1.2.1组合(2)同步学案
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选修2-3 第一章 §1.2.2组合(2)
班级 姓名
学习目标
1. 通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2.了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、课前准备
复习1：从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示.
复习2： 组合数公式：＝ ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合数的性质
问题：高二（6）班有42个同学
⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？
⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？
⑶ 上面两个问题有何关系？
新知：组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数，即：
试试：计算：
反思：⑴若，一定有？
⑵若，一定有吗？
※ 典型例题
例1、（1）计算：；
例2、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
变式1：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例3、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？
例4、（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？
例5、六个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子里，求下列方法的种数：
每个盒子都不空；
恰有一个盒子为空；
恰有两个盒子为空。
三、总结提升
1. 组合数的性质：;
2. 组合数的运用.
课后作业
一、基础训练题
1．已知x，y∈N*，且C＝C，则x与y的关系是( )
A．x＝y B．y＝n－x C．x＝y或x＋y＝n D．x≥y
2．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A．CCC B．CCC C. D．CCCA
3．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有( )
A．120种 B．480种 C．720种 D．840种
4．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )
A．6个 B．12个 C．18个 D．30个
5．(2009·辽宁理，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
6．将20个优秀学生名额分给18班，每班至少有一个名额，有 种不同的分配方式。
7．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．
8．(09·海南宁夏·理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
9．计算：(1)C＋C·C； (2)C＋C＋C＋C＋C＋C； (3)C·C；
10．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
11．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本．
二、提高训练题
12．(2010·湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11 C．12 D．15
13．(2009·湖南理·5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28
14．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
15．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法有多少种？
选修2-3 第一章§1.2.1组合(2)参考答案
[答案] C
[解析] 由组合数的性质知C＝C＝C，
∴x＝y，或y＝n－x.
2、[答案] B
[解析] 解法1：由题意知不同的排班种数为：
CCC＝··＝CCC.
故选B.
解法2：也可先选出12人再排班为：CCCC，即选B.
3、[答案] B
[解析] 先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C种排法，
再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理得不同排法共有CA＝480(种)．
4、[答案] B
[解析] C－3＝12个，故选B.
5、[答案] A
[解析] 考查排列组合有关知识．
解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，
∴共有C·C＋C·C＝70，∴选A.
6、[答案] 171
[解析] 利用隔板法
7、[答案] 10
[解析] 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C＝10种．
8、[答案] 140
[解析] 本题主要考查排列组合知识．
由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有
C·C＝140种．
9、解 (1)C＋C·C＝C＋C×1＝＋＝5006.
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C＝2(C＋C＋C)＝2(1＋5＋10)＝32.
(3)C·C＝C·C＝(n＋1)n＝n2＋n.
10、解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同的取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5984(种)．
∴某一种假货不能在内的不同的取法有5984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2100(种)．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．
(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2100＋455＝2555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．
(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式
C－C＝6545－455＝6090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．
11、[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；
②题目中的3个问题的条件不同．
解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．
[解析] (1)分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C种方法；
第三步：把剩下的书给丙有C种方法，
∴共有不同的分法有C·C·C＝1260(种)．
(2)分两步完成：
第一步：将4本、3本、2本分成三组有C·C·C种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法，
∴共有C·C·C·A＝7560(种)．
(3)用与(1)相同的方法求解，
得C·C·C＝1680(种)．
12、[答案] B
[解析] 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C42＝6(个)
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C41＝4(个)
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C40＝1(个)
与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)
13、[答案] C
[解析] 考查有限制条件的组合问题．
(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C＝42种．
(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．
由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．
14、[答案] B
[解析] 主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．
因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．
1° 当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，
当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，
当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，
当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．
故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．
2° A为二元素集时，
A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．
A中最大元素是3，有C种，选B的方案有22－1＝3种．故共有2×3＝6种．
A中最大元素是4，有C种．选B的方案有21－1＝1种，故共有3×1＝3种．
故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．
3° A为三元素集时，
A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．
A中最大元素是4，有C＝3种，选B的方案有1种，
∴共有3×1＝3种．
∴A为三元素时共有3＋3＝6种．
4° A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．
∴共有26＋16＋6＋1＝49种．
15、解 设选派骨科a人，脑外科b人，内科c人，记为(a，b，c)，则有以下几种选派方案：(1,1,3)，(1,3,1)，(1,2,2)，(2,2,1)，(2,1,2)，(3,1,1)共6种，因此选派种数为CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝120＋60＋180＋90＋120＋20＝590.
