2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质
1.(2018平凉期中)将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5,下列叙述正确的是( A )
(A)向上平移5个单位
(B)向下平移5个单位
(C)向左平移5个单位
(D)向右平移5个单位
2.下列各点在函数y=-x2+1图象上的是( D )
(A)(0,0) (B)(1,1) (C)(0,-1) (D)(1,0)
3.(2018钦州期末)已知点(x1,y1),(x2, y2)均在抛物线y=x2-1上,下列说法正确的是( D )
(A)若x1=-x2,则y1=-y2
(B)若y1=y2,则x1=x2
(C)若x1(D)若04.(易错题)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是( B )
5.已知四个函数:①y=4x2(x>0);②y=x-3;③y=(x>0);④y=-x2+1(x>0).其中,y随x的增大而减小的函数有( B )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
6.抛物线y=-2x2-3的开口 向下 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标是 (0,-3) ,当x <0 时,y随x的增大而增大,当x >0 时,y随x的增大而减小.?
7.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为 c .?
8.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x2+k的交点横坐标为2,则k= -17 ,交点坐标为 (2,3) .?
9.已知抛物线y=ax2+b 过点(-2,-3)和点(1,6),
(1)求这个函数的表达式;
(2)当x为何值时,函数值y随x的增大而增大.
解:(1)把点(-2,-3)和点(1,6)代入y=ax2+b,得解得
所以这个函数的表达式为y=-3x2+9.
(2)因为这个函数的表达式为y=-3x2+9.
所以对称轴为y轴,
因为a=-3<0,
所以抛物线开口向下,
所以当x<0时,函数值y随x的增大而增大.
10.如图,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C,F在抛物线上,点D,E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),且矩形的面积为8,求此抛物线的表达式.
解:因为抛物线的顶点为A(0,1),
所以抛物线的对称轴为y轴,
因为四边形CDEF为矩形,
所以C,F点为抛物线上的对称点,
因为矩形的面积为8,OB=2,所以CF=4,
所以F点的坐标为(2,2),
设抛物线表达式为y=ax2+1,
把F(2,2)代入得4a+1=2,
解得a=,
所以抛物线表达式为y=x2+1.
11.(数形结合题)已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离始终相等,如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一个动点,则△PMF周长的最小值是( C )
(A)3 (B)4
(C)5 (D)6
12.(拓展探究题)如图所示,隧道的截面由抛物线和矩形构成,矩形的长为8 cm,宽为2 cm,抛物线可用y=-x2+4表示.
(1)一辆货车高4 m,宽2 m,它能通过该隧道吗?
(2)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可能通过?
解:(1)当货车沿着路面中线行驶时,货车边沿的横坐标为1或-1,
当x=±1时,
y=-×(±1)2+4=,
此处隧道高为+2=>4,
所以货车能通过隧道.
(2)若隧道内设双行道,此时货车一边靠近隧道中线,另一边沿横坐标为2或-2,
把x=2或-2代入y=-x2+4得y=3,
此处隧道高为3+2=5>4,
所以货车能通过隧道.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.把抛物线y=6(x+1)2平移后得到抛物线y=6x2,平移的方法可以是( D )
(A)沿y轴向上平移1个单位
(B)沿y轴向下平移1个单位
(C)沿x轴向左平移1个单位
(D)沿x轴向右平移1个单位
2.顶点为(-6,0),开口向下,形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( D )
(A) y=(x-6)2 (B)y=(x+6)2
(C)y=-(x-6)2 (D)y=-(x+6)2
3.对于二次函数y=3(x+1)2,下列结论正确的是( C )
(A)当x取任何实数时,y的值总是正的
(B)其图象的顶点坐标为(0,1)
(C)当x>1时,y随x的增大而增大
(D)其图象关于x轴对称
4.函数y=a(x-1)2,y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是( B )
5.抛物线y=3(x-1)2的图象关于x轴成轴对称图象的表达式为 y=-3(x-1)2 .?
6.已知,点A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)分别是抛物线y=5(x-2)2的三个点,则y1,y2,y3的大小关系为 y37.已知二次函数y=a(x+h)2的图象如图所示,下列结论:
①a>0;②h>0;③y的最小值是0;④x<0时,y随x的增大而减小.其中正确的结论是 ①②③ (填序号).?
8.已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值,且此函数的图象经过点(1,-3),求此二次函数的表达式,并指出当x为何值时,y随x的增大而增大.
解:根据题意得y=a(x-2)2,
把(1,-3)代入得a=-3,
所以二次函数表达式为y=-3(x-2)2,
因为抛物线的对称轴为x=2,抛物线开口向下,
所以当x<2时,y随x的增大而增大.
9.已知:抛物线y=a(x+h)2的对称轴为直线x=,形状、开口方向均与抛物线y=-3x2相同.
(1)试求该抛物线的函数表达式;
(2)求出该抛物线与y轴的交点坐标.
解:(1)因为抛物线y=a(x+h)2的对称轴为直线
x=,所以h=-,则y=a(x-)2,
又因为抛物线y=a(x-)2的形状、开口方向均与抛物线y=-3x2相同,所以a=-3,
所以该抛物线的函数表达式为y=-3(x-)2.
