26.3.1现实生活中的抛物线导学案
学习目标
1.能运用二次函数解析式分析解决实际问题.
2.熟练掌握建立二次函数模型解决实际问题的方法.
学习策略
1.独立思考，分组交流，促进理解.
2.熟练掌握建立直角坐标系的方法与待定系数法求解析式.
学习过程
一.复习回顾：
1. 当二次函数y=x2-6x+9取最小值时，x的值为（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
2. 求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）
二.新课学习：
1.自学教材P26-27，回答以下问题：
1、的顶点坐标是 ，当x= 时，y有最大值是 ，
当x=0时，y的值是 ，当y=0时，x的值是 .
2、在问题1中求水平面的最大高度实际上是求 ，水不溅落在水池外，实际上是求当y= 时，x的值.
3、自己运用二次函数的解析式解决问题1.
2.自学教材P27，回答以下问题：
1、问题2中涵洞是什么形状？怎样建立坐标系比较合适？
2、根据你自己的分析建立的坐标系.
3. 已知AB=1.6，顶点与水面距离为2.4可以确定，B点坐标是多少？运用待定系数法求出函数解析式.
4.求ED的长度实际上可以求点D的坐标，怎样求出？自己写出解题过程.
三.尝试应用：
1.如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
2.在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2． 5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
四.自主总结：
1.最值问题:运用二次函数的顶点的意义解决.
2.只有图像的实际问题：先建立 ，根据题意确定点的 ，最后运用待定系数法求出 进而求解.
3.建立坐标系：①一般以最高的或最低点为原点；②一般以对称轴为y轴.
4.待定系数形式的选取:①当已知顶点为原点，设解析式为 .②根据线段长度确定已知点坐标，代入求值，③要求线段长度，先求对应的点的坐标，进而转化为线段长度.
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．学校商店销售一种练习本所获得的总利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=﹣2（x﹣2）2+48，则下列叙述正确的是（ ）
A．当x=2时，利润有最大值48元
B．当x=﹣2时，利润有最大值48元
C．当x=2时，利润有最小值48元
D．当x=﹣2时，利润有最小值48元
2．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2
3．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣t2+t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A．1米 B．1.5米 C．1.6米 D．1.8米
4．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．6m B．12m C．8m D．10m
二．填空题（共2小题）
5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为 米．
6．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．
三．解答题（共3小题）
7．某涵洞的截面边缘成抛物线形（如图），现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
8．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4m，抛物线顶点到线段MN的距离是4m，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，点A、D落在抛物线上，这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8m？
9．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水，连喷头在内，柱高为0.8m，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水面距离x（m）之间的函数关系式为y=﹣x2+2x+．
（1）求喷出的水流距水平面的最大高度 m．
（2）水池的半径至少为 m才能使喷出的水流都落在水池内．
1. 【分析】根据顶点式直接写出其最值即可得到答案．
【解答】解：y=﹣2（x﹣2）2+48中，当x=2时，有最大值是48，
故选A．
2. 【分析】首先假设出抛物线的一般形式为y=ax2，再得出抛物线上一点为（2，﹣2），进而求出a的值．
【解答】解：由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，且抛物线过（2，﹣2）点，
故﹣2=a×22，
解得：a=﹣0.5，
故选：C．
3. 【分析】利用配方法求得二次函数的最大值即可．
【解答】解：h=﹣t2+t+1=﹣（t2﹣16t+64﹣64）+1=﹣（t﹣8）2++1=﹣（t﹣8）2+1.8．
故选：D．
4. 【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
