1.2.1排列(3)同步学案
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文档简介
选修2-3 第一章§1.2.1排列(3)
班级 姓名
学习目标
1、利用捆绑法、插空法解决排列问题；
2、体会“化归”思想。
学习过程
一、课前准备
复习：排列数公式：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
二、新课导学
典型例题
题型三 有限制条件的排列问题之捆绑法
例1、7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
思路分析：要求某几个元素必须排在一起（或相邻）的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
变式1、有5名男生，4名女生排成一排，
（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？
（2）若男生甲不站排头，女生乙不站排尾，则有多少种不同的排法？
（3）要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？
变式2、某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？
题型四 有限制条件的排列问题之插空法
例2、7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
思路分析：插空法-----元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
题型五 有限制条件的排列问题之元素顺序固定问题
例3、7位同学站成一排，
（1）甲必须站在乙的左边的排法共有多少种？
（2）甲、乙、丙按要求的顺序排，共有多少种不同排法？
思路分析：元素定序问题，一般是有n个元素顺序固定，则将所有排列数除以即可。
变式3、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列。
题型六 有限制条件的排列问题之多排问题单排法
例4、12位同学站队照相，
（1）站成前后两排，每排站6人，共有多少种不同站法？
（2）站成前、中、后三排，前排站3人，中排站4人，后排站5人，共有多少种不同站法？
思路分析：一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为全部按一排考虑,再分段研究。
变式4、6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共＿＿＿＿＿＿＿种。
题型七 有限制条件的排列问题之环排问题线排法
例5、8个同学围桌一起吃法，共有多少种不同的坐法？
思路分析：一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
变式5、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
课后作业
1．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( )
A．12种 B．14种 C．16种 D．24种
2．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
3．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有( )
A．AA B．AA C．AA D．AA
4．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为( )
A．18 B．36 C．48 D．60
5．5名学生站成一排，其中A不能站在两端，B不能站在中间，则不同的排法种数是( )
A．36 B．54 C．60 D．66
6．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1 000大的奇数共有( )．
A．36个 B．48个 C．66个 D．72个
7．由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )
A．56个 B．57个 C．58个 D．60个
8．(2010·广东理，8)为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒
9．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．
10．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，则共有出场方案________种．
11．安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排5月1日和5月2日，不同的安排方法有________种(用数字作答)．21教育网
12．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．
13．(2010·浙江理，17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．
14．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有__________种不同的方法(用数字作答)．
15．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a116．给定六个数字：0，1，2，3，5，9，
(1)从中任选四个不同的数字，可以组成多少个不同的四位数？
(2)从中任选四个不同的数字，可以组成多少个不同的四位偶数？
17．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
18．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端；
(2)两名女生必须相邻而站；
(3)4名男生互不相邻；
(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；
(5)老师不站中间，女生不站两端．
19．从集合M＝{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？21·世纪*教育网
20．在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4×100 m接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？
选修2-3 第一章§1.2.1排列(3)参考答案
1、[答案] B
