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）．
图（b）
二面角的大小为 二面角的大小为
友情提醒：解题时一定要观察所求的二面角是锐角还是钝角.
典型例题分析
题型一、空间向量的线性运算
例1、在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AO的中点，则＝________(用a，b，c表示)
题型二、共线、共面定理的运用
例2、如图已知?ABCD，从平面AC外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k，求证：
(1)四点E，F，G，H共面；
(2)∥.
题型三、空间向量的坐标运算
例3、如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．
题型四、利用向量证明平行问题
例4、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．
求证MN∥平面A1BD.
题型五、利用向量证明垂直问题
例5、如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
题型六、利用向量求空间角与距离（异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角、空间中的距离）
例6、如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD=1，E、F分别是线段PA、CD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
(3)求EF与平面BDE所成角的正弦值；
(4)求二面角E-BD-P的余弦值；
(5)求P到平面BDE的距离。
专题检测
一、选择题
1．已知a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则 ( )．
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
2．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于 ( )．
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
3．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于 ( )．
A. B．－ C．± D．1
4．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是 ( )．
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
5．空间直角坐标系中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 ( )．
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
6．已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则下列结论正确的是 ( )．
A．a·b＝b·c B．|a|＝|b＋c|
C．|a＋b－2c|＝5 D．a＋c＝b
7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是 ( )．
A. B．4 C．3 D．2
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )．
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．向量与的夹角为60°
9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为 ( )．
A. B. C. D.
10．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 ( )．
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
二、填空题
11．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝________．
12．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
13．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在a上，向量b1在b上，a1＝(1，1，1)，b1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．
14．已知四面体顶点A(2，3，1)、B(4，1，－2)、C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为______．
选择题、填空题答案填在此处：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
11、 12、 13、 14、
15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)证明：AC⊥BC1；
(2)求二面角C1-AB-C的余弦值大小．
16．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
17.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．
18.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
19.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
20．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
高二上学期理科数学复习学案(6) 选修2-1空间向量与立体几何参考答案
1、解析 ∵a＝(2x，1，3)与b＝(1，－2y，9)共线，故有＝＝，∴x＝，y＝－.
答案 C
2、解析 a＝(3，2，－1)，b＝(1，－1，2)，∴5a·3b＝15a·b＝－15.
答案 A
3、解析 由a·b＝0及(3a＋2b)·(λa－b)＝0，得3λa2＝2b2，又|a|＝2，|b|＝3，所以λ＝.
答案 A
4、解析 不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝(2a)＋(－2)(a－b)，三个向量
共面：B中，b＋2a＝(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三
个向量共面；只有C中的三个向量不共面．
答案 C
5、解析 ∵＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，又∵＝－2∴∥，即AB∥CD.
答案 A
6、解析 对于A：a·b＝2×2－3×0＋1×3＝7，b·c＝2×0＋0×0＋3×2＝6故A错．
对于B：|a|＝＝，|b＋c|＝＝，故B错．
对于C：a＋b－2c＝(4，－3，0)．∴|a＋b－2c|＝5.故C正确．
答案 C
7、解析 如图所示，以BC边上的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，则PD的长即为所求，由A(0，0，0)，P(0，0，8)，D(0，4，0)，
则||＝＝4.
答案 B
解析 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)．＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，1)，＝(0，－1，1)，＝(－1，－1，0)，＝(1，0，1)．对于选项A.由＝知结论正确；对于选项B，由·＝(－1，1，1)·(－1，－1，0)＝0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由·＝(－1，1，1)·(－1，0，－1)＝0知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝－，知结论不正确．
答案 D
9、解析 以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、
y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝
AC＝2，则＝(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，
＝(0，－1，2)，所以·＝0，所以QP与AM所成角为.
答案 D
解析 设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，可得：x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－，
故当λ＝时，·取最小值，此时Q(，，)，故选C.
答案 C
11、解析 因为a－2b＝(8，－5，13，)，所以|a－2b|＝＝.
答案
12、解析 ·e＝(x，y，z)·(1，1，1)＝x＋y＋z＝0.
答案 x＋y＋z＝0
13、解析 由题意，cos θ＝|cos〈a1，b1〉|＝＝＝.
