1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)同步学案
文档属性
| 名称 | 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 152.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-05 17:43:40 | ||
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文档简介
选修2-3 第一章§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)
班级 姓名
学习目标
1. 通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2.了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分 类方法? 第一类方法用 ，有 种方法;
第二类方法用 ，有 种方法;∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法.
新知1：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部分是 ，有____种编法，第二部分是 ，有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有 个.
新知2：分步计数原理－乘法原理：完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同方法。
试试：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？
※ 典型例题
例1、在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?
变式1：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有种.这种算法对吗？
小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.
例2、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
变式2：如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？
例3、要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？
小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
练习:(1) 8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有 种不同的分法；
(2)将4封信投入3个不同的邮筒，有 种不同的投法；
(3)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 种报名方法；
(4)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 种可能结果.
二、总结提升
1、分类加法计数原理：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
课后作业
一、基础训练题
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )
A．13种 B．16种 C．24种 D．48种
2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( )21教育网
A．3＋2＋4＝9 B．1 C．3×2×4＝24 D．1＋1＋1＝3
3．学校有4个出入大门，某学生从任一门进入，从另外一门走出，则不同的走法种数有( )
A．4 B．8 C．12 D．16
4．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可构成不同的二次函数的个数是( )
A．48 B．59 C．60 D．100
m
5．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( )
A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种
6．已知集合A＝{x|－2≤x≤10，x∈Z}，m，n∈A，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有( )
A．45个 B．55个 C．78个 D．91个
7．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )
A．34 B．43 C．12 D．24
8．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生________种不同的信息．
9．从5名医生和8名护士中选出1位医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有 种不同的选法．
www.21-cn-jy.com
10．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．【来源：21·世纪·教育·网】
11．有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
(2)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？
12．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线有多少条．
1cnjy.com
二、提高训练题
13．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( )
A．2 000 B．4 096 C．5 904 D．8 320
14．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A．42 B．30 C．20 D．12
15．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( )
A．18种 B．15种 [来源:21世纪教育网] C．12种 D．9种
16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛 ，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)
选修2-3 第一章§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)参考答案
1、[答案] A
[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A.
2、[答案] C
[解析] 由乘法计数原理知，共有3×2×4＝24(种)．
3、[答案] C
[解析] 4×3＝12(种)．
4、[答案] A
[解析] 由题意知，a≠0，a可取1,2,3,4中任意一个．有4种取法．
同理b有4种取法，c有3种取法．由分步计数原理知，共有4×4×3＝48(个)．21·cn·jy·co
5、[答案] B
[解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．
由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种．
6、[答案] A
[解析] m，n只能取1,2,3，…，10，且m>n，按m取10,9,8，…，3,2可分为9类，共有9＋8＋7＋…＋1＝45(个)．21世纪教育网版权所有
7、[答案] C
[解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C.
8、[答案] 256
[解析] 由题意知，每个穿孔都有2个信息，因此8个穿孔共有28种不同的信息．
9、[答案] 40
[解析] 5×8＝40(种)．
10、[答案] 14
[解析] 因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，
其中四个数字全是2或3的不合题意，
所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．21·世纪*教育网
解 (1)可分为三类：选老师1名，男同学1名，女同学1名，
由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．
可分三步：第一步选老师1名，第二步选男同学1名，第三步选女同学1名，
由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
可分两类，每一类又可分两步．第一类：选1名老师和1名男同学；
第二类：选1名老师和1名女同学．因此，共有3×8＋3×5＝39种选法．www-2-1-cnjy-com
解 从总体上看有三类方法：分别经过AB，AD，AA1，
从局部上看每一类α需分两步完成，故第一类：
经过AB，有m1＝1×2＝2条；第二类：经过AD，
有m2＝1×2＝2条；第三类：经过AA1有m3＝1×2＝2条．
根据分类加法计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的线路共有N＝2＋2＋2＝6条．2
13、[答案] C
[解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，
所以符合题意的共有5 904个．
14、[答案] A
[解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，
插入第1个有6种插法，
插入第2个时有7个空，共7种插法，
所以不同的插法共6×7＝42(种)．
15、[答案] C
[解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．
试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；
②消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；
③消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，
所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．
16、[答案] 48
[解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；
两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．
班级 姓名
学习目标
1. 通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2.了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分 类方法? 第一类方法用 ，有 种方法;
第二类方法用 ，有 种方法;∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法.