【解答】解：把y=0代入y=﹣x2+x+得：
﹣x2+x+=0，
解之得：x1=10，x2=﹣2．
又x＞0，解得x=10．
故选D．
5. 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：如图，
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1=﹣0.5x2+2，
解得：x=±，
所以水面宽度增加到2米，
故答案为：2米．
6. 【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．
【解答】解：由题意可得：
y=﹣
=﹣（x2﹣8x）+
=﹣（x﹣4）2+3，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
7. 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y=ax2．根据AB=1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么B点坐标应该是（0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点D的坐标及ED的长．
【解答】解：∵抛物线y=ax2（a＜0），
点B在抛物线上，将B（0.8，﹣2.4），
它的坐标代入y=ax2（a＜0），
求得a=﹣，
所求解析式为y=﹣x2．
再由条件设D点坐标为（x，﹣0.9），
则有：﹣0.9=﹣x2．，
解得：＜，
故宽度为2=，
∴x＜0.5，2x＜1，
所以涵洞ED不超过1m．
8. 【分析】以MN为x轴，其中点O为坐标原点建立直角坐标系，得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A（x，y），建立含x的方程，矩形铁皮的周长能否等于8米，取决于求出x的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．
【解答】解：以MN所在的直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则N（2，0），顶点坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y=ax2+4，将N（2，0）代入得：
4a+4=0，
解得：a=﹣1，
则抛物线的解析式为y=﹣x2+4，
因为点A、D落在抛物线上，
设A（m，﹣m2+4）（0＜m＜2），则D（﹣m，﹣m2+4），
所以矩形铁皮的周长为4m+2（4﹣m2）=﹣2m2+4m+8，
假如截下的矩形铁皮的周长等于8，
则﹣2m2+4m+8=8，
解得m1=0，m2=2，
但这两个解都不在0＜m＜2的范围内，
所以这样截下的矩形铁皮的周长不可能等于8m．
9. 【分析】已知函数关系式求最值可运用配方法或公式法；求水池半径即求图中OB的长，当y=0时x的值即是．
【解答】解：（1）∵y=﹣（x﹣1）2+，
∴当x=1时，y有最大值，
∴最大高度为m．
（2）令y=0，则﹣（x﹣1）2+=0，
∴x=1±，
又∵x＞0，
∴x=1+，
∴B（1+，0），
∴OB=1+．
∴水池半径至少为（1+）m．
二次函数与一元二次方程和不等式的关系导学案
学习目标
1.知道二次函数与一元二次方程和不等式的关系.
2.能运用二次函数与一元二次方程和不等式的关系求方程（组）和不等式的解（集）
学习策略
1.独立思考，分组交流，运用图像把抽象问题形象化促进理解.
2.熟练掌握二次函数与一元二次方程和不等式的关系.
学习过程
一.复习回顾：
1.给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．它们的图象分别为
观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
2.能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
二.新课学习：
1.自学教材P28，回答以下问题：
1、x轴上的点的坐标由何特点？怎样求一次函数与x轴的交点？
2、自己画出函数的图像，观察图像与x轴的交点的坐标是什么？
3、然后令y=0，即可得到求出x的值，观察分析它与2中交点坐标之间有何联系.
4.怎样判断一元二次方程的解得个数？分析如何判断抛物线与x轴的交点的个数？
2.自学教材P28-29，回答以下问题：
1、在问题3中的图像中用锯齿线画出y＞0的部分，分析此时x的取值范围是什么？
2、再用锯齿线画出y＜0的部分，分析此时x的取值范围是什么？分析不等式的解集，和的解集.
3. 分析问题4，小刘同学是如何理解方程的解的？
他把方程的解看作了哪两个函数图像的交点的横坐标？
你还有别的思路吗？
三.尝试应用：
1．函数（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2．已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a=
3．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） ；（2）．
四.自主总结：
1.二次函数与x轴交点的横坐标对应当y=0时的一元二次方程的解.
2.运用函数图像可以分析对应的不等式的解集.
3.当△=b2-4ac＞0时有两个 的实数根，的图像与x轴有 交点；
当△=b2-4ac=0时有两个 的实数根，的图像与x轴有 交点；
当△=b2-4ac＜0时 实数根，的图像与x轴 交点.
