2.1.1 离散型随机变量 同步学案

选修2-3 第二章 §2.1.1 离散型随机变量
班级 姓名
学习目标
1．理解随机变量的定义；
2．掌握离散型随机变量的定义．
学习过程
一、课前准备
复习1：口述：什么是随机事件？什么是基本事件？
复习2：口述：什么是随机试验？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：
问题1: (1)掷一枚骰子，出现的结果有哪些？ (2)掷一枚硬币，出现的结果有哪些？
问题2:一位篮球运动员3次投罚球的得分结果可以用数字表示吗？生产一件产品合格与否，其结果也可以用数字表示吗？
我们确定了一种对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，在这种对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.
新知1：随机变量的定义：
像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母表示．
问题3:在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应该如何定义随机变量呢？
思考1：随机变量与函数有类似的地方吗？
新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的范围相当于函数的值域．
问题4:如何通过随机变量X来研究随机事件吗？
试一试：
在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其取值范围是 ．
随机变量表示 ； 表示 ；
表示 ； “抽出3件以上次品”可用随机变量 表示．
问题5:从值域的角度来看，前面所涉及的随机变量取值有什么特点？
新知3：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
思考2：
电灯泡的寿命是离散型随机变量吗？
② 随机变量是一个离散型随机变量吗？
※ 典型例题
例1、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为；
(2)某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为；
(3)一天内的温度为；
(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分。
上述问题中的是离散型随机变量的是（ ）
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)
变式1：下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示? 若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果
（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；
（2）任意抽取一瓶某种标有2500的饮料，其实际量与规定量之差；
（3）某足球队在5次点球中射进的球数；
（4）某林场树木最高达50m，此林场树木的高度。
例2、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数；
（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数．
课堂练习
1、将一颗骰子掷2次，随机变量为（ ）
A、第一次出现的点数 B、第二次出现的点数
C、两次出现的点数之和 D、两次出现相同的点数的种数
2、把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得分，其他结果得0分，用X表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值。
3、袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是_____个；“X=4”表示　　　 　　　　．
4、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
（1）从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
（2）一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取个4球，其中所含红球的个数为X；
（3）投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y。
三、总结提升
定义1：这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量
定义2：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量
注意：1、随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
2、某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。
3、若是随机变量，则（其中a、b是常数）也是随机变量 ．
课后作业
一、基础训练题
1．一个袋子中有质量相等的红，黄，绿，白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是(　　)
A．小球滚出的最大距离 B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和 D．倒出的三个小球的颜色的种数
2．抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ>4”表示的试验结果是(　　)
A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是(　　)
A．2 B．2或1 C．1或0 D．2或1或0
4．下列变量中，不是离散型随机变量的是(　　)
A．从2010张已编号的卡片(从1号到2010号)中任取一张，被取出的号数ξ
B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η
C．某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1
D．从2010张已编号的卡片(从1号到2010号)中任取2张，被取出的卡片的号数之和η1
5．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950Ω～1200Ω之间；
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.
其中是离散型随机变量的是(　　)
A．①② B．①③ C．①④ D．①②④
6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1、2、3、4、5、6、7、8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有______种．
7．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．
8．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，求取到的都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率．www-2-1-cnjy-com
9．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，求至少有1名女生当选的概率．
10．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；
(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数ξ；
(3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ分．
选修2-3 第二章 §2.1.1 离散型随机变量参考答案
1、[答案]　D
[解析]　A小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C三个小球的质量之和是一个定值，可以预见，但结果只有一种，不是随机变量，就更不是离散型随机变量；D颜色的种数是一个离散型随机变量．
2、[答案]　D
[解析]　只有D中的点数差为6－1＝5>4，其余均不是，应选D.
3、[答案]　C
[解析]　这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故ξ可能取值有两种0,1，故选C.
4、[答案]　C
[解析]　离散型随机变量的取值能够一一列出，故A，B，D都是离散型随机变量，而C不是离散型随机变量，所以答案选C.
5、[答案]　A
[解析]　①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
6、[答案]　21
[解析]　从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个球是从1、2、3、4、5、6、7中任取两个球．∴共有C＝21种．
7、[答案]　24
[解析]　后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24(种)．
8、解　从中任取两个球，共有C＝66种取法，其中取到的都是红球，且至少有一个球的号码是偶数
的取法C－C＝12种取法，故概率为P＝＝.2-1-c-n-j-y
9、解　设2名代表中至少有1名女生为事件A，则A包含的基本事件数为CC＋C＝24.而总事件数为C＝45.www.21-cn-jy.com
故所求的概率为P(A)＝＝.
10、[解析]　(1)ξ可取0,1,2.
ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0,1,2.
(2)ξ可取3,4,5.
ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；
ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；
ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
(3)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．