答案
14、解析 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)则即∴?
令x＝1，则n＝(1，2，－)，＝(－7，－7，7)，
故所求距离为＝＝11.
答案 11
15、解 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，
BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C(0，0，0)，
A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．
(1)证明 ＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，∴·＝0.故AC⊥BC1.
(2)平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一
个法向量为n＝(x，y，z)，＝(－3，0，4)，＝(－3，4，0)，
由得
令x＝4，则y＝3，z＝3.n＝(4，3，3)，故cos〈m，n〉＝＝.
即二面角C1－AB－C的余弦值为.
16、解 a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，
b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．
(1)cos θ＝＝＝－，∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
17、解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)．
∵AM⊥PD，PA＝AD，∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,0)．
设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥可得，令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sin α＝＝.
∴cos α＝，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为.
18、解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又因为PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
又因为AD∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.
(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)，
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，〈m，n〉等于二面角A－PB－C的平面角，cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值为－.
19、解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，、、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
则A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
所以＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，·＝0，所以，PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
＝(－1,1,0)，＝(1，－1，－1)，所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(3)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，
由，得，即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
得平面PCD的一个法向量为
n＝(1,1,1)．又＝(1,1,0)，从而点A到平面PCD的距离d＝＝＝.
20、(1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系，
设A1(a，0，0)，则C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，
A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G(，1，0)．
∴＝(0，2，2)，＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，
∴·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0.
∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.
又AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面ABD.
(2)证明 ∵＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，0，0)，＝(0，1，－1)，
∴∥，∥，∴GF∥AB，EF∥BD.
又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，∴平面EGF∥平面ABD.
(3)解 由(2)知平面EGF与平面ABD的距离即为点D到平面EGF的距离
由(1)(2)知平面EGF的法向量为＝(0，2，2)，又＝(0，2，1)，
∴所求距离d＝＝.
班级 姓名
知识清单
1．空间直角坐标系：
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫
单位正交基底，用表示；在空间选定一点和一个单位
正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向
建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立
了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量基本定理（三维）：设为空间中不共面的三个向量，则对于空间中的任一向量，都 可以用表示，且表示法唯一。即：（x、y、z唯一）。叫基向量。其中，（）叫做在基底下的坐标。在不同基底下的坐标是不一样的，在单位正交基底下的坐标是最常用的坐标。为两两垂直的单位向量。
4．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，
则， ，
， ，
★ a=kb（a与b为非零向量）
★。
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
5．模长公式：若，，
则， ．
6．夹角公式：．
7．两点间的距离公式：若，，则.
8．平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（1）设出平面的法向量为；
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标；
（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组；
（4）解方程组，取其中一个解，即得法向量。
9．向量的共线、共面定理
(1)共线向量定理：
①对空间任意两个向量，∥的充要条件是存在实数（具有唯一性），使；
②点O与AB不共线，则(x+y=1)是P、A、B三点共线的充要条件.
共面向量定理：
①如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x、y使；②空间任一点O和不共线三点A、B、C，则是PABC四点共面的充要条件.（简证：P、A、B、C四点共面）
题型一 证线线平行
（一） 综合法
1）三角形的中位线定理；
2）平行四边形的对边平行；
3）平行线截线段成比例定理的逆定理；
4）公理4——平行公理； a∥b，b∥c， a∥c
5）线面平行的性质定理； 线面平行线线平行 a∥α，aβ，β∩α=b， a∥b
6）面面平行的性质定理； 面面平行线线平行 α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，a∥b
7）线面垂直的性质定理。 线面垂直线线平行 a⊥α，b⊥α，a∥b
（二） 向量法
证两直线的方向向量平行。
题型二 证线面平行
（一） 综合法
1）线面平行的判定定理； 线线平行线面平行 a∥b，aα，bα，a∥α
2）面面平行线面平行。 面面平行线面平行 α∥β，aα，a∥β
（二） 向量法
（1）证直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行；
（2）证直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线在平面外。
（3）证直线的方向向量可以用平面内两不共线的向量表示。
平面平行定理：已知直线平面，，且C、D、E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对使.（常设求解若存在即证毕，若不存在，则直线AB与平面相交）.