(2)因为当x=0时,
y=-3(x-)2=-3×(-)2=-,
所以该抛物线与y轴的交点坐标为(0,-).
10.如图,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=a(x+h)2的顶点为A,且经过点B.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)若点C(m,-)在该抛物线上,求m的值.
解:(1)因为直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,所以A(-2,0),B(0,-2),
因为抛物线y=a(x+h)2的顶点为A,
所以h=2,则y=a(x+2)2,
因为该抛物线经过点B(0,-2),
所以a(0+2)2=-2,解得a=-,
所以该抛物线的函数表达式为y=-(x+2)2.
(2)因为点C(m,-)在抛物线y=-(x+2)2上,
所以-(m+2)2=-,
解得m1=1,m2=-5,即m的值为1或-5.
11.(拓展探究题)二次函数的图象如图所示,已知抛物线的顶点为A,与y轴交于点B,且A(2,0),B(0,3).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象表达式.
解:(1)设抛物线表达式为y=a(x-h)2,
因为点A(2,0)为抛物线y=a(x-h)2的顶点,
所以抛物线为y=a(x-2)2,
把B(0,3)代入抛物线y=a(x-2)2,得
3=a(0-2)2,解得a=,
所以抛物线的函数表达式为y=(x-2)2.
(2)抛物线关于y轴对称的图象的顶点坐标为(-2,0),形状、大小及开口方向不变,
所以抛物线的函数表达式为y=(x+2)2.
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
1.若点M在抛物线y=(x+3)2-4的对称轴上,则点M的坐标可能是( B )
(A)(3,-4) (B)(-3,0)
(C)(3,0) (D)(0,-4)
2.下列抛物线中,与抛物线y=-3x2+1的形状、开口方向完全相同,且顶点坐标为(-1,2)的是( A )
(A)y=-3(x+1)2+2
(B)y=-3(x-1)2+2
(C) y=-(3x+1)2+2
(D)y=-(3x-1)2+2
3.(2018广安)抛物线y=(x-2)2-1可以由y=x2平移而得到,下列平移正确的是( D )
(A)先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度
(B)先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度
(C)先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度
(D)先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度
4.(2018徐汇区一模)对于抛物线y=-(x+2)2+3,下列结论中正确的个数为( A )
①抛物线的开口向下;②对称轴是直线x=-2;③图象不经过第一象限;④当x>2时,y随x的增大而减小.
(A)4 (B)3
(C)2 (D)1
5.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( B )
(A)1或-5 (B)-1或5
(C)1或-3 (D)1或3
6.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位,再向下平移3个单位,那么所得抛物线的函数表达式是 y=(x+2)2-2 .?
7.(2018曲靖一模)若抛物线y=2 (x-m)2+6-3m的顶点在第四象限,则m的值可以是 3 (写一个即可).?
8.(2018长春一模)如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y= a(x+）2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的正方形ABCD的周长为 12 .?
9.若抛物线经过点(1,1),并且当x=2时,y有最大值3,求出抛物线的表达式.
解:因为x=2时y取得最大值3,
所以设抛物线表达式为y=a(x-2)2+3,
又因为抛物线经过点(1,1),
所以a(1-2)2+3=1,
解得a=-2,
所以y=-2(x-2)2+3.
10.如图,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.求一次函数及二次函数的表达式.
解:将(1,0)代入y=(x-2)2+m得
0=(1-2)2+m,
解得m=-1,
所以二次函数的表达式为y=(x-2)2-1,
当x=0时,y=3,故C(0,3),因为点C与点B关于抛物线的对称轴对称,
所以点B的纵坐标为3,
当y=3时,
则(x-2)2-1=3,
解得x1=4,x2=0,故B(4, 3),
将A(1,0),B(4,3)代入y=kx+b得
解得
所以一次函数的表达式为y=x-1.
11.(拓展探究题)如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A处,求平移后的抛物线表达式.
解:因为A在直线y=x上,
所以设A(m,m),
因为OA=,
所以m2+m2=()2,
解得m=±1(m=-1舍去),
所以m=1,即点A(1,1),
所以抛物线表达式为y=(x-1)2+1.
12.(教材衔接题)在直角坐标系中,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且经过点B(3,0).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)当-3(3)将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点.
解:(1)因为二次函数的图象顶点为A(1,-4),
所以设二次函数的表达式为y=a(x-1)2-4,
又因为二次函数图象过点B(3,0)
所以a(3-1)2-4=0,解得a=1,
所以y=(x-1)2-4.
(2)因为抛物线对称轴为直线x=1,开口向上,
所以当-3当1≤x<3时,y随x的增大而增大.
(3)将抛物线y=(x-1)2-4向左平移1个单位,再向上平移4个单位即可实现抛物线顶点为原点.