班级 姓名
学习目标
1. 通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2.了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、课前准备
复习1：从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示.
复习2： 组合数公式：＝ ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合数的性质
问题：高二（6）班有42个同学
⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？
⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？
⑶ 上面两个问题有何关系？
新知：组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数，即：
试试：计算：
反思：⑴若，一定有？
⑵若，一定有吗？
※ 典型例题
例1、（1）计算：；
例2、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
变式1：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例3、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？
例4、（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？
例5、六个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子里，求下列方法的种数：
每个盒子都不空；
恰有一个盒子为空；
恰有两个盒子为空。
三、总结提升
1. 组合数的性质：;
2. 组合数的运用.
课后作业
一、基础训练题
1．已知x，y∈N*，且C＝C，则x与y的关系是( )
A．x＝y B．y＝n－x C．x＝y或x＋y＝n D．x≥y
2．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A．CCC B．CCC C. D．CCCA
3．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有( )
A．120种 B．480种 C．720种 D．840种
4．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )
A．6个 B．12个 C．18个 D．30个
5．(2009·辽宁理，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
6．将20个优秀学生名额分给18班，每班至少有一个名额，有 种不同的分配方式。
7．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．
8．(09·海南宁夏·理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
9．计算：(1)C＋C·C； (2)C＋C＋C＋C＋C＋C； (3)C·C；
10．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
11．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本； (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；
(3)甲、乙、丙各得3本．
二、提高训练题
12．(2010·湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11 C．12 D．15
13．(2009·湖南理·5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28
14．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
15．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法有多少种？
选修2-3 第一章§1.2.1组合(2)参考答案
[答案] C
[解析] 由组合数的性质知C＝C＝C，
∴x＝y，或y＝n－x.
2、[答案] B
[解析] 解法1：由题意知不同的排班种数为：
CCC＝··＝CCC.
故选B.
解法2：也可先选出12人再排班为：CCCC，即选B.
3、[答案] B
[解析] 先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C种排法，
再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理得不同排法共有CA＝480(种)．
4、[答案] B
[解析] C－3＝12个，故选B.
5、[答案] A
[解析] 考查排列组合有关知识．
解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，
∴共有C·C＋C·C＝70，∴选A.
6、[答案] 171
[解析] 利用隔板法
7、[答案] 10
[解析] 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C＝10种．
8、[答案] 140
[解析] 本题主要考查排列组合知识．
由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有
C·C＝140种．
9、解 (1)C＋C·C＝C＋C×1＝＋＝5006.
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C＝2(C＋C＋C)＝2(1＋5＋10)＝32.
(3)C·C＝C·C＝(n＋1)n＝n2＋n.
10、解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同的取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5984(种)．
∴某一种假货不能在内的不同的取法有5984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2100(种)．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．
(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2100＋455＝2555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．
(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式
C－C＝6545－455＝6090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．
11、[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；
②题目中的3个问题的条件不同．
解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．
[解析] (1)分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C种方法；
第三步：把剩下的书给丙有C种方法，
∴共有不同的分法有C·C·C＝1260(种)．
(2)分两步完成：
第一步：将4本、3本、2本分成三组有C·C·C种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法，
∴共有C·C·C·A＝7560(种)．
(3)用与(1)相同的方法求解，
得C·C·C＝1680(种)．
12、[答案] B
[解析] 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C42＝6(个)
第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C41＝4(个)
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C40＝1(个)
与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)
13、[答案] C
[解析] 考查有限制条件的组合问题．
(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C＝42种．
(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．
由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．
14、[答案] B
[解析] 主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．
因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．
1° 当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，
当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，
当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，
当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．
故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．
2° A为二元素集时，
A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．
A中最大元素是3，有C种，选B的方案有22－1＝3种．故共有2×3＝6种．
A中最大元素是4，有C种．选B的方案有21－1＝1种，故共有3×1＝3种．
故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．
3° A为三元素集时，
A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．
A中最大元素是4，有C＝3种，选B的方案有1种，
∴共有3×1＝3种．
∴A为三元素时共有3＋3＝6种．
4° A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．
∴共有26＋16＋6＋1＝49种．
15、解 设选派骨科a人，脑外科b人，内科c人，记为(a，b，c)，则有以下几种选派方案：(1,1,3)，(1,3,1)，(1,2,2)，(2,2,1)，(2,1,2)，(3,1,1)共6种，因此选派种数为CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝120＋60＋180＋90＋120＋20＝590.