题型三 证面面平行
（一） 综合法
1）线面平行的判定定理 线线平行线面平行
2）面面平行的性质定理 面面平行线面平行
（二） 向量法
用向量证两平面平行的方法：不重合的两个平面，的法向量分别为，，则。
题型四 证线线垂直
（一） 综合法
（1）勾股定理的逆定理；
（2）三角形的角的计算（如：求出另两角之和为90度。）；
（3）求解异面直线所成的角；
（4）线面垂直的定义 线面垂直线线垂直 a⊥α，bα，a⊥b
（5）两平行直线的一条直线垂直于一直线，则另一条也垂直于该直线。a∥b，a⊥c，b⊥c
（二）向量法
证两直线的方向向量的数量积为0.
题型五 证线面垂直
（一） 综合法
（1）直线与平面垂直的判定定理 线线垂直线面垂直
a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=O，a⊥α
（2）直线与平面垂直的判定定理 线面垂直线面垂直 a⊥α，b∥a，b⊥α
（3）面面垂直的性质定理。面面垂直线面垂直 α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，a⊥β
（二）向量法
（1）证直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的数量积为0；
（2）证直线的方向向量与平面的法向量平行。 ※．
题型六 证面面垂直
（一） 综合法
（1）定义----两平面所成二面角为直角
（2）面面垂直的判定定理 线面垂直面面垂直 a⊥α，aβ，β⊥α
（二）向量法
（1）证两平面的法向量垂直。不重合的两个平面，的法向量分别为，，．
（2）证一平面内一直线的方向向量与另一平面垂直。
题型七 求异面直线的夹角（范围0°＜θ≤90°）
（一） 综合法
通过平移一条或两条线化归为相交直线所成的角是关键。 一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法
设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．
题型八 求直线与平面所成的角（范围0°≤θ≤90°）
（一） 综合法
过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,找射影是产生线面角的关键. 一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法
设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有
题型九 求二面角（范围0°≤θ≤180°）
（一） 综合法
通过观察或作出垂直于二面角棱的两条线，画出或找出平面角是关键。（二面角的棱的垂面）。一作（找）；二证；三计算。
（二） 向量法
（1）若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角（如图（a）所示）．
（2）设、是二面角的两个角α、β的法向量，则向量与的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）．
图（b）
二面角的大小为 二面角的大小为
友情提醒：解题时一定要观察所求的二面角是锐角还是钝角.
典型例题分析
题型一、空间向量的线性运算
例1、在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AO的中点，则＝________(用a，b，c表示)
题型二、共线、共面定理的运用
例2、如图已知?ABCD，从平面AC外一点O引向量＝k，＝k，＝k，＝k，求证：
(1)四点E，F，G，H共面；
(2)∥.
题型三、空间向量的坐标运算
例3、如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．
题型四、利用向量证明平行问题
例4、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．
求证MN∥平面A1BD.
题型五、利用向量证明垂直问题
例5、如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
题型六、利用向量求空间角与距离（异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角、空间中的距离）
例6、如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD=1，E、F分别是线段PA、CD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；
(3)求EF与平面BDE所成角的正弦值；
(4)求二面角E-BD-P的余弦值；
(5)求P到平面BDE的距离。
专题检测
一、选择题
1．已知a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则 ( )．
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
2．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于 ( )．
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
3．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于 ( )．
A. B．－ C．± D．1
4．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是 ( )．
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
5．空间直角坐标系中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 ( )．
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
6．已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则下列结论正确的是 ( )．
A．a·b＝b·c B．|a|＝|b＋c|
C．|a＋b－2c|＝5 D．a＋c＝b
7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是 ( )．
A. B．4 C．3 D．2
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )．
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．向量与的夹角为60°
9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为 ( )．
A. B. C. D.
10．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 ( )．
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
二、填空题
11．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝________．
12．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
13．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在a上，向量b1在b上，a1＝(1，1，1)，b1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．
14．已知四面体顶点A(2，3，1)、B(4，1，－2)、C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为______．
选择题、填空题答案填在此处：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
11、 12、 13、 14、
15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)证明：AC⊥BC1；
(2)求二面角C1-AB-C的余弦值大小．
16．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
17.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．
18.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
19.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
20．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
高二上学期理科数学复习学案(6) 选修2-1空间向量与立体几何参考答案
1、解析 ∵a＝(2x，1，3)与b＝(1，－2y，9)共线，故有＝＝，∴x＝，y＝－.