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.(2017宁波)抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在( A )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
2.(2018攀枝花)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为( A )
(A)(1,1) (B)(-1,1)
(C)(1,3) (D)(-1,3)
3.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1,则原抛物线的表达式不可能的是( B )
(A)y=x2-1
(B)y=x2+6x+5
(C)y=x2+4x+4
(D)y=x2+8x+17
4. (2017黔东南州改编)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,给出下列结论:
①a<0;②abc>0;③a>c;④4a-2b+c>0,其中正确的个数有( C )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
5.(2018苏州期中)将抛物线y=x2-2x+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位,则抛物线的表达式应为 y=x2-1 .?
6.(2018长宁区一模)已知点A(-2,m),B(2,n)都在抛物线y=x2+2x-t上,则m与n的大小关系是m < n.(填“>”“<”或“=”)?
7.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB∥x轴,其中点A的坐标为(0,3),求AB.
解:由题意知,A,B两点的纵坐标相等,且到对称轴的距离相等,所以点B的坐标为(4,3),
所以AB=4-0=4.
8.已知二次函数y=-x2-x+.
(1)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(2)根据图象,写出抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的两个交点坐标;
(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请在坐标系中画出平移后的图象,并写出平移后图象所对应的函数表达式.
解:(1)函数图象如图所示.
(2)抛物线的顶点坐标为(-1,2),
抛物线与x轴的两个交点坐标为(-3,0),(1,0).
(3)因为y=-x2-x+=-(x+1)2+2,
所以平移后的函数表达式为
y=-(x+1-3)2+2=-(x-2)2+2,
即y=-x2+2x.
9.(核心素养—直观想象)如图,已知抛物线y=x2-x-6,与x轴交于点A和点B,点A在点B的左边,与y轴的交点为C.
(1)用配方法求该抛物线的顶点坐标;
(2)若点P(m,m)在该抛物线上,求m的值.
解:(1)因为y=x2-x-6=x2-x+--6=(x-)2-,
所以抛物线的顶点坐标为(,-).
(2)因为点P(m,m)在这个二次函数的图象上,
所以m2-m-6=m,即m2-2m-6=0,
解得m1=1+,m2=1-.
10.(拓展探究题)设函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](k是常数).
(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数图象;
(2)根据图象,写出你发现的一条结论.
解: (1)当k=0时,y=-(x-1)(x+3),所画函数图象如图所示.
(2)①根据图象可知,图象都经过点(1,0)和(-1,4);
②图象与x轴的交点是(1,0);
③函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](k是常数)的图象都经过(1,0)和(-1,4)等.
第5课时 二次函数的应用
1.已知0≤x≤,那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是 ( C )
(A)-10.5 (B)2
(C)-2.5 (D)-6
2.如图,一边靠墙(墙有足够长),其他三边用10 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)菜园,且在图中所示位置留2 m宽的门,这个菜园的最大面积是( C )
(A)16 m2 (B)12 m2
(C)18 m2 (D)以上都不对
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,tan C=,AB=6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是( C )
(A)18 cm2 (B)12 cm2
(C)9 cm2 (D)3 cm2
4.(2018惠山区一模)已知抛物线y=-x2-2x+3,当-2≤x≤2时,对应的函数值y的最小值为 -5 .?
5.如图,已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合,让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式为 y=2(10-t)2 .?
6.已知,如图,用长为18 m的篱笆(3AB+BC)围成矩形花圃.一面利用墙(墙足够长),则围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为 27 m2.?
7.求下列二次函数的最值:
(1)y=2x2-4x+5;
(2)y=(1-x)(x+2).
解:(1)用配方法,原函数化为y=2(x-1)2+3,
可得x=1时函数有最小值3,函数无最大值.
(2)同样用配方法,y=-(x+)2+,
可得x=-时函数有最大值,无最小值.
8.正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的两个动点,且始终保持AM⊥MN.求当BM为多少时,四边形ABCN的面积最大.
解:设BM=x,则MC=4-x,
因为∠AMN=90°,
所以∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC,
所以△ABM∽△MCN,则=,
即=,
解得CN=,
所以S四边形ABCN=×4× [4+]
=-x2+2x+8,
因为-<0,
所以当x=-=2时,S四边形ABCN最大.
9.(分类讨论题)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边由周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.
解:(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米.
依题意可列方程
x(30-2x)=72,即x2-15x+36=0.
解得x1=3,x2=12.
(2)依题意,得8≤30-2x≤18.
解得6≤x≤11.
面积S=x(30-2x)
=-2(x-)2+(6≤x≤11).
①当x=时,S有最大值,S最大=(平方米);
②当x=11时,S有最小值,
S最小=11×(30-22)=88(平方米).
10.(拓展探究题)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数表达式,并注明自变量x的取值范围;
(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?
解:(1)因为三块矩形区域的面积相等,
所以矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍,
所以AE=2BE,
设BE=a,则AE=2a,
所以8a+2x=80,
所以a=-x+10,2a=-x+20,
所以y=(-x+20)x+(-x+10)x
=-x2+30x,
因为a=-x+10>0,所以x<40,
则y=-x2+30x(0(2)因为y=-x2+30x
=-(x-20)2+300(0且二次项系数为-<0,
所以当x=20时,y有最大值,最大值为300平方米.
