1.2.1排列(1)同步学案
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文档简介
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选修2-3
第一章
§1.2.1排列(1)
班级
姓名
学习目标
1.
理解排列、排列数的概念；
2.
了解排列数公式的推导.
学习过程
一、课前准备
复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？分类计数原理与分步计数原理有什么区别与联系？
复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：排列
问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？
新知1：排列的定义
一般地，从n个
元素中取出m（
）个元素，按照一定的
排成一排，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一个排列.
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
.
反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？
探究任务二：排列数及其排列数公式
新知2
排列数的定义
从
个
元素中取出
（）个元素的
的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合
表示.
问题：
⑴
从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？
⑵
从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？
⑶
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是多少？
新知3
排列数公式
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数
新知4
全排列
从n个不同元素中
取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
；记作：，=1
※
典型例题
例1、计算：⑴;
⑵
;
⑶
.
变式1：计算：⑴;
⑵
⑶;
例2、
(1)
5×4×3可表示为
;
(2)
7×6×5×4×3×2
×1
可表示为
;
(3)15×14×13×
·
·
·×3
可表示为
;
(4)(15-n)(14-n)(13-n)
·
·
·
(3-n)
可表示为
.
例3
、求证：
变式2:
求证：
例4、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
三、总结提升
※
学习小结
1.
排列数的定义
2.
排列数公式及其全排列公式.
课后作业
一、基础训练题
1．计算eq
\f(A,5！)＝( )．
A.
B.
C.
D.
2．设a∈N
，且a＜27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )．
A．A
B．A
C．A
D．A
3．以下四个命题，属于排列问题的是( )
①一列车途经12个车站，应准备多少张车票；
②在假期间，某班同学互通一次电话；
③高三（2）班有50名同学，选出2名同学去校长办公室开座谈会；
④从1,2,3,4这四个数字中，任取3个数字组成三位数．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
[解析]②③中的元素没有顺序
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)( )种不同的火车票？
A．30
B．15
C．81
D．36
5．若6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )．
A．36
B．120
C．720
D．240
6．A、B、C、D、E五人站成一排，如果A必须站在B的左边(A、B可以不相邻)，则不同排法有( )
A．24种
B．60种
C．90种
D．120种
7．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )
A．A
B．A
C．AA
D．2A
8．给出下列四个关系式：
①n！＝；②A＝nA；③A＝；④A＝.
其中正确的个数为________．
9．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
10．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．
(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？
(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？
11．解下列各式中的n值．
(1)90A＝A；
(2)A·A＝42A.
二、提高训练题
12．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )
A．108种
B．186种
C．216种
D．270种
13．书架上原来摆放着6本书，现要再插入3本书，则不同插法的种数为( )
A．A
B．A
C．9×8×7
D．2A
14．从4男3女志愿者中，选1女2男分别到A，B，C地执行任务，则不同的选派方法有( )．
A．36种
B．108种
C．210种
D．72种
15．(1)求证：＝－；
(2)求和：＋＋＋…＋(提示：用上一问的结论裂项相消求和).
选修2-3
第一章
§1.2.1排列(1)参考答案
1、[答案] C
[解析] eq
\f(A,5！)＝＝.
2、[答案] D
[解析] 8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.
3、[答案] D
4、[答案] A
[解析] 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，
因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．
因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．
所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30种．故选A.
5、[答案] C
[解析] 此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数，即A＝720，故选C.
6、[答案] B
[解析] 5个人全排列有5！＝120种、A在B左边和A在B右边的情形一样多，
∴不同排法有×120＝60种．
7、[答案] C
[解析] 安排4名司机有A种方案，安排4名售票员有A种方案．
司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有AA种方案．
8、[答案] 3
[解析] 由排列数公式易证得①②③正确．
9、[答案] 30
[解析] 易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个
非零元素作为系数A、B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条
件的直线有A＝30(条)．
10、解 (1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A＝16×15＝240.
(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A×2＋1＝8×7×2＋1＝113.
11、解 (1)∵90A＝A，
∴90n(n－1)＝n·(n－1)(n－2)(n－3)，
∴n2－5n＋6＝90，
n2－5n－84＝0，(n－12)(n＋7)＝0，
n＝12或n＝－7(舍)
(2)·(n－4)！＝42(n－2)！，
∴n(n－1)＝42，
∴n2－n－42＝0，∴n＝7或n＝－6(舍)．
12、[答案] B
[解析] 从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A－A＝186(种)，选B.
13、[答案] C
[解析] 三本书逐本插入书架上，第1本可插放在原来6本书之间和两端的7个位置之一处，有7种插法．第1本书插入后，书架上有7本书，所以第二本书有8种插法．同样，第3本书有9种插法．所以插法总数为9×8×7.故选C.
14、[答案] B
[解析] 选1女派往某地有方法A·A种，选2男派往另外两地有A种方法，
则不同的选派方法共有A·A·A＝108(种)．
15、解 (1)证明：∵－＝
＝＝
∴＝－.
(2)由(1)知，＋＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋[－]
＝1－.
