2019高考数学（文）热点问题解题策略指导系列
专题10 函数与导数热点问题解题策略指导
【最新命题动向】函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式关系探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开.此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在备考中不可小视.
【策略一】灵活借助函数大致图像——直观诠释
【典例1】（2019年5月金华模拟卷文21）已知函数f(x)＝x＋－aln x.
(1)若函数y＝f(x)的图像在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，求a的值；
(2)在(1)的条件下方程f(x)＝b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
(3)若在区间[1，e]上存在一点x2，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
【审题示例】
思路提示 解题关键
本题第(1)问是利用导数的几何意义求参数的取值，即求函数f(x)的解析式，是解答第(2)问的跳板，比较简单，但得计算正确，因为这是下一问的基础. 方程思想：求解时，利用点(1，f(1))处的导数f′(1)为切线的斜率，而切线与直线2x＋y－1＝0平行，可建立关于参数a方程，解方程求出a.
本题第(2)问是由方程实数根的个数求参数的取值范围问题．在第(1)问求对函数f(x)的解析式的前提条件下，由方程f(x)＝b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围. 转化与化归思想以及数形结合思想的运用：方程f(x)＝b在区间[1，e]上两个不同的实数根，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图像有两个不同的交点，利用导数函数y＝f(x)在区间[1，e]上的单调性、极值与最值情况，画出函数y＝f(x)的大致图像，借助图像，可由方程f(x)＝b根的个数，确定参数b的取值范围．
本题第(3)问是不等式的能成立问题．已知在区间[1，e]上存在一点x2，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围. 分离参数法：在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立等价于f(x)min<0.从而转化为求解函数f(x)＝x＋－aln x在[1，e]上的最小值．由于函数f(x)中含有参数a，注意对a不同的取值情况进行分类讨论.
【规范解答】
【知识点归类点拔】
对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)画出函数的大致图像，观察图像；
(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图像与x轴的交点情况进而求解．
【策略二】灵活运用分类讨论思想——各个击破
【典例2】(2017·全国Ⅰ卷文21)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
【规范解答】
【知识点归类点拔】函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．
(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．
(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．
(3)最值讨论策略：图像连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．
【策略三】灵活运用等价转化思想——华丽转身
【典例3】（2019年5月金华模拟卷文21）设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
【规范解答】
【知识点归类点拔】
(1)任意x1∈[a，b]，任意x2∈[c，d]，使有f1(x1)>f2(x2)?[f1(x1)]min>[f2(x2)]max.
(2)存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使f1(x1)>f2(x2)?[f1(x1)]max>[f2(x2)]min.
(3)任意x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使f1(x1)>f2(x2)?[f1(x1)]min>[f2(x2)]min.
(4)存在x1∈[a，b]，任意x2∈[c，d]，使f1(x1)>f2(x2)?[f1(x)]max>[f2(x)]max.
(5)存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使f1(x1)＝f2(x2)?f1(x)的值域与f2(x)的值域交集不为?.
【策略四】灵活提炼重要不等式——牵线搭桥
【典例4】（2019年5月金华模拟卷文21）已知函数f(x)＝ax＋b－ln x表示的曲线在点(2，f(2))处的切线方程x－2y－2ln 2＝0
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)≥kx－2对于x∈(0，＋∞)恒成立，求实数k的取值范围；
(3)求证：n∈N＋时，n(n＋1)≤2.
【规范解答】
【知识点归类点拔】构造函数证明不等式的技巧
(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)
0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；
(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))；
(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．
(5)赋值法：证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的不等式进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，使用导数就是错误的。
2019高考数学（文）热点问题解题策略指导系列
专题10 函数与导数热点问题解题策略指导
【最新命题动向】函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式关系探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开.此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在备考中不可小视.
【策略一】灵活借助函数大致图像——直观诠释
【典例1】（2019年5月金华模拟卷文21）已知函数f(x)＝x＋－aln x.
(1)若函数y＝f(x)的图像在x＝1处的切线与直线2x＋y－1＝0平行，求a的值；
(2)在(1)的条件下方程f(x)＝b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
(3)若在区间[1，e]上存在一点x2，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
【审题示例】
思路提示 解题关键
本题第(1)问是利用导数的几何意义求参数的取值，即求函数f(x)的解析式，是解答第(2)问的跳板，比较简单，但得计算正确，因为这是下一问的基础. 方程思想：求解时，利用点(1，f(1))处的导数f′(1)为切线的斜率，而切线与直线2x＋y－1＝0平行，可建立关于参数a方程，解方程求出a.
本题第(2)问是由方程实数根的个数求参数的取值范围问题．在第(1)问求对函数f(x)的解析式的前提条件下，由方程f(x)＝b在区间[1，e]上两个不同的实数根，求实数b的取值范围. 转化与化归思想以及数形结合思想的运用：方程f(x)＝b在区间[1，e]上两个不同的实数根，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图像有两个不同的交点，利用导数函数y＝f(x)在区间[1，e]上的单调性、极值与最值情况，画出函数y＝f(x)的大致图像，借助图像，可由方程f(x)＝b根的个数，确定参数b的取值范围．
本题第(3)问是不等式的能成立问题．已知在区间[1，e]上存在一点x2，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围. 分离参数法：在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立等价于f(x)min<0.从而转化为求解函数f(x)＝x＋－aln x在[1，e]上的最小值．由于函数f(x)中含有参数a，注意对a不同的取值情况进行分类讨论.
