2019高考数学热点问题解题策略指导系列
专题08 解析几何热点问题
【最新命题动向】圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为裁体，以参数处理为核心，考查范围、最值、定点、定值、证明、探索性等问题，试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.
【热点一】定值、定点问题
【典例1】(2019·烟台模拟)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【跟踪训练1】(2019·石家庄摸底)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A的椭圆上任意一点，△AF1F2的周长为4＋2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点Q(－4,0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记＝λ，若在线段MN上取一点R，使得＝－λ，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．
【热点二】最值、范围、探索性问题
【典例2】(2019·湖北七市教科研协作体)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【跟踪训练2】(2019·东三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点M在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P(－2,0)与Q(2,0)，过(1,0)点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．
2019高考数学热点问题解题策略指导系列
专题08 解析几何热点问题
【最新命题动向】圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为裁体，以参数处理为核心，考查范围、最值、定点、定值、证明、探索性等问题，试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.
【热点一】定值、定点问题
【典例1】(2019·烟台模拟)已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【跟踪训练1】(2019·石家庄摸底)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A的椭圆上任意一点，△AF1F2的周长为4＋2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点Q(－4,0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记＝λ，若在线段MN上取一点R，使得＝－λ，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．
解：(1)因为△AF1F2的周长为4＋2，
所以2a＋2c＝4＋2，即a＋c＝2＋.
又椭圆的离心率e＝＝，所以a＝2，c＝，
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ………………………………………………………………（4分）
(2)由题意可知，直线l的斜率必存在．
故可设直线l的方程为y＝k(x＋4)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y，得(1＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－4＝0，……………………………….（5分）
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝，…………………………………….（6分）
由＝λ，得(－4－x1，－y1)＝λ(4＋x2，y2)，
所以－4－x1＝λ(x2＋4)，
所以λ＝－.……………………………………………………………………………...（7分）
设点R的坐标为(x0，y0)，
由＝－λ，得(x0－x1，y0－y1)＝－λ(x2－x0，y2－y0)，
所以x0－x1＝－λ(x2－x0)，
解得x0＝＝＝.…………………………….（8分）
而2x1x2＋4(x1＋x2)＝2×＋4×
＝－，
(x1＋x2)＋8＝＋8＝，
所以x0＝－1.
故点R在定直线x＝－1上．……………………………………………………………..（12分）
【热点二】最值、范围、探索性问题
【典例2】(2019·湖北七市教科研协作体)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【跟踪训练2】(2019·东三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点M在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P(－2,0)与Q(2,0)，过(1,0)点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．
解：(1)∵＝，∴a＝2c，∵b2＋c2＝a2，∴b2＝3c2，
则椭圆C的方程为＋＝1，
将(1，)代入椭圆C的方程得＋＝1，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1. …………………………….（4分）
(2)易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，联立方程，得
消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，…………………………….（6分）
|AB|＝＝＝.
点P(－2,0)到直线l的距离为，点Q(2,0)到直线l的距离为，
从而四边形APBQ的面积S＝××＝，…………………………….（8分）
令t＝，t≥1，
则S＝＝，设函数f(t)＝3t＋(t≥1)，则f′(t)＝3－＞0，………………………（10分）
∴f(t)在[1，＋∞)上单调递增，∴3t＋≥4，故S＝≤6，当且仅当t＝1时取等号，
∴当t＝1，即m＝0时，四边形APBQ面积的最大值为6……………………………………….（12分）