答案 C
2、解析 a＝(3，2，－1)，b＝(1，－1，2)，∴5a·3b＝15a·b＝－15.
答案 A
3、解析 由a·b＝0及(3a＋2b)·(λa－b)＝0，得3λa2＝2b2，又|a|＝2，|b|＝3，所以λ＝.
答案 A
4、解析 不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝(2a)＋(－2)(a－b)，三个向量
共面：B中，b＋2a＝(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三
个向量共面；只有C中的三个向量不共面．
答案 C
5、解析 ∵＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，又∵＝－2∴∥，即AB∥CD.
答案 A
6、解析 对于A：a·b＝2×2－3×0＋1×3＝7，b·c＝2×0＋0×0＋3×2＝6故A错．
对于B：|a|＝＝，|b＋c|＝＝，故B错．
对于C：a＋b－2c＝(4，－3，0)．∴|a＋b－2c|＝5.故C正确．
答案 C
7、解析 如图所示，以BC边上的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，则PD的长即为所求，由A(0，0，0)，P(0，0，8)，D(0，4，0)，
则||＝＝4.
答案 B
解析 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)．＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，1)，＝(0，－1，1)，＝(－1，－1，0)，＝(1，0，1)．对于选项A.由＝知结论正确；对于选项B，由·＝(－1，1，1)·(－1，－1，0)＝0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由·＝(－1，1，1)·(－1，0，－1)＝0知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝－，知结论不正确．
答案 D
9、解析 以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、
y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝
AC＝2，则＝(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，
＝(0，－1，2)，所以·＝0，所以QP与AM所成角为.
答案 D
解析 设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，可得：x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－，
故当λ＝时，·取最小值，此时Q(，，)，故选C.
答案 C
11、解析 因为a－2b＝(8，－5，13，)，所以|a－2b|＝＝.
答案
12、解析 ·e＝(x，y，z)·(1，1，1)＝x＋y＋z＝0.
答案 x＋y＋z＝0
13、解析 由题意，cos θ＝|cos〈a1，b1〉|＝＝＝.
答案
14、解析 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)则即∴?
令x＝1，则n＝(1，2，－)，＝(－7，－7，7)，
故所求距离为＝＝11.
答案 11
15、解 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，
BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C(0，0，0)，
A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．
(1)证明 ＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)，∴·＝0.故AC⊥BC1.
(2)平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一
个法向量为n＝(x，y，z)，＝(－3，0，4)，＝(－3，4，0)，
由得
令x＝4，则y＝3，z＝3.n＝(4，3，3)，故cos〈m，n〉＝＝.
即二面角C1－AB－C的余弦值为.
16、解 a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，
b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．
(1)cos θ＝＝＝－，∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
17、解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)．
∵AM⊥PD，PA＝AD，∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,0)．
设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥可得，令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．
设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sin α＝＝.
∴cos α＝，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为.
18、解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又因为PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
又因为AD∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.
(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)，
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，〈m，n〉等于二面角A－PB－C的平面角，cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值为－.
19、解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，、、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.
则A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
所以＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，·＝0，所以，PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
＝(－1,1,0)，＝(1，－1，－1)，所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(3)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，
由，得，即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
得平面PCD的一个法向量为
n＝(1,1,1)．又＝(1,1,0)，从而点A到平面PCD的距离d＝＝＝.
20、(1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系，
设A1(a，0，0)，则C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，
A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G(，1，0)．
∴＝(0，2，2)，＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，
∴·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0.
∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.
又AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面ABD.
(2)证明 ∵＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，0，0)，＝(0，1，－1)，
∴∥，∥，∴GF∥AB，EF∥BD.
又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，∴平面EGF∥平面ABD.
(3)解 由(2)知平面EGF与平面ABD的距离即为点D到平面EGF的距离
由(1)(2)知平面EGF的法向量为＝(0，2，2)，又＝(0，2，1)，
∴所求距离d＝＝.