26.2.3 求二次函数的表达式 同步练习（含解析）

26.2　3.求二次函数的表达式
一、选择题
1．若某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，且顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线所对应的函数表达式为(　　)
A．y＝(x－2)2＋1　 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1　 D．y＝－(x＋2)2＋1
2．2018·广西将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为(　　)
A．y＝(x－8)2＋5
B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3
D．y＝(x－4)2＋3
3．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则这个二次函数的表达式为(　　)

A．y＝－6x2＋3x＋4
B．y＝－2x2＋3x－4
C．y＝x2＋2x－4
D．y＝2x2＋3x－4
4．已知某二次函数的图象如图K－8－1所示，则这个二次函数的表达式为(　　)
图K－8－1
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
5．如图K－8－2所示，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)．它与反比例函数y＝－(x<0)的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为(　　)
图K－8－2
A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2＋x＋2
6．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后的新抛物线所对应的函数表达式为(　　)

A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2
C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋2
二、填空题
7．2017·上海已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的表达式可以是______________________________________________________________．(只需写一个)
8．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)两点，则这条抛物线所对应的函数表达式为________________________________________________________________________．
9．某二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，则这个二次函数的表达式为________________________________________________________________________．
10．如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的函数表达式是____________.
11．如图K－8－3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，与y轴交于点C，且tan∠ACO＝，CO＝BO，AB＝3，则这条抛物线所对应的函数表达式是____________．
图K－8－3
12．已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，并与y轴交于点C，且OC＝2，则这条抛物线的表达式为__________________．
三、解答题
13．已知一个二次函数的图象经过A(1，6)，B(－3，6)，C(0，3)三点，求这个二次函数的表达式，并指出它的图象的开口方向和顶点坐标．
14．如图K－8－4，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)若点C在该抛物线上，求m的值．
图K－8－4
15．2017·奉贤区一模已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…
(1)根据上表填空：
①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点(－2，________)；
②抛物线在对称轴右侧的部分是________(填“上升”或“下降”)的．
(2)如果将这个抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移使它经过点(0，5)，求平移后的抛物线的表达式．
16．已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B两点随图象移至A′，B′，求△OA′B′的面积．
1．[答案] C
2．[答案] D
[解析] ∵y＝x2－6x＋21＝(x2－12x)＋21＝[(x－6)2－36]＋21＝(x－6)2＋3，∴将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为y＝(x－4)2＋3.故选D.
3．[解析] D　设所求函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.把(－1，－5)，(0，－4)，(1，1)分别代入，
得解得
故所求的函数表达式为y＝2x2＋3x－4.故选D.
4．[答案] D
5．[答案] A
6．[解析] C　本题考查二次函数的图象的对称性，抛物线两次变换后的图形与原图形关于原点成中心对称．设点(x，y)为变换后新抛物线上的一点，因为点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，所以－y＝(－x)2＋(－x)－2，故y＝－x2＋x＋2.故选C.
7．[答案] 答案不唯一，如y＝2x2－1
[解析] ∵抛物线的顶点坐标为(0，－1)，∴该抛物线的关系式可以为y＝ax2－1.
又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∴这个二次函数的关系式可以是y＝2x2－1.其他符合题意的也可以．
8．[答案] y＝x2－2x－8
[解析] ∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)两点，
∴y＝(x＋2)(x－4)＝x2－2x－8，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝x2－2x－8.
9．[答案] y＝4x2＋5x　
[解析] 设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
∵二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点，
∴解得
即二次函数的表达式是y＝4x2＋5x.
10．[答案] y＝x2＋2x＋3
[解析] 设平移后的抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－1＋b，
把A(0，3)代入表达式，得3＝－1＋b，
解得b＝4，所以y＝x2＋2x＋3.
故答案为y＝x2＋2x＋3.
11．[答案] y＝x2－x－2
[解析] ∵tan∠ACO＝，∴＝，∴CO＝2AO.∵CO＝BO，∴BO＝2AO.∵AB＝AO＋BO＝3，∴AO＝1，BO＝2，CO＝2，
∴点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(2，0)，(0，－2)．把(－1，0)，(2，0)，(0，－2)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得
∴抛物线所对应的函数表达式是y＝x2－x－2.
12．[答案] y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
[解析] 抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，则点C的坐标是(0，2)或(0，－2)．
当点C的坐标是(0，2)时，图象经过三点，可以设函数表达式是y＝ax2＋bx＋c.
把(2，0)，(－1，0)，(0，2)分别代入关系式，
得 解得
则函数表达式是y＝－x2＋x＋2；
同理可以求得当点C的坐标是(0，－2)时，函数表达式是y＝x2－x－2.
故这条抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2.
13．解：设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.根据题意，得解得
∴所求二次函数的表达式为y＝x2＋2x＋3.
∵a＞0，∴函数图象开口向上．
∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∴顶点坐标是(－1，2)．
14．解：(1)由直线y＝－x－2，
令x＝0，则y＝－2，∴点B的坐标为(0，－2)．
令y＝0，则x＝－2，∴点A的坐标为(－2，0)．
设抛物线所对应的函数表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵抛物线的顶点为A，且经过点B，
∴y＝a(x＋2)2，
∴－2＝4a，解得a＝－，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝－(x＋2)2，
即y＝－x2－2x－2.
(2)方法1：∵点C在抛物线y＝－(x＋2)2上，
∴－(m＋2)2＝－，(m＋2)2＝9，
解得m1＝1，m2＝－5.
方法2：∵点C在抛物线y＝－x2－2x－2上，∴－m2－2m－2＝－，
∴m2＋4m－5＝0，解得m1＝1，m2＝－5.
即m的值为1或－5.
15．解：(1)①∵当x＝0和x＝2时，y的值均为2，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴当x＝－2和x＝4时，y的值相同，
∴抛物线一定会经过点(－2，10)．
故答案为直线x＝1，10.
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且当x＝2，3，4时，y的值逐渐增大，
∴抛物线在对称轴右侧的部分是上升的．
故答案为上升．
(2)将点(－1，5)，(0，2)，(2，2)代入y＝ax2＋bx＋c中，
得解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－2x＋2.
∵点(0，5)在点(0，2)正上方3个单位处，
∴原抛物线向上平移了3个单位，
∴平移后的抛物线的表达式为y＝x2－2x＋5.
16．解：(1)设函数表达式为y＝a(x＋1)2＋4.
将B(2，－5)代入表达式，得a＝－1，
∴该函数表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.
(2)令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)；
令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
故抛物线与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．
∴抛物线与坐标轴的交点坐标为(0，3)，(－3，0)，(1，0)．
(3)如图，设抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的交点为M，N(点M在点N的左侧)，由(2)知M(－3，0)，N(1，0)．
当函数图象向右平移经过原点时，点M与点O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A′(2，4)，B′(5，－5)．
过点A′作A′E⊥y轴于点E，过点B′作B′F⊥y轴于点F，
则S△OA′B′＝S梯形EA′B′F－S△A′EO－S△B′FO＝×(2＋5)×9－×2×4－×5×5＝15.