[解析] 用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24种排法，减去甲跑第一棒有A＝6种排法，乙跑第四棒有A＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2种排法，共有A－2A＋A＝14种不同的出场顺序．
2、[答案] C
[解析] 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
3、[答案] C
[解析] 插空法．先排5个独唱节目，有A种排法，再在隔出的6个空中除开始的一个，在剩下的5个空中安插舞蹈节目，有方法数A，故共有A·A种排法．
4、[答案] B
[解析] 甲在排头或排尾站法有A种，再让乙在中间3个位置选一个，有A种站法，
其余3人有A种站法，故共有A·A·A＝36种站法．
5、[答案] C
[解析]以A为特殊元素分两类解答．当A站在中间时，有A种排法，当A不站在中间也不在两端，有A种排法，B有A种排法，其他有A种排法，由分步乘法原理知有AAA种排法．综上知，共有A＋AAA＝24＋36＝60(种)．2
6、[答案] D
[解析] 可分两类，第一类：当此数为四位数字时，最后一位只能是1或3，有两种取法，
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中
间两个位置有A种排法，共有2×3×A＝36(个)；
第二类：任一个五位的奇数都符合要求，共有2×3×A＝36(个)；
∴由分类加法计数原理符合条件的四位数个数和五位数个数之和共有72个．
7、[答案] C
[解析] 首位为3时，有A个＝24个；
首位为2时，千位为3，则有AA＋1＝5个，千位为4或5时有AA＝12个；
首位为4时，千位为1或2，有AA＝12个，千位为3时，有AA＋1＝5个．
由分类加法计数原理知，共有适合题意的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．
8、[答案] C
[解析] 由题意每次闪烁共5秒，所以不同的闪烁为A＝120秒，
而间隔为119次，所以需要的时间至少是5A＋(A－1)×5＝1195秒．
[点评] 本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能力．
9、[答案] 5 760
[解析] 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A种放法；
第二步，油画内部排列，有A种；
第三步，国画内部排列，有A种．
由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有AAA＝5 760(种)．
[点评] 可用直接法求解：个位数字是0时有A种；
个位数字是5时，首位应用1、2、3、4中选1个，故有4A种，∴共有A＋4A个．
10、[答案] 36
解析 将“女男女”当整体看待，有6种情况，每一种情况有A种，
所以共有6A＝6×3×2＝36(种)．
11、[答案] 2400
12、[答案] 24
[解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，
可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，
只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．
∴有A＝24种不同坐法．
13、[答案] 264
[解析] 由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，则A；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如
甲
乙
丙
丁
上午
台阶
身高
立定
肺活量
下午
下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，
甲测“身高”“立定”、“肺活量”中一种，则3×3＝9，故A(2＋9)＝264种．
14、[答案] 1260
15、[答案] 30
[解析]由题设知a5＝6.
第一类：当a1＝2时，a3可取4,5，
∴共有2A＝12种；
第二类：当a1＝3时，a3可取4,5，
∴共有2A＝12种；
第三类：当a1＝4时，a3必取5，
∴有A＝6种．
∴共有12＋12＋6＝30种．
解 (1)法一 从“位置”考虑．首位有5种排法；
其余3个数位可以从余下的5个数字(包括0)中任选3个排列．
故可组成5·A＝300个四位数．
法二 从“元素”考虑，组成的四位数可按有无“0”分类．
有数字0的有A·A个，无数字0的有A，
共有AA＋A＝300个四位数．
从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，
0在个位时，有A个四位偶数；
2在个位时，有A·A个四位偶数，
故共有A＋A·A＝108个四位偶数．
17、解 依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3种．
由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．
第二类：不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种．
由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种
综上可知，共有18＋2＝20种不同的选法．
18、解 (1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA＝2 160(种)；
(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1 440(种)；
(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)；
(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．
(5)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：
①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A·A·A种站法；
②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A·A·A种站法．
所以共有不同站法A·A·A＋A·A·A＝960＋1 152＝2 112(种)．
19、解 设a，b，c∈M，若a，b，c成等差数，则有a＋c＝2b，因此a，c同时为偶数或奇数，当a，c确定后，中间的数b被唯一确定，而集合M中含有10个奇数和10个偶数，因此，选法只有两类．
第一类：a，c同为偶数，有A种选法；
第二类：a，c同为奇数，有A种选法．
于是选出3个数成等差数列的个数有A＋A＝180.
