1.2.排列与组合综合应用 同步学案

选修2-3 第一章§1.2排列与组合综合应用
班级 姓名
学习目标
进一步理解组合的意义，区分排列与组合；
2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
复习1：＝ ＝ ＝
复习2： 组合数的性质1： ． 组合数的性质2： ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：排列组合的应用
问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？
⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？
新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.
反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？
※ 典型例题
例1、 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛。
（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？
（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
例2、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本；
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给5个人，每人至少一本； （6）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .
例3、4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？ （2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
例4、一条街上有10 盏路灯，为节约用电，关闭其中的3盏，为了不影响照明，两端的灯不关，也不连续关闭相邻的两盏灯，关闭灯的方法数共有多少种?
例5、从一楼到两楼楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是多少?
三、总结提升
1. 正确区分排列组合问题;
2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.
课后作业
一、基础训练题
1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为(　　)
A．40　 　　 B．50　 　　 C．60　 　　 D．70
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(　　)
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(　　)
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有(　　)
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
5．从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是(　　)．
A．CC B．4CC C．2CC D．AA
6．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(　　)
A．33 B．34 C．35 D．36
7．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
8．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)
9．(2010·江西理，14)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．
10．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？
11．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为2,4,6个；
(2)平均分成3个小组；
(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．
二、提高训练题
12．(2010·四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(　　)
A．72 B．96 C．108 D．144
13．(2010·北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有(　　)
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
14．(2010·山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．
15．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？
选修2-3 第一章§1.2.排列与组合综合应用参考答案
1、[答案]　B
[解析]　先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；
两组各3人共有＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.
2、[答案]　C
[解析]　恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，
然后插空，从而共AA＝72种排法，故选C.
3、[答案]　C
[解析]　注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，
选四个数字共有C＝3(种)选法，即1231,1232,1233，
而每种选择有A×C＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．
4、[答案]　A
[解析]　设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CC＝30，
解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．
5、[答案]　C
[解析]　先从7名男队员和5名女队员中各选出2名，有CC种选法，而每种
选法都可对应用2种分组方式．故共有2CC种不同的组队种数．
6、[答案]　A
[解析]　①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·A＝12个；
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·A＋A＝18个；
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C＝3个．
故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.
7、[答案]　2400
[解析]　先安排甲、乙两人在后5天值班，有A＝20(种)排法，其余5人再进行排列，
有A＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．
8、[答案]　1260
[解析]　由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，
共有C·C·C＝1260(种)排法．
9、[答案]　1080
[解析]　先将6名志愿者分为4组，共有种分法，
再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A种分法，
故所有分配方案有：·A＝1 080种．
[解析]　因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C种亮灯办法．
然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C×2×2×2＝160(种)．
11、[解析]　(1)CCC＝13 860(种)；
(2)＝5 775(种)；
(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A＝C·C·C＝34 650(种)不同的分法．
12、[答案]　C
[解析]　分两类：若1与3相邻，有A·CAA＝72(个)，
若1与3不相邻有A·A＝36(个)
故共有72＋36＝108个．
13、[答案]　C
[解析]　先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：
(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，
甲任选一种为C，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，
安排方法有A种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C·A＝120种，故选C.
14、[答案]　72
[解析]　5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．
解　可先分组再分配，据题意分两类，
一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，
然后再分配给4个城市中的2个，共有CA种方案；
另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A种方案．
由分类加法计数原理可知共有CA＋A＝60(种)方案．