26.2.3 求二次函数的表达式导学案（含答案）

26.2.3求二次函数的表达式 导学案
学习目标
1.会根据实际问题建立抛物线模型，建立适当的坐标系.
2.能运用待定系数法求二次函数的表达式.
学习策略
1.独立思考，分组交流，促进理解.
2.熟练掌握待定系数法的两种基本形式.
学习过程
一.复习回顾：
1.用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。若窗框的宽为xm，采光面积为ym2，写出y关于x函数表达式，并画出函数图像。
2.如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
二.新课学习：
1.自学教材P21，回答以下问题：
1、观察问题2中的图形的形状，是 的一部分，它的对称轴在什么位置？
2、要画出标准图形，必须要建立平面直角坐标系，分析图形，把原点建立的什么位置更方便？
尝试建立坐标系，并结合已知求出抛物线的表达式.
3、根据函数表达式画出函数图像.
2.自学教材P22，回答以下问题：
1、例6中已知点的坐标中有顶点坐标吗？若有我们应该根据抛物线的顶点坐标，把抛物线设为什么形式？
2、运用待定系数法设为顶点式再代入另一点的坐标求出未知系数的值.即可确定函数解析式.
自己尝试完成解答过程：
3. 在例7中，已知的点有有没有特殊位置？若都是一般的点，我就把抛物线设为一般形式： .
再代入列出三元一次不等式组，进行求解.尝试自己求出抛物线表达式.
三.尝试应用：
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。
3．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
四.自主总结：
1.解决实际问题:①建立适当的坐标系；②求出函数表达式；③解决实际问题.
2.待定系数法:①根据已知写出适当函数形式；②根据已知坐标或变量的值求出待定系数；
③把所求待定系数的值代入设定形式，写出函数表达式.
3.当已知顶点坐标时可以设为+k；当已知任意三个点时可以设为y＝ax2＋bx＋c的形式.
五.达标测试
一．选择题（共3小题）
1．一个二次函数，当x=0时，y=﹣5；当x=﹣1时，y=﹣4；当x=﹣2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（　　）
A．y=4x2+3x﹣5 B．y=2x2+x+5 C．y=2x2﹣x+5 D．y=2x2+x﹣5
2．已知二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为M （2，﹣4 ），且其图象经过点A （0，0 ），则a，b，c的值是（　　）
A．a=l，b=4，c=0 B．a=1，b=﹣4，c=0
C．a=﹣1，b=﹣1，c=0 D．a=1，b=﹣4，c=8
3．已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（　　）
A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2+2 C．y=3（x+1）2﹣2 D．y=﹣3（x+1）2﹣2
　
二．填空题（共3小题）
4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图，回答：
（1）这个二次函数的表达式是　 　；
（2）当x=　 　时，y=3；
5．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为　 　．
6．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为（﹣2，3），且过（﹣1，5），则抛物线的表达式为　 　．
　
三．解答题（共4小题）
7．若二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？
8．已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．
9．已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=1时，y有最大值为5，且它的图象经过点（2，3），求这个函数的关系式．
10．已知二次函数经过（1，1），（﹣1，4），（0，3），求这个二次函数解析式．
1. 【分析】设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c（a≠0），然后由当x=0时，y=﹣5；当x=﹣1时，y=﹣4；当x=﹣2时，y=5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【解答】解：设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c（a≠0），
∵当x=0时，y=﹣5；当x=﹣1时，y=﹣4；当x=﹣2时，y=5，
∴c=﹣5①，
a﹣b+c=﹣4②，
4a﹣2b+c=5③，
解由①②③组成的方程组得，a=4，b=3，c=﹣5，
所以二次函数的关系式为：y=4x2+3x﹣5．
故选A．
2. 【分析】设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣4，然后把A （0，0 ）代入解析式得，0=a?（0﹣2）2﹣4，解得a的值即可得到二次函数的解析式，最后确定a，b，c的值．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣4，
把A （0，0 ）代入解析式得，0=a?（0﹣2）2﹣4，
解得a=1，
∴二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣4=x2﹣4x，
所以a=1，b=﹣4，c=0．
故选B．
3. 【分析】根据函数的顶点是（﹣1，﹣2），则设抛物线的解析式是：y=a（x+1）2﹣2，把（1，10）代入函数的解析式即可求得a的值，从而得出函数的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式是：y=a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入函数的解析式得：4a﹣2=10，
解得a=3．
则这条抛物线的表达式是：y=3（x+1）2﹣2．
故选C
4. 【分析】（1）已知顶点坐标和函数图象经过原点，故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），然后把原点坐标代入来求a的值；
（2）把y=3代入（1）中函数关系进行解答相应的x的值；
（3）根据图示直接填空．
【解答】解：（1）如图，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）．
故设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0），
又∵抛物线经过点（0，0），
∴0=a（0﹣1）2﹣1，
解得，a=1．
故抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣1．
故填：y=（x﹣1）2﹣1；
（2）由（1）知，y=（x﹣1）2﹣1，
当y=3时，3=（x﹣1）2﹣1，
解得，x=3或x=﹣1．
故填：3或﹣1；
5. 【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2+1，再根据二次项系数决定开口方向和开口大小得到a=，从而得到所求抛物线解析式．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，
因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，
所以a=，
所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．
故答案为y=（x﹣3）2+1．
6. 【分析】抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为（﹣2，3），因而可以设函数的解析式是：y=a（x+2）2+3，又因为函数经过点（﹣1，5），代入抛物线中就可以求出函数的解析式．
【解答】解：设函数的解析式是：y=a（x+2）2+3，把（﹣1，5），代入解析式得到a=2，因而解析式是：y=2（x+2）2+3即y=2x2+8x+11．
7. 【分析】（1）由题意二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣5，0），B（﹣1，0），把点代入二次函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）把（1）求得的解析式化为顶点式，再根据平移的性质解答．
【解答】解：（1）∵y=x2+bx+c，把A（﹣5，0），B（﹣1，0）代入上式，得
∴，
解得：，
∴这个二次函数的关系式为：y=；
（2）∵二次函数的关系式为：y==，
∴顶点坐标为（﹣3，2），
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点，应向下平移2个单位．
　
8. 【分析】由题意二次函数的顶点为（8，9），可以设函数的顶点式：y=a（x﹣8）2+9，然后再把点（0，1）代入函数的解析式，求出a值，也可以设出函数的一般式，根据待定系数法求出二次函数的解析式．
【解答】解：方法一：∵顶点坐标为（8，9），
∴设所求二次函数关系式为y=a（x﹣8）2+9．
把（0，1）代入上式，得a（0﹣8）2+9=1，
∴a=﹣．
∴y=﹣（x﹣8）2+9，
即y=﹣x2+2x+1．
方法二：设所求二次函数关系式为y=ax2+bx+c．
由题意，得，
解得，
∴所求二次函数关系式为y=x2+2x+1．
　
9. 【分析】由于当x=1时，y有最大值为5，即抛物线的顶点坐标为（1，5），则可设顶点式y=a（x﹣1）2+5，然后把（2，3）代入求出a即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+5，
把（2，3）代入得a×（2﹣1）2+5=3，解得a=﹣2，
所以二次函数的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+5=﹣2x2+4x+3．
10. 【分析】设一般式y=ax2+bx+c，再把点（1，1），（﹣1，4），（0，3）分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），根据题意得
，
解得．
所以抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．