2019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列
专题06 概率与统计热点问题
【最新命题动向】概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
【热点一】随机变量的期望及综合应用
【典例1】(2017·全国Ⅲ卷)(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【审题示例】
①看到表格，想到表中最高气温与天数的关系及气温与酸奶的需求量的关系
②看到一天中酸奶的需求量，想到表格中关系可求解
③看到EY的最值问题，想到利用进货量n表示EY，建立函数关系后可求解．
【规范解答】
【知识点归类点拔】
求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型
【跟踪训练1】(2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【思维导引】
(1)先根据二项分布的概念判断并求解相应概率及其最值；
(2)利用离散型随机变量的期望的性质求解并根据概率的意义进行判断．
【热点二】 统计案例
【典例2】(2019·大同模拟)(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
【审题示例】
①看到判断属于哪种回归模型，想到散点图的分布趋势
②看到求回归方程，想到利用最小二乘法求回归系数
③看到预报值，想到代入回归方程
④看到利润最大，想到利润＝收益－成本，列出利润表达式，利用函数性质求最值．
【规范解答】
【知识点归类点拔】
求解线性回归方程的解题模型
【跟踪训练2】(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【思维导引】根据给出的两个模型(回归直线方程)求2018年的环境基础设施投资额的预测值，再根据题中给出的折线图进行对照说明．
2019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列
专题06 概率与统计热点问题
【最新命题动向】概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量，该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.
【热点一】随机变量的期望及综合应用
【典例1】(2017·全国Ⅲ卷)(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【审题示例】
①看到表格，想到表中最高气温与天数的关系及气温与酸奶的需求量的关系
②看到一天中酸奶的需求量，想到表格中关系可求解
③看到EY的最值问题，想到利用进货量n表示EY，建立函数关系后可求解．
【规范解答】
(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500 ，………………………………………………..(2分)
由表格数据知，
P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，
P(X＝500)＝＝0.4…………………………………………………………………………..(5分)
因此X的分布列为
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
…………………………………………………………………………………………………(6分)
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500，………………………………………………………………………………………..(7分)
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n ，
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n,
因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n……………………………………..(9分)
当200≤n＜300时，
若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n ；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n ；………………………………..(11分)
因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n，
所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．……………………………………(12分)
【知识点归类点拔】
求解离散型随机变量的期望与方差的解题模型
【跟踪训练1】(2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【思维导引】
(1)先根据二项分布的概念判断并求解相应概率及其最值；
(2)利用离散型随机变量的期望的性质求解并根据概率的意义进行判断．
【解析】
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝Cp2.(1－p)18.因此
f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)．………………………..(2分)
令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.……………………………………………………………..(4分)
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，
即X＝40＋25Y.
所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ……………………………………………………(8分)
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．……………………………………………(12分)
【热点二】 统计案例
【典例2】(2019·大同模拟)(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
【审题示例】
①看到判断属于哪种回归模型，想到散点图的分布趋势
②看到求回归方程，想到利用最小二乘法求回归系数
③看到预报值，想到代入回归方程
④看到利润最大，想到利润＝收益－成本，列出利润表达式，利用函数性质求最值．
【规范解答】
解：(1)由散点图的变化趋势可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 …………………………………………………………………………………………………...(3分)
(2)令ω＝，先建立y关于w的线性回归方程．
＝－d＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于ω的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68 …………………………………………………………(7分)
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32………………………………………………………....(9分)
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8 ④.即x＝46.24时，取得最大值．…………………………………………(11分)
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．………………………………………………..(12分)
【知识点归类点拔】
求解线性回归方程的解题模型
【跟踪训练2】(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【思维导引】根据给出的两个模型(回归直线方程)求2018年的环境基础设施投资额的预测值，再根据题中给出的折线图进行对照说明．
【解析】：(1)利用模型①，2018年对应t＝19，
∴＝－30.4＋13.5×19＝226.1.
利用模型②，2018年对应t＝9.
∴＝99＋17.5×9＝256.5. …………………………………………………………………(4分)
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．……………………(8分)
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．…………………………………………………………………………………………(12分)