【规范解答】
(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－－…………………………………………………(1分)
由题意f′(1)＝1－－＝－2，解得a＝1……………………………………………………………(2分)
(2)由(1)知，f(x)＝x＋－ln x，x∈[1，e]，
∴f′(x)＝1－－＝.................................................................................................................(3分)
在(1,2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在(2，e)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，……………………………………………………………………(4分)
f(1)＝3，f(e)＝e－1＋，f(1)>f(e)，f(2)＝3－ln 2.
由题意f(2)……………………………………………………………………………………..(5分)
(3)在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立等价于f(x)min<0，(x∈[1，e])，
f′(x)＝1－－＝，
①当a＋1≤1，即a≤0时，在(1，e)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
f(x)min＝f(1)＝2＋a<0，可得a<－2……………………………………………………………………….(7分)
②当1在(a＋1，e)上f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴f(x)min＝f(a＋1)＝2＋a－aln(a＋1)．
因为02，
此时f(a＋1)<0不成立．………………………………………………………………………………….(9分)
③当a＋1≥e，即a≥e－1时，在(1，e)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
f(x)min＝f(e)＝e＋－a<0，可得a>.
因为>e－1，所以a>……………………………………………………………………….(11分)
综上可得，所求实数a的取值范围是(－∞，－2)∪……………………………….(12分)
【知识点归类点拔】
对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)画出函数的大致图像，观察图像；
(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图像与x轴的交点情况进而求解．
【策略二】灵活运用分类讨论思想——各个击破
【典例2】(2017·全国Ⅰ卷文21)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
【规范解答】
解： (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)，……………….(1分)
①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)单调递增．……………………………………………………(2分)
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．……………………………………………………………………………………(4分)
③若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln.
当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，故f(x)在单调递减，在单调递增．……………………………………………………………….(6分)
(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0………………………………………………………………….(7分)
②若a＞0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a．从而当且仅当－a2ln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0………………………………………………………………………………..(9分)
③若a＜0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为
f＝a2.
从而当且仅当a2≥0，即0>a≥－2e时f(x)≥0………………………………………….(11分)
综上，a的取值范围为………………………………………………………………………(12分)
【知识点归类点拔】函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．
(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．
(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．
(3)最值讨论策略：图像连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．
【策略三】灵活运用等价转化思想——华丽转身
【典例3】（2019年5月金华模拟卷文21）设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
【规范解答】
解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1，………………………………………………………………………(3分)
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．……………………………………………………….(5分)
(ⅰ)若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，
即－1<，解得－－1(ⅱ)若1，故当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．…………………………………………(9分)
(ⅲ)若a>1, 则f(1)＝－1＝<，符合题意．……………………………………………(11分)
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．……………………………………………(12分)
【知识点归类点拔】
(1)任意x1∈[a，b]，任意x2∈[c，d]，使有f1(x1)>f2(x2)?[f1(x1)]min>[f2(x2)]max.
(2)存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使f1(x1)>f2(x2)?[f1(x1)]max>[f2(x2)]min.
(3)任意x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使f1(x1)>f2(x2)?[f1(x1)]min>[f2(x2)]min.
(4)存在x1∈[a，b]，任意x2∈[c，d]，使f1(x1)>f2(x2)?[f1(x)]max>[f2(x)]max.
(5)存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使f1(x1)＝f2(x2)?f1(x)的值域与f2(x)的值域交集不为?.
【策略四】灵活提炼重要不等式——牵线搭桥
【典例4】（2019年5月金华模拟卷文21）已知函数f(x)＝ax＋b－ln x表示的曲线在点(2，f(2))处的切线方程x－2y－2ln 2＝0
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)≥kx－2对于x∈(0，＋∞)恒成立，求实数k的取值范围；
(3)求证：n∈N＋时，n(n＋1)≤2.
【规范解答】
(1)函数f(x)＝ax＋b－ln x的导数为f′(x)＝a－，在点(2，f(2))处的切线方程x－2y－2ln 2＝0，
即有a－＝，解得a＝1，………………………………………………………………………(2分)
f(2)＝2a＋b－ln 2＝1－ln 2，解得b＝－1，…………………………………………………….(3分)
则有a＝1，b＝－1；
(2)f(x)≥kx－2对于x∈(0，＋∞)恒成立，即有
x－1－ln x≥kx－2对于x∈(0，＋∞)恒成立，
即有k－1≤对于x∈(0，＋∞)恒成立．…………………………………………………………..(4分)
令g(x)＝，g′(x)＝，
当x＞e2时，g′(x)＞0，g(x)递增；
当0＜x＜e2时，g′(x)＜0，g(x)递减．
则x＝e2处g(x)取得极小值，也为最小值，且为－，
即有k－1≤－，解得k≤1－；………………………………………………………………………..(6分)
(3)证明：f(x)＝x－1－ln x(x＞0)，
f′(x)＝1－，
当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)递增，
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)递减．
则x＝1时f(x)取得极小值，也为最小值，且为0，
则有f(x)≥0，即为x－1≥ln x，…………………………………………………………………………...(9分)
取x＝n，则n－1≥ln n，
即有n≤en－1.
即有1＋2＋…＋n≤1＋e＋e2＋…＋en－1.
则有n(n＋1)≤，
即有n∈N＋时，n(n＋1)≤2…………………………………………………………………………(12分)
【知识点归类点拔】构造函数证明不等式的技巧
(1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；
(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))；
(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．
(5)赋值法：证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的不等式进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，使用导数就是错误的。
