1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 同步学案
文档属性
| 名称 | 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 189.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-10 10:18:46 | ||
图片预览
文档简介
选修2-3 第一章 §1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
班级 姓名
学习目标
1.掌握二项式系数的性质；
2.了解杨辉三角的特点。
学习过程
一、课前准备
复习：写出二项式定理的公式：
⑴ 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，
的次数规律是 ，各项系数分别是 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：杨辉三角
问题1：在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是.
试试：① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A .第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ .
反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在展开式中，若，则可得到
即
※ 典型例题
例1、求的展开式中系数最大的项．
变式1：在二项式(x-1)的展开式中,
⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.
小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
例2、证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
变式2：⑴ 化简: ; ⑵ 求和：.
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
例3、求(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数.
变式3：(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是
例4、求233除以9的余数．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 二项式系数的三个性质
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
课后作业
一、基础训练题
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )．
A．11 B．10 C．9 D．8
2．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( ) 21*cnjy*com
A．1 B．2 C．3 D．4
3．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n
4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1024 B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
5．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为( )．
A．5 B．8 C．10 D．15
6．(2010·广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )
A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项
7．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )
A．－297 B．－252 C．297 D．207
8．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)
9．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________．
10．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，求n的值．
11．已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项．
12．对于二项式(1－x)10.
(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
(3)写出展开式中系数最大的项．
2-1-c-n-j-y
二、提高训练题
13．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．
15．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，
求(1)a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
16．已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20.21世纪教育网版权所有
(1)求a2的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值及a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
选修2-3 第一章 §1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质参考答案
1、[答案] D
[解析] ∵只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5.∴n＝8.
2、[答案] A
[解析] 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(－1)4＝1.
3、[答案] C
[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.
4、[答案] C
[解析] 由二项式系数的性质知，C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024.
∴A正确．
又二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项．
∴B正确．
又由通项Tr＋1＝Ca10－r(－b)r＝(－1)rCa10－rbr知，第6项的系数－C最小．www.21-cn-jy.com
∴D正确．
5、[答案] A
[解析] (7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，
4n＝210，解得n＝5.
6、[答案] D
[解析] ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是
C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，故选D.
7、[答案] D
[解析] x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
8、[答案] 2009
[解析] 令x＝0，则a0＝1.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.
∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)
＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)
＝2010－1＝2009.
9、[答案] －8
[解析] (x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8.由Tr＋1＝Cx8－r·(－1)r，
当r＝1时，x7的系数为－C＝－8.21教育网
10、解 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝254，∴2n＝128，
即n＝7.
11、解 设第k＋1项的系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，即
解得n＝7.
故二项式系数最大的项为T4＝C·(2)3＝280，或T5＝C(2)4＝560x2.
12、解 (1)由题意可知：r＝0，1，2，…，11，展开式共11项，
所以中间项为第6项：T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
(3)∵中间项T6的系数为负，
∴系数最大的项为T5和T7，T5＝Cx4＝210x4，T7＝Cx6＝210x6.
13、[答案] －5
[解析] (1＋x＋x2)6
＝6＋x6＋x26，
∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C＋C＝－5.
14、[答案] 2n－1 32
[解析] 用不完全归纳法，猜想得出．
15、解 (1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27.
令x＝0得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a14＝27－1.
(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27， ①
令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67， ②
由①－②得：
2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝.
16、解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20，21cnjy.com
令x－1＝t，则展开式化为
(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a20t20.
(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0
a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
班级 姓名
学习目标
1.掌握二项式系数的性质；
2.了解杨辉三角的特点。
学习过程
一、课前准备
复习：写出二项式定理的公式：
⑴ 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，
的次数规律是 ，各项系数分别是 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：杨辉三角
问题1：在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是.
试试：① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A .第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ .
反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在展开式中，若，则可得到
即
※ 典型例题
例1、求的展开式中系数最大的项．
变式1：在二项式(x-1)的展开式中,
⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.
小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
例2、证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
变式2：⑴ 化简: ; ⑵ 求和：.
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
例3、求(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数.
变式3：(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是
例4、求233除以9的余数．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 二项式系数的三个性质
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
课后作业
一、基础训练题
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )．
A．11 B．10 C．9 D．8
2．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( ) 21*cnjy*com
A．1 B．2 C．3 D．4
3．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )
A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n
4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1024 B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
5．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为( )．
A．5 B．8 C．10 D．15
6．(2010·广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的( )
A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项
7．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )
A．－297 B．－252 C．297 D．207
8．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)
9．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________．
10．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，求n的值．
11．已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项．
12．对于二项式(1－x)10.
(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；
(3)写出展开式中系数最大的项．
2-1-c-n-j-y
二、提高训练题
13．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．
15．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，
求(1)a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
16．已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20.21世纪教育网版权所有
(1)求a2的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值及a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
选修2-3 第一章 §1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质参考答案
1、[答案] D
[解析] ∵只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5.∴n＝8.
2、[答案] A
[解析] 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(－1)4＝1.
3、[答案] C
[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.
4、[答案] C
[解析] 由二项式系数的性质知，C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024.
∴A正确．
又二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项．
∴B正确．
又由通项Tr＋1＝Ca10－r(－b)r＝(－1)rCa10－rbr知，第6项的系数－C最小．www.21-cn-jy.com
∴D正确．
5、[答案] A
[解析] (7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，
4n＝210，解得n＝5.
6、[答案] D
[解析] ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是
C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，故选D.
7、[答案] D
[解析] x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
8、[答案] 2009
[解析] 令x＝0，则a0＝1.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.
∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)
＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)
＝2010－1＝2009.
9、[答案] －8
[解析] (x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8.由Tr＋1＝Cx8－r·(－1)r，
当r＝1时，x7的系数为－C＝－8.21教育网
10、解 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝254，∴2n＝128，
即n＝7.
11、解 设第k＋1项的系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，即
解得n＝7.
故二项式系数最大的项为T4＝C·(2)3＝280，或T5＝C(2)4＝560x2.
12、解 (1)由题意可知：r＝0，1，2，…，11，展开式共11项，
所以中间项为第6项：T6＝C(－x)5＝－252x5.
(2)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
(3)∵中间项T6的系数为负，
∴系数最大的项为T5和T7，T5＝Cx4＝210x4，T7＝Cx6＝210x6.
13、[答案] －5
[解析] (1＋x＋x2)6
＝6＋x6＋x26，
∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C＋C＝－5.
14、[答案] 2n－1 32
[解析] 用不完全归纳法，猜想得出．
15、解 (1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27.
令x＝0得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a14＝27－1.
(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27， ①
令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67， ②
由①－②得：
2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝.
16、解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20，21cnjy.com
令x－1＝t，则展开式化为
(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a20t20.
(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0
a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.