20、解 由题意可以分这样三种情况：
第一种情况，“甲、乙两人都不在接力队内”的选法有A种；
第二种情况，“甲、乙两人之中仅有一人在接力队内”的选法有A·A·A种；
第三种情况，“甲、乙两人同时在接力队内”的选法有A·A种．
故总的选法有A＋A·A·A＋A·A＝400(种)．
班级 姓名
学习目标
1、利用捆绑法、插空法解决排列问题；
2、体会“化归”思想。
学习过程
一、课前准备
复习：排列数公式：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿；
（3）＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
二、新课导学
典型例题
题型三 有限制条件的排列问题之捆绑法
例1、7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
思路分析：要求某几个元素必须排在一起（或相邻）的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
变式1、有5名男生，4名女生排成一排，
（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？
（2）若男生甲不站排头，女生乙不站排尾，则有多少种不同的排法？
（3）要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？
变式2、某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？
题型四 有限制条件的排列问题之插空法
例2、7位同学站成一排，
（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
思路分析：插空法-----元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
题型五 有限制条件的排列问题之元素顺序固定问题
例3、7位同学站成一排，
（1）甲必须站在乙的左边的排法共有多少种？
（2）甲、乙、丙按要求的顺序排，共有多少种不同排法？
思路分析：元素定序问题，一般是有n个元素顺序固定，则将所有排列数除以即可。
变式3、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列。
题型六 有限制条件的排列问题之多排问题单排法
例4、12位同学站队照相，
（1）站成前后两排，每排站6人，共有多少种不同站法？
（2）站成前、中、后三排，前排站3人，中排站4人，后排站5人，共有多少种不同站法？
思路分析：一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为全部按一排考虑,再分段研究。
变式4、6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共＿＿＿＿＿＿＿种。
题型七 有限制条件的排列问题之环排问题线排法
例5、8个同学围桌一起吃法，共有多少种不同的坐法？
思路分析：一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
变式5、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
课后作业
1．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( )
A．12种 B．14种 C．16种 D．24种
2．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!
3．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数有( )
A．AA B．AA C．AA D．AA
4．5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为( )
A．18 B．36 C．48 D．60
5．5名学生站成一排，其中A不能站在两端，B不能站在中间，则不同的排法种数是( )
A．36 B．54 C．60 D．66
6．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1 000大的奇数共有( )．
A．36个 B．48个 C．66个 D．72个
7．由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )
A．56个 B．57个 C．58个 D．60个
8．(2010·广东理，8)为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒
9．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的陈列方式有________种．
10．三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，则共有出场方案________种．
11．安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排5月1日和5月2日，不同的安排方法有________种(用数字作答)．21教育网
12．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．
13．(2010·浙江理，17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．
14．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有__________种不同的方法(用数字作答)．
15．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
(1)从中任选四个不同的数字，可以组成多少个不同的四位数？
(2)从中任选四个不同的数字，可以组成多少个不同的四位偶数？
17．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
18．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端；
(2)两名女生必须相邻而站；
(3)4名男生互不相邻；
(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；
(5)老师不站中间，女生不站两端．
19．从集合M＝{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？21·世纪*教育网
20．在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加4×100 m接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？
选修2-3 第一章§1.2.1排列(3)参考答案
1、[答案] B