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选修2-3
第一章
§1.2.1排列(1)
班级
姓名
学习目标
1.
理解排列、排列数的概念；
2.
了解排列数公式的推导.
学习过程
一、课前准备
复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？分类计数原理与分步计数原理有什么区别与联系？
复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※
学习探究
探究任务一：排列
问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？
新知1：排列的定义
一般地，从n个
元素中取出m（
）个元素，按照一定的
排成一排，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一个排列.
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
.
反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？
探究任务二：排列数及其排列数公式
新知2
排列数的定义
从
个
元素中取出
（）个元素的
的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合
表示.
问题：
⑴
从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？
⑵
从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？
⑶
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是多少？
新知3
排列数公式
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数
新知4
全排列
从n个不同元素中
取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
；记作：，=1
※
典型例题
例1、计算：⑴;
⑵
;
⑶
.
变式1：计算：⑴;
⑵
⑶;
例2、
(1)
5×4×3可表示为
;
(2)
7×6×5×4×3×2
×1
可表示为
;
(3)15×14×13×
·
·
·×3
可表示为
;
(4)(15-n)(14-n)(13-n)
·
·
·
(3-n)
可表示为
.
例3
、求证：
变式2:
求证：
例4、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
三、总结提升
※
学习小结
1.
排列数的定义
2.
排列数公式及其全排列公式.
课后作业
一、基础训练题
1．计算eq
\f(A,5！)＝( )．
A.
B.
C.
D.
2．设a∈N
，且a＜27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )．
A．A
B．A
C．A
D．A
3．以下四个命题，属于排列问题的是( )
①一列车途经12个车站，应准备多少张车票；
②在假期间，某班同学互通一次电话；
③高三（2）班有50名同学，选出2名同学去校长办公室开座谈会；
④从1,2,3,4这四个数字中，任取3个数字组成三位数．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
[解析]②③中的元素没有顺序
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)( )种不同的火车票？
A．30
B．15
C．81
D．36
5．若6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )．
A．36
B．120
C．720
D．240
6．A、B、C、D、E五人站成一排，如果A必须站在B的左边(A、B可以不相邻)，则不同排法有( )
A．24种
B．60种
C．90种
D．120种
7．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )
A．A
B．A
C．AA
D．2A
8．给出下列四个关系式：
①n！＝；②A＝nA；③A＝；④A＝.
其中正确的个数为________．
9．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
10．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．
(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？
(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？
11．解下列各式中的n值．
(1)90A＝A；
(2)A·A＝42A.
二、提高训练题
12．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )
A．108种
B．186种
C．216种
D．270种
13．书架上原来摆放着6本书，现要再插入3本书，则不同插法的种数为( )
A．A
B．A
C．9×8×7
D．2A
14．从4男3女志愿者中，选1女2男分别到A，B，C地执行任务，则不同的选派方法有( )．
A．36种
B．108种
C．210种
D．72种
15．(1)求证：＝－；
(2)求和：＋＋＋…＋(提示：用上一问的结论裂项相消求和).
选修2-3
第一章
§1.2.1排列(1)参考答案
1、[答案] C
[解析] eq
\f(A,5！)＝＝.
2、[答案] D
[解析] 8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.
3、[答案] D
4、[答案] A
[解析] 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，
因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．
因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．
所以问题归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30种．故选A.
5、[答案] C
[解析] 此问题可以看成求6名同学站成一排的方法数，即A＝720，故选C.
6、[答案] B
[解析] 5个人全排列有5！＝120种、A在B左边和A在B右边的情形一样多，
∴不同排法有×120＝60种．
7、[答案] C
[解析] 安排4名司机有A种方案，安排4名售票员有A种方案．
司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有AA种方案．
8、[答案] 3
[解析] 由排列数公式易证得①②③正确．
9、[答案] 30
[解析] 易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个
非零元素作为系数A、B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条
件的直线有A＝30(条)．
10、解 (1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A＝16×15＝240.
(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A×2＋1＝8×7×2＋1＝113.
11、解 (1)∵90A＝A，
∴90n(n－1)＝n·(n－1)(n－2)(n－3)，
∴n2－5n＋6＝90，
n2－5n－84＝0，(n－12)(n＋7)＝0，
n＝12或n＝－7(舍)
(2)·(n－4)！＝42(n－2)！，
∴n(n－1)＝42，
∴n2－n－42＝0，∴n＝7或n＝－6(舍)．
12、[答案] B
[解析] 从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A－A＝186(种)，选B.
13、[答案] C
[解析] 三本书逐本插入书架上，第1本可插放在原来6本书之间和两端的7个位置之一处，有7种插法．第1本书插入后，书架上有7本书，所以第二本书有8种插法．同样，第3本书有9种插法．所以插法总数为9×8×7.故选C.
14、[答案] B
[解析] 选1女派往某地有方法A·A种，选2男派往另外两地有A种方法，
则不同的选派方法共有A·A·A＝108(种)．
15、解 (1)证明：∵－＝
＝＝
∴＝－.
(2)由(1)知，＋＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋[－]
＝1－.
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