新知1：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部分是 ，有____种编法，第二部分是 ，有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有 个.
新知2：分步计数原理－乘法原理：完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同方法。
试试：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？
※ 典型例题
例1、在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?
变式1：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有种.这种算法对吗？
小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.
例2、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
变式2：如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？
例3、要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？
小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
练习:(1) 8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有 种不同的分法；
(2)将4封信投入3个不同的邮筒，有 种不同的投法；
(3)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 种报名方法；
(4)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 种可能结果.
二、总结提升
1、分类加法计数原理：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.
课后作业
一、基础训练题
1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )
A．13种 B．16种 C．24种 D．48种
2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( )21教育网
A．3＋2＋4＝9 B．1 C．3×2×4＝24 D．1＋1＋1＝3
3．学校有4个出入大门，某学生从任一门进入，从另外一门走出，则不同的走法种数有( )
A．4 B．8 C．12 D．16
4．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可构成不同的二次函数的个数是( )
A．48 B．59 C．60 D．100
m
5．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( )
A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种
6．已知集合A＝{x|－2≤x≤10，x∈Z}，m，n∈A，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有( )
A．45个 B．55个 C．78个 D．91个
7．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )
A．34 B．43 C．12 D．24
8．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生________种不同的信息．
9．从5名医生和8名护士中选出1位医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有 种不同的选法．
www.21-cn-jy.com
10．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．【来源：21·世纪·教育·网】
11．有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
(2)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？
12．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线有多少条．
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二、提高训练题
13．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( )
A．2 000 B．4 096 C．5 904 D．8 320
14．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )
A．42 B．30 C．20 D．12
15．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( )
A．18种 B．15种 [来源:21世纪教育网] C．12种 D．9种
16．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛 ，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)
选修2-3 第一章§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)参考答案
1、[答案] A
[解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A.
2、[答案] C
[解析] 由乘法计数原理知，共有3×2×4＝24(种)．
3、[答案] C
[解析] 4×3＝12(种)．
4、[答案] A
[解析] 由题意知，a≠0，a可取1,2,3,4中任意一个．有4种取法．
同理b有4种取法，c有3种取法．由分步计数原理知，共有4×4×3＝48(个)．21·cn·jy·co
5、[答案] B
[解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．
由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种．
6、[答案] A
[解析] m，n只能取1,2,3，…，10，且m>n，按m取10,9,8，…，3,2可分为9类，共有9＋8＋7＋…＋1＝45(个)．21世纪教育网版权所有
7、[答案] C
[解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C.
8、[答案] 256
[解析] 由题意知，每个穿孔都有2个信息，因此8个穿孔共有28种不同的信息．
9、[答案] 40
[解析] 5×8＝40(种)．
10、[答案] 14
[解析] 因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，
其中四个数字全是2或3的不合题意，
所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．21·世纪*教育网
解 (1)可分为三类：选老师1名，男同学1名，女同学1名，
由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．
可分三步：第一步选老师1名，第二步选男同学1名，第三步选女同学1名，
由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
可分两类，每一类又可分两步．第一类：选1名老师和1名男同学；
第二类：选1名老师和1名女同学．因此，共有3×8＋3×5＝39种选法．www-2-1-cnjy-com
解 从总体上看有三类方法：分别经过AB，AD，AA1，
从局部上看每一类α需分两步完成，故第一类：
经过AB，有m1＝1×2＝2条；第二类：经过AD，
有m2＝1×2＝2条；第三类：经过AA1有m3＝1×2＝2条．
根据分类加法计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的线路共有N＝2＋2＋2＝6条．2
13、[答案] C
[解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，
所以符合题意的共有5 904个．
14、[答案] A
[解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，
插入第1个有6种插法，
插入第2个时有7个空，共7种插法，
所以不同的插法共6×7＝42(种)．
15、[答案] C
[解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．
试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；
②消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；
③消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，
所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．
16、[答案] 48
[解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；
两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法．