期末专题复习--平行线(二）
三．平行线综合应用：
典例精析：
例4.如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，∠1与∠2互补，判断HF与AB是否垂直，并说明理由（填
空）解：垂直．理由如下：
∵DE⊥AC，AC⊥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°（ ）
∴DE∥BC（ ）
∴∠1=∠DCB（ ）
∵∠1与∠2互补（已知）．∴∠DCB与∠2互补
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BFH=∠CDB（ ）
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°．
∴∠BFH= （ ）
∴HF⊥AB．
题组训练：
1.如图，已知BE∥CF，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD．求证：AB∥CD．
2.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，试证明AB∥CD．
典例精析：
例5.直线AB//CD,E为直线AB、CD之间的一点．
(1)如图1，若，则;
(2)如图2，若,，则;
如图3，若，则与之间有什么等量关系？请猜想证明．
题组训练：
1．如图，有如下四个论断：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
（1）若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个数学命题，其中正确的有哪些？不需说明理由．（2）请你在上述正确的数学命题中选择一个进行说明理由．
2.已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2=180°．（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由．
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A=40°，求∠ACB的度数．
典例精析：
例6.已知，射线BC∥射线OA，∠C＝∠BAO＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OC∥AB；
（2）若点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC，
①如图②，若∠AOB＝30°，则∠EOF的度数等于多少（直接写出答案即可）；
②若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO．
题组训练：
已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
典例精析：
例7.
已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则
题组训练：
如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；
（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）
期末专题复习--平行线(二）答案
三．平行线综合应用：
典例精析：
例4.如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，∠1与∠2互补，判断HF与AB是否垂直，并说明理由（填
空）解：垂直．理由如下：
∵DE⊥AC，AC⊥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°（ 垂直定义 ）
∴DE∥BC（ 同位角相等两直线平行 ）
∴∠1=∠DCB（ 两直线平行内错角相等 ）
∵∠1与∠2互补（已知）．∴∠DCB与∠2互补
∴ CD//HF （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BFH=∠CDB（ 两直线平行同位下角相等 ）
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°．
∴∠BFH= （ 等量代换 ）
∴HF⊥AB．
题组训练：
1.解析：∵（已知）
∴（两直线平行内错角相等）
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD（已知）
∴（角平分线定义）
∴，
∴（内错角相等两直线平行）
2.解析：∵∠1=∠2（已知），且∠1=∠4（对顶角相等），
∴∠2=∠4 （等量代换），
∴CE∥BF （同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠3（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠B=∠C（已知），
∴∠3=∠B（等量代换），
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
例5.
解析：：（1）过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∵∠B=15°，∴∠BEF=15°，
又∵∠BED=90°，∴∠DEF=75°，
∵EF∥CD，∴∠D=75°，
故答案为：75°；
（2）过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=360°，
又∵∠B=α，∠D=β，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=360°-α-β，
（3）猜想：∠BED=180°-α+β．
证明：过点E作EF∥AB，
则∠BEF=180°-∠B=180°-α，
∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠CEF=∠C=β，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=180°-α+β．
题组训练：
1.解析：（1）如果①②③，那么④；
如果①②④，那么③；
如果①③④，那么②；
如果②③④，那么①；
（2）已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，
求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC∥DE，
∴∠BCA＝∠BED，
即∠1+∠2＝∠4+∠5，
∵DC∥EF，
∴∠2＝∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠5，
∴EF平分∠BED．
2.解析：（1）AC∥DG． 理由：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ACD=180°， 又∵∠1+∠2=180°， ∴∠ACD=∠2， ∴AC∥DG． （2）∵AC∥DG， ∴∠BDG=∠A=40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠2=∠BDG=40°， ∵AC∥DG
∴∠ACD=∠2=40°
∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠ACD=80°．
典例精析：
例6.
（1）证明：∵BC∥OA，
∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，
∵∠C＝∠BAO＝100°，
∴∠COA＝∠ABC＝80°，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴OC∥AB．
（2）①∵∠AOB＝∠EOB＝30°，∠AOC＝50°，
∴∠COE＝80°﹣60°＝20°，∠COB＝80°﹣30°＝50°，
∵CF平分∠COB，
∴∠COF＝∠COB＝25°，
∴∠EOF＝25°﹣20°＝5°
②如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，
∴4x+6x+100°＝180°，
∴x＝8°，∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．
如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，
∴2x+6x+100°＝180°，∴x＝10°，
∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．
综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°．
题组训练：
解析：（1）如图1，∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°，
故答案为：∠A+∠C=90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
典例精析：
例7.
解析：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E=∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，
∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，
∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F=∠E，
即．
故答案为：．
题组训练：
解析：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，
∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．
