2019高考数学（文）热点问题解题策略指导系列
专题07 概率与统计热点问题
【最新命题动向】概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力；概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容相互渗透，背景新颖
【热点一】概率与统计的综合应用
【典例1】（2019·仙桃模拟）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【审题示例】
①看到表格，想到表中最高气温与天数的对应关系
②看到估计概率，想到频率与概率的关系可得估计值
③看到酸奶的利润，想到进货成本与售价，注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理
【规范解答】
【知识点归类点拔】解决概率与统计综合问题的一般步骤
【跟踪训练1】(2019·桂林、贺州、崇左联考)在某大学的自主招生考试中，所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．
(1)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分；
(2)求该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的考生人数；
(3)如果参加本次考试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概率．
【热点二】 统计案例
【典例2】(2019·广州质检)(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
【审题示例】
①看到判断属于哪种回归模型，想到散点图的分布趋势
②看到求回归方程，想到利用最小二乘法求回归系数
③看到预报值，想到代入回归方程
④看到利润最大，想到利润＝收益－成本，列出利润表达式，利用函数性质求最值．
【规范解答】
【知识点归类点拔】求解线性回归方程的3步骤
【跟踪训练2】(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【思维导引】根据给出的两个模型(回归直线方程)求2018年的环境基础设施投资额的预测值，再根据题中给出的折线图进行对照说明．
2019高考数学（文）热点问题解题策略指导系列
专题07 概率与统计热点问题
【最新命题动向】概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力；概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容相互渗透，背景新颖
【热点一】概率与统计的综合应用
【典例1】（2019·仙桃模拟）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【审题示例】
①看到表格，想到表中最高气温与天数的对应关系
②看到估计概率，想到频率与概率的关系可得估计值
③看到酸奶的利润，想到进货成本与售价，注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理
【规范解答】
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25…………………… (2分)
由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，………………………………(4分)
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6…………………………….(5分)
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，
则Y＝6×450－4×450＝900；…………………………………………………………………..(6分)
若最高气温位于区间[20,25)，
则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300 ………………………………………………….(7分)
若最高气温低于20，
则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100 …………………………………………………(8分)
所以Y的所有可能值为900,300，－100.(10分)
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，…………………………………………………………………………………………….(11分)
因此Y大于零的概率的估计值为0.8……………………………………………………………….(12分)
【知识点归类点拔】解决概率与统计综合问题的一般步骤
【跟踪训练1】(2019·桂林、贺州、崇左联考)在某大学的自主招生考试中，所有选报某类志愿的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．
(1)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分；
(2)求该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的考生人数；
(3)如果参加本次考试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概率．
解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，………………………..(1分)
所以该考场有考生10÷0.25＝40(人)．…………………………………………………………(2分)
“数学与逻辑”科目中成绩等级为D的频率为1－0.075－0.2－0.25－0.375＝0.1. ……….(3分)
该考场考生的“数学与逻辑”科目的平均分为
[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]÷40
＝2.9(分)．……………………………………………………………………………………….(6分)
(2)依题意知该考场考生的“阅读与表达”科目成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3. ……………………………………………………………………....(9分)
(3)因为两科考试中，共有6人次的成绩等级为A，又恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目的成绩等级为A.
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲，乙是两科成绩等级都是A的学生，在至少一科成绩等级为A的4位考生中，随机抽取2人进行访谈包含的基本事件有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6个，
其中所抽取的2人的两科成绩等级均为A的事件为{甲，乙}，
所以所抽取的2人的两科成绩等级均为A的概率为.……………………………………………..(12分)
【热点二】 统计案例
【典例2】(2019·广州质检)(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
【审题示例】
①看到判断属于哪种回归模型，想到散点图的分布趋势
②看到求回归方程，想到利用最小二乘法求回归系数
③看到预报值，想到代入回归方程
④看到利润最大，想到利润＝收益－成本，列出利润表达式，利用函数性质求最值．
【规范解答】
(1)由散点图的变化趋势可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 ………………………………………………………………………………………………(3分)
(2)令ω＝，先建立y关于ω的线性回归方程．
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于ω的线性回归方程为＝100.6＋68ω，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68 ……………………………………………………...(7分)
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32 ……………………………………………………….(9分)
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8 ④，即x＝46.24时，取得最大值．………………………………………(11分)
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．……………………………………………….(12分
【知识点归类点拔】求解线性回归方程的3步骤
【跟踪训练2】(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【思维导引】根据给出的两个模型(回归直线方程)求2018年的环境基础设施投资额的预测值，再根据题中给出的折线图进行对照说明．
【解析】：(1)利用模型①，2018年对应t＝19，
∴＝－30.4＋13.5×19＝226.1.
利用模型②，2018年对应t＝9.
∴＝99＋17.5×9＝256.5. ……………………………………………………………….…………..(6分)
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．…………………..(9分)
(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．…………………………………………………………………………………………..(12分)