五.达标测试
一．选择题（共4小题）
1．抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值一定为（ ）
A．0 B．6 C．﹣6 D．±6
2．若对任意实数x，二次函数y=（a+1）x2的值总是非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣1 B．a≤﹣1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
3．下列函数的图象，与x轴没有交点的是（ ）
A．y=x2+x B．y=x2﹣x+1 C．y=﹣x2+2x﹣1 D．y=x2﹣1
4．抛物线y=x2﹣3x+5与坐标轴的交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共4小题）
5．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ．
6．已知二次函数y=﹣x2+2x﹣3a的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x﹣3a=0的解为 ．
7．如图，一次函数y2=kx+b与二次函数y1=ax2+bx+c的图象交于点A（﹣1，0）、B（2，﹣3），使y2＞y1时，自变量x的取值范围 ．
8．若二次函数y=x2﹣3x﹣4的图象如图所示，则方程x2﹣3x﹣4=0的解是 ；不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集是 ；不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集是 ．
三．解答题（共2小题）
9．判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标．
（1）y=6x2﹣2x+1；
（2）y=﹣15x2+14x+8；
（3）y=x2﹣4x+4．
1. 【分析】抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则表示抛物线与x轴只有一个交点．x2﹣bx+9=0只有一个解．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣bx+9的顶点在x轴上，
∴x2﹣bx+9=0只有一个解．
∴b2﹣4×1×9=0．
∴b2=36．
即b=±6．
故选D．
2. 【分析】要使二次函数y=（a+1）x2的值总是非负数，必使a+1＞0，可解．
【解答】解：∵对任意实数x，二次函数y=（a+1）x2的值总是非负数；∴a+1＞0，即a＞﹣1，即可．故选C．
3. 【分析】分别求出各函数△=b2﹣4ac的值，看△的值是否大于或等于0还是小于0，就可以确定图象与x轴是否有交点．
【解答】解：A、△=1﹣4×1×0=1＞0，图象与x轴有交点；
B、△=1﹣4×1×1=﹣3＜0，图象与x轴没有交点；
C、△=4﹣4×（﹣1）×（﹣1）=0，图象与x轴有交点；
D、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，图象与x轴有交点．
故选B．
4. 【分析】只需要判断△与0的大小关系即可．
【解答】解：△=（﹣3）2﹣4×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
令x=0代入y=x2﹣3x+5，
∴y=5，
即抛物线与x轴无交点，与y轴有一个交点，
故选（B）
5. 【分析】顶点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点，则判别式等于0，若抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，据此即可求解．
【解答】解：△=36﹣4a，
则定点在x轴上，则36﹣4a=0，
解得：a=9；
抛物线与x轴有两个交点，则36﹣4a＞0，
解得：a＜9．
故答案是：9；a＜9．
6. 【分析】由图象可知二次函数过（3，0），代入可求得a的值，再令y=0可求得方程的两根．
【解答】解：∵二次函数过点（3，0），
∴0=﹣9+6﹣3a，解得a=﹣1，
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3，
令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x1=3，x2=﹣1，
即方程﹣x2+2x﹣3a=0的两根为x1=3，x2=﹣1，
故答案为：x1=3，x2=﹣1．
7. 【分析】根据函数图象写出直线在二次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，﹣1＜x＜2时，y2＞y1．
故答案为：﹣1＜x＜2．
8. 【分析】根据二次函数图象与x轴的交点和在x轴上方和下方部分的x的取值分别填空即可．
【解答】解：方程x2﹣3x﹣4=0的解是x1=4，x2=﹣1；
不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集是x＞4或x＜﹣1；
不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集是﹣1＜x＜4．
故答案为：x1=4，x2=﹣1；x＞4或x＜﹣1；﹣1＜x＜4．
9. 【分析】令抛物线的y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．
【解答】解：（1）△=（﹣2）2﹣4×6×1=4﹣24=﹣20＜0，
则抛物线与x轴没有交点；
（2）△=142+4×15×8=196+480=676＞0，
则令y=0，则﹣15x2+14x+8=0，
解得：x==，
则x1=，x2=﹣．
则与x轴的交点坐标是（，0）和（﹣，0）；
（3）△=（﹣4）2﹣4×4×1=0，
则与x轴只有一个交点．
令y=0，则x2﹣4x+4=0，
解得：x=2．
则与x轴的交点是（2，0）．