[解析] 用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24种排法，减去甲跑第一棒有A＝6种排法，乙跑第四棒有A＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2种排法，共有A－2A＋A＝14种不同的出场顺序．
2、[答案] C
[解析] 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
3、[答案] C
[解析] 插空法．先排5个独唱节目，有A种排法，再在隔出的6个空中除开始的一个，在剩下的5个空中安插舞蹈节目，有方法数A，故共有A·A种排法．
4、[答案] B
[解析] 甲在排头或排尾站法有A种，再让乙在中间3个位置选一个，有A种站法，
其余3人有A种站法，故共有A·A·A＝36种站法．
5、[答案] C
[解析]以A为特殊元素分两类解答．当A站在中间时，有A种排法，当A不站在中间也不在两端，有A种排法，B有A种排法，其他有A种排法，由分步乘法原理知有AAA种排法．综上知，共有A＋AAA＝24＋36＝60(种)．2
6、[答案] D
[解析] 可分两类，第一类：当此数为四位数字时，最后一位只能是1或3，有两种取法，
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中
间两个位置有A种排法，共有2×3×A＝36(个)；
第二类：任一个五位的奇数都符合要求，共有2×3×A＝36(个)；
∴由分类加法计数原理符合条件的四位数个数和五位数个数之和共有72个．
7、[答案] C
[解析] 首位为3时，有A个＝24个；
首位为2时，千位为3，则有AA＋1＝5个，千位为4或5时有AA＝12个；
首位为4时，千位为1或2，有AA＝12个，千位为3时，有AA＋1＝5个．
由分类加法计数原理知，共有适合题意的数字24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．
8、[答案] C
[解析] 由题意每次闪烁共5秒，所以不同的闪烁为A＝120秒，
而间隔为119次，所以需要的时间至少是5A＋(A－1)×5＝1195秒．
[点评] 本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能力．
9、[答案] 5 760
[解析] 第一步，水彩画可以在中间，油画、国画放在两端，有A种放法；
第二步，油画内部排列，有A种；
第三步，国画内部排列，有A种．
由分步乘法计数原理，不同的陈列方式共有AAA＝5 760(种)．
[点评] 可用直接法求解：个位数字是0时有A种；
个位数字是5时，首位应用1、2、3、4中选1个，故有4A种，∴共有A＋4A个．
10、[答案] 36
解析 将“女男女”当整体看待，有6种情况，每一种情况有A种，
所以共有6A＝6×3×2＝36(种)．
11、[答案] 2400
12、[答案] 24
[解析] “每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，
可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，
只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可．
∴有A＝24种不同坐法．
13、[答案] 264
[解析] 由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，则A；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如
甲
乙
丙
丁
上午
台阶
身高
立定
肺活量
下午
下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，
甲测“身高”“立定”、“肺活量”中一种，则3×3＝9，故A(2＋9)＝264种．
14、[答案] 1260
15、[答案] 30
[解析]由题设知a5＝6.
第一类：当a1＝2时，a3可取4,5，
∴共有2A＝12种；
第二类：当a1＝3时，a3可取4,5，
∴共有2A＝12种；
第三类：当a1＝4时，a3必取5，
∴有A＝6种．
∴共有12＋12＋6＝30种．
解 (1)法一 从“位置”考虑．首位有5种排法；
其余3个数位可以从余下的5个数字(包括0)中任选3个排列．
故可组成5·A＝300个四位数．
法二 从“元素”考虑，组成的四位数可按有无“0”分类．
有数字0的有A·A个，无数字0的有A，
共有AA＋A＝300个四位数．
从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，
0在个位时，有A个四位偶数；
2在个位时，有A·A个四位偶数，
故共有A＋A·A＝108个四位偶数．
17、解 依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时会日语的有2＋1＝3种．
由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18种．
第二类：不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种．
由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2种
综上可知，共有18＋2＝20种不同的选法．
18、解 (1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA＝2 160(种)；
(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1 440(种)；
(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)；
(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．
(5)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：
①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A·A·A种站法；
②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A·A·A种站法．
所以共有不同站法A·A·A＋A·A·A＝960＋1 152＝2 112(种)．
19、解 设a，b，c∈M，若a，b，c成等差数，则有a＋c＝2b，因此a，c同时为偶数或奇数，当a，c确定后，中间的数b被唯一确定，而集合M中含有10个奇数和10个偶数，因此，选法只有两类．
第一类：a，c同为偶数，有A种选法；
第二类：a，c同为奇数，有A种选法．
于是选出3个数成等差数列的个数有A＋A＝180.
20、解 由题意可以分这样三种情况：
第一种情况，“甲、乙两人都不在接力队内”的选法有A种；
第二种情况，“甲、乙两人之中仅有一人在接力队内”的选法有A·A·A种；
第三种情况，“甲、乙两人同时在接力队内”的选法有A·A种．
故总的选法有A＋A·A·A＋A·A＝